Arakelov theory

В математике ( теория Аракелова или геометрия Аракелова ) — подход к диофантовой геометрии , названный по имени Сурена Аракелова . Он используется для изучения диофантовых уравнений в более высоких измерениях.

Предыстория

Основной мотивацией геометрии Аракелова является тот факт, что существует соответствие между простыми идеалами. ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ и конечные места $v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R}$, но существует и место в бесконечности $v_{\infty }$, заданное архимедовой оценкой , которая не имеет соответствующего простого идеала. Геометрия Аракелова дает способ компактификации. ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ в полное пространство

$${\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}$$

у которого простое число лежит в бесконечности. Оригинальная конструкция Аракелова изучает одну из таких теорий, где определение дивизоров является конструктором схемы . ${\mathfrak {X}}$ относительного размера 1 более ${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ такая, что она продолжается до римановой поверхности $X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )$ для каждой оценки на бесконечности. Кроме того, он снабжает эти римановы поверхности эрмитовыми метриками на голоморфных векторных расслоениях над X ( C ), комплексных точках $X$. Эта дополнительная эрмитова структура применяется вместо неспособности схемы Spec( Z ) быть полным многообразием .

Обратите внимание, что существуют и другие методы построения полного пространства, расширяющего ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$, что является основой F ₁ геометрии .

Исходное определение делителей

Позволять $K$ быть полем, ${\mathcal {O}}_{K}$ его кольцо целых чисел, и $X$ вид $g$ изгибаться $K$ с несингулярной моделью ${\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$, называемая арифметической поверхностью . Также мы позволяем

$$\infty :K\to \mathbb {C}$$

быть включением полей (которое должно представлять место в бесконечности). Также мы позволим $X_{\infty }$ — соответствующая риманова поверхность от замены базы до $\mathbb {C}$. Используя эти данные, мы можем определить c-дивизор как формальную линейную комбинацию

$$D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }$$

где $C_{i}$ является неприводимым замкнутым подмножеством ${\mathfrak {X}}$ коразмерности 1, $k_{i}\in \mathbb {Z}$, и $\lambda _{\infty }\in \mathbb {R}$, и сумма

$$\sum _{\infty }$$

представляет собой сумму по каждому реальному вложению $K\to \mathbb {R}$ и более одного вложения для каждой пары комплексных вложений $K\to \mathbb {C}$. Набор c-делителей образует группу ${\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})$.

Результаты

Аракелов ( 1974 , 1975 ) определил теорию пересечений на арифметических поверхностях , присоединенных к гладким проективным кривым над числовыми полями, с целью доказать некоторые результаты, известные в случае функциональных полей:в случае числовых полей. Герд Фалтингс ( 1984 ) расширил работу Аракелова, установив такие результаты, как теорема Римана-Роха, формула Нётер , теорема об индексе Ходжа и неотрицательность самопересечения дуализирующего пучка в этом контексте.

Теория Аракелова использовалась Полом Войтой (1991) для нового доказательства гипотезы Морделла , а также Гердом Фалтингсом ( 1991 ) в доказательстве Сержем Лангом обобщения гипотезы Морделла .

Пьер Делинь ( 1987 ) разработал более общую структуру для определения пары пересечений, определенной на арифметической поверхности над спектром кольца целых чисел Аракеловым. Шоу-Ву Чжан ( 1992 ) разработал теорию положительных линейных расслоений и доказал теорему типа Накаи-Мойшезона для арифметических поверхностей. Дальнейшее развитие теории положительных линейных расслоений Чжана ( 1993 , 1995a , 1995b ) и Люсьена Шпиро , Эммануэля Ульмо и Чжана ( 1997 ) завершилось доказательством гипотезы Богомолова Ульмо ( 1998 ) и Чжана ( 1998 ).

Теория Аракелова была обобщена Анри Жилле и Кристофом Суле на более высокие измерения. То есть Жилле и Суле определили пару пересечений на арифметическом многообразии. Одним из основных результатов Жилле и Суле является арифметическая теорема Римана-Роха Жилле и Суле (1992) , расширение теоремы Гротендика-Римана-Роха на арифметические многообразия. Для этого определяются арифметические группы Чжоу CH ^п ( X ) арифметического многообразия X и определяет классы Чженя для эрмитовых векторных расслоений над X, принимающих значения в арифметических группах Чоу. Затем арифметическая теорема Римана-Роха описывает, как ведет себя класс Черна при продвижении векторных расслоений при правильном отображении арифметических многообразий. Полное доказательство этой теоремы было опубликовано лишь недавно Жилле, Рёсслером и Суле.

Теория пересечения Аракелова для арифметических поверхностей была развита Жаном-Бенуа Бостом ( 1999 ). Теория Боста основана на использовании функций Грина , которые с точностью до логарифмических особенностей принадлежат пространству Соболева. $L_{1}^{2}$. В этом контексте Бост получает арифметическую теорему об индексе Ходжа и использует ее для получения теорем Лефшеца для арифметических поверхностей.

Арифметические группы Чоу

Арифметический цикл коразмерности p — это пара ( Z , g ), где Z ∈ Z ^п ( X ) — p -цикл на X , а g — ток Грина для Z , многомерное обобщение функции Грина. Арифметическая группа Чоу ${\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)$ коразмерности p есть фактор этой группы по подгруппе, порожденной некоторыми «тривиальными» циклами.

Арифметическая теорема Римана–Роха

Обычная теорема Гротендика-Римана-Роха описывает, как характер Черна ch ведет себя при продвижении пучков, и утверждает, что ch( f _* ( E )) = f _* (ch(E)Td _{X / Y} ), где f - собственный морфизм из X в Y и E является векторным расслоением над f . Арифметическая теорема Римана-Роха аналогична, за исключением того, что класс Тодда умножается на определенный степенной ряд . Арифметическая теорема Римана – Роха утверждает:

$${\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))$$

где

• X и Y — регулярные проективные арифметические схемы.
• f — гладкое собственное отображение X в Y
• E арифметическое векторное расслоение над X. —
• ${\hat {\mathrm {ch} }}$ — арифметический символ Черна.
• T _X/Y — относительное касательное расслоение
• ${\hat {\mathrm {Td} }}$ это арифметический класс Тодда
• ${\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)$ является ${\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))$
• R ( X ) — аддитивный характеристический класс, связанный с формальным степенным рядом
  $$\sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].$$

См. также

• Hodge–Arakelov theory
• Теория Ходжа
• P-адическая теория Ходжа
• Группа Аделик

Ссылки

• Аракелов, Сурен Дж. (1974), "Теория пересечения дивизоров на арифметической поверхности", Матем. СССР Изв. , 8 (6): 1167–1180, doi : 10.1070/IM1974v008n06ABEH002141 , Zbl   0355.14002
• Аракелов Сурен Дж. (1975), "Теория пересечений на арифметической поверхности", Учеб. Интерн. Конгресс Математики Ванкувера , вып. 1, амер. Математика. Соц., стр. 405–408, Збл   0351.14003
• Бост, Жан-Бенуа (1999), «Теория потенциала и теоремы Лефшеца для арифметических поверхностей» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 32 (2): 241–312, doi : 10.1016/s0012- 9593(99)80015-9 , ISSN   0012-9593 , Збл   0931.14014
• Делинь, П. (1987), «Определитель когомологий», Современные тенденции в арифметической алгебраической геометрии (Арката, Калифорния, 1985) [ Определитель когомологий ], Современная математика, том. 67, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 93–177, doi : 10.1090/conm/067/902592 , MR   0902592.
• Фальтингс, Герд (1984), «Исчисление на арифметических поверхностях», Annals of Mathematics , Second Series, 119 (2): 387–424, doi : 10.2307/2007043 , JSTOR   2007043
• Фальтингс, Герд (1991), «Диофантова аппроксимация абелевых многообразий», Annals of Mathematics , Second Series, 133 (3): 549–576, doi : 10.2307/2944319 , JSTOR   2944319
• Фальтингс, Герд (1992), Лекции по арифметической теореме Римана – Роха , Анналы математических исследований, том. 127, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, номер номера : 10.1515/9781400882472 , ISBN.  0-691-08771-7 , МР   1158661
• Жилле, Анри ; Суле, Кристоф (1992), «Арифметическая теорема Римана – Роха», Mathematical Inventions , 110 : 473–543, doi : 10.1007/BF01231343
• Кавагути, Шу; Мориваки, Ацуши; Ямаки, Казухико (2002), «Введение в геометрию Аракелова», Алгебраическая геометрия в Восточной Азии (Киото, 2001) , River Edge, Нью-Джерси: World Sci. Публикация, стр. 1–74, doi : 10.1142/9789812705105_0001 , ISBN.  978-981-238-265-8 , МР   2030448
• Ланг, Серж (1988), Введение в теорию Аракелова , Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-1031-3 , ISBN  0-387-96793-1 , МР   0969124 , Збл   0667.14001
• Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). ISBN  978-3-540-20364-3 . ISSN   0938-0396 . Збл   1079.11002 .
• Суле, Кристоф (2001) [1994], «Теория Аракелова» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Суле, К. ; при сотрудничестве Д. Абрамовича, Ж.-Ф. Бурнол и Дж. Крамер (1992), Лекции по геометрии Аракелова , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 33, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. viii+177, doi : 10.1017/CBO9780511623950 , ISBN  0-521-41669-8 , МР   1208731
• Шпиро, Люсьен ; Ульмо, Эммануэль ; Чжан 1997 - , Ву Шоу ( ) , doi:10.1007/s002220050123, S2CID 119668209.
• Ульмо, Эммануэль (1998), «Положительность и дискретность алгебраических точек кривых», Annals of Mathematics , 147 (1): 167–179, arXiv : alg-geom/9606017 , doi : 10.2307/120987 , Zbl   0934.14013
• Войта, Пол (1991), «Теорема Сигела в компактном случае», Annals of Mathematics , 133 (3), Annals of Mathematics, Vol. 133, № 3: 509–548, doi : 10.2307/2944318 , JSTOR   2944318.
• Чжан, Шоу-Ву (1992), «Положительные расслоения прямых на арифметических поверхностях», Annals of Mathematics , 136 (3): 569–587, doi : 10.2307/2946601 .
• Чжан, Шоу-Ву (1993), «Допустимое спаривание на кривой», Inventiones Mathematicae , 112 (1): 421–432, Bibcode : 1993InMat.112..171Z , doi : 10.1007/BF01232429 , S2CID   120229374 .
• Чжан, Шоу-Ву (1995a), «Маленькие точки и адельные метрики», Журнал алгебраической геометрии , 8 (1): 281–300 .
• Чжан, Шоу-Ву (1995b), «Положительные расслоения прямых на арифметических многообразиях», Журнал Американского математического общества , 136 (3): 187–221, doi : 10.1090/S0894-0347-1995-1254133-7 .
• Чжан, Шоу-Ву (1996), «Высоты и редукции полустабильных разновидностей», Compositio Mathematica , 104 (1): 77–105 .
• Чжан, Шоу-Ву (1998), «Равнораспределение малых точек на абелевых многообразиях», Annals of Mathematics , 147 (1): 159–165, doi : 10.2307/120986 , JSTOR   120986 .

Внешние ссылки

• Оригинальная бумага
• Arakelov geometry preprint archive