Теорема Римана–Роха для поверхностей

Теорема Римана–Роха для поверхностей

Поле	Алгебраическая геометрия
Первое доказательство	Гвидо Кастельнуово , Макс Нётер , Федериго Энрикес
Первое доказательство в	1886, 1894, 1896, 1897
Обобщения	Теорема Атьи – Зингера об индексе Теорема Гротендика – Римана – Роха. Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.
Последствия	Теорема Римана – Роха

В математике теорема Римана-Роха для поверхностей описывает размерность линейных систем на алгебраической поверхности . Классическую форму ему впервые дал Кастельнуово ( 1896 , 1897 ), после того как предварительные варианты его были найдены Максом Нётером ( 1886 ) и Энрикесом ( 1894 ). Версия теории пучков принадлежит Хирцебруху.

Заявление

Одна из форм теоремы Римана–Роха гласит, что если D является дивизором на неособой проективной поверхности, то

$\chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(D-K)\,$

где х — голоморфная эйлерова характеристика , точка. — номер пересечения , а K — канонический делитель. Константа χ(0) является голоморфной эйлеровой характеристикой тривиального расслоения и равна 1 + p _a , где p _a — арифметический род поверхности. Для сравнения, теорема Римана–Роха для кривой утверждает, что χ( D ) = χ(0) + deg( D ).

Формула Нётер

Формула Нётер гласит, что

$\chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(K.K)+e}{12}}$

где χ=χ(0) — голоморфная эйлерова характеристика, c ₁ ² = ( K . K ) — число Черна и число самопересечения канонического класса K , а e = c ₂ — топологическая эйлерова характеристика. Его можно использовать для замены член χ(0) в теореме Римана–Роха с топологическими членами; это дает теорему Хирцебруха – Римана – Роха для поверхностей.

Связь с теоремой Хирцебруха – Римана – Роха.

Для поверхностей теорема Хирцебруха-Римана-Роха по сути представляет собой теорему Римана-Роха для поверхностей в сочетании с формулой Нётер. что для каждого дивизора D на поверхности существует обратимый пучок L = O( D ) такой, что линейная система D является более или менее пространством сечений L. Чтобы убедиться в этом, напомним , Для поверхностей класс Тодда равен $1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12$, а характер Черна пучка L равен $1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2$, поэтому теорема Хирцебруха–Римана–Роха утверждает, что

${\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}$

К счастью, это можно записать в более ясной форме следующим образом. Первое помещение D = 0 показывает, что

$\chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)$ (формула Нётер)

Для обратимых пучков (линейных расслоений) второй класс Чженя исчезает. Произведения вторых классов когомологий можно отождествить с числами пересечений в группе Пикара , и мы получаем более классическую версию Римана-Роха для поверхностей:

$\chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(D.D-D.K)$

Если мы хотим, мы можем использовать двойственность Серра, чтобы выразить h ² (O( D )) как h ⁰ (O( K − D )), но, в отличие от кривых, вообще говоря, нет простого способа записать h ¹ (O( D )) в форме, не включающей пучковых когомологий (хотя на практике он часто исчезает).

Ранние версии

Самые ранние формы теоремы Римана-Роха для поверхностей часто формулировались как неравенство, а не равенство, поскольку не было прямого геометрического описания первых групп когомологий. Типичный пример дает Зариский (1995 , стр. 78), который утверждает, что

$r\geq n-\pi +p_{a}+1-i$

где

• r — размерность полной линейной системы | Д | дивизора D (поэтому r = h ⁰ (О( Д )) −1)
• n — виртуальная степень D ( определяемая числом самопересечения D.D . ) ,
• π — виртуальный род D . , равный 1 + (DD + KD)/2
• p _a — арифметический род χ(O _F ) − 1 поверхности
• i — специальности D индекс , равный dim H ⁰ (O( K − D )) (что по двойственности Серра совпадает с dim H ² (О(Д))).

двумя частями этого неравенства назвали сверхизобилием s дивизора D. Разницу между Сравнение этого неравенства с теоретико-пучковой версией теоремы Римана–Роха показывает, что избыток D определяется выражением s = dim H ¹ (О( Д )). Дивизор D назывался регулярным , если i = s = 0 (или, другими словами, если все высшие группы когомологий O( D ) обращаются в нуль) и сверхизбыточным, если s > 0.

Ссылки

• Топологические методы в алгебраической геометрии Фридриха Хирцебруха ISBN   3-540-58663-6
• Зариский, Оскар (1995), Алгебраические поверхности , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-58658-6 , МР   1336146
• Смит, Рой. «О классическом обобщении Римана Роха и Хирцебруха» (PDF) . Отделение математики Научно-образовательный центр Бойда Университет Джорджии .