Обратимая связка

В математике обратимый пучок — это пучок в кольцевом пространстве , имеющий обратное по отношению к тензорному произведению пучков модулей . это эквивалент В алгебраической геометрии топологического понятия линейного расслоения . Благодаря своему взаимодействию с дивизорами Картье они играют центральную роль в изучении алгебраических многообразий .

Определение [ править ]

Пусть ( X , O _X ) — кольцевое пространство. Классы изоморфизма пучков O _X -модулей образуют моноид при операции тензорного произведения O _X -модулей. Идентификационным элементом для этой операции является O _X. сам Обратимые пучки являются обратимыми элементами этого моноида. В частности, если L — пучок OX _если -модулей, то L называется обратимым, он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^[1]^[2]

Существует пучок M такой, что $L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}M\cong {\mathcal {O}}_{X}$ .
Естественный гомоморфизм $L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{\vee }\to {\mathcal {O}}_{X}$ является изоморфизмом, где $L^{\vee }$ обозначает двойной пучок ${\underline {\operatorname {Hom} }}(L,{\mathcal {O}}_{X})$ .
Функтор из O _X -модулей в O _X -модули, определенный формулой $F\mapsto F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L$ есть эквивалентность категорий.

Любой локально свободный пучок ранга один обратим. Если X — локально окольцованное пространство, то L обратимо тогда и только тогда, когда оно локально свободно от ранга один. По этой причине обратимые пучки тесно связаны с линейными расслоениями до такой степени, что их иногда объединяют.

Примеры [ править ]

Пусть X аффинная схема $Spec R.$ — Тогда обратимый пучок на X — это пучок, ассоциированный с модулем ранга один над R. проективным Например, сюда относятся дробные идеалы полей алгебраических чисел , поскольку это проективные модули первого ранга над кольцами целых чисел числового поля.

Группа Пикарда [ править ]

В общем случае классы изоморфизма обратимых пучков на X сами по себе образуют абелеву группу относительно тензорного произведения. Эта группа обобщает идеальную группу классов . В общем так написано

\mathrm {Pic} (X)\

с Pic — функтором Пикара . Поскольку он также включает в себя теорию якобианского многообразия алгебраической кривой , изучение этого функтора является важным вопросом алгебраической геометрии.

Непосредственное построение обратимых пучков с помощью данных об X приводит к понятию дивизора Картье .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ИЛИ 0 _I , 5.4.
^ Проект Stacks, тег 01CR, [1] .

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .

[1] ИЛИ 0 _I , 5.4.

[2] Проект Stacks, тег 01CR, [1] .

[1]

[2]