Теорема Биркгофа – Гротендика.

В математике теорема Биркгофа -Гротендика классифицирует голоморфные векторные расслоения над комплексной проективной прямой . В частности, каждое голоморфное векторное расслоение над $\mathbb {CP} ^{1}$ является прямой суммой голоморфных линейных расслоений . Теорему доказал Александр Гротендик ( 1957 , теорема 2.1), и более или менее эквивалентен факторизации Биркгофа, введенной Джорджем Дэвидом Биркгофом ( 1909 ).

Заявление

Точнее, формулировка теоремы состоит в следующем.

Каждое голоморфное векторное расслоение ${\mathcal {E}}$ на $\mathbb {CP} ^{1}$ голоморфно изоморфна прямой сумме линейных расслоений:

${\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).$

Обозначения подразумевают, что каждое слагаемое представляет собой поворот Серра некоторое количество раз тривиального расслоения . Представление уникально с точностью до перестановочных множителей.

Обобщение

Тот же результат справедлив в алгебраической геометрии для алгебраических векторных расслоений над $\mathbb {P} _{k}^{1}$ для любой сферы $k$. Это также справедливо для $\mathbb {P} ^{1}$ с одной или двумя точками орбифолда, а также для цепочек проективных прямых, пересекающихся вдоль узлов.

Приложения

Одним из применений этой теоремы является классификация всех когерентных пучков на $\mathbb {CP} ^{1}$. У нас есть два случая: векторные расслоения и когерентные пучки, поддерживаемые вдоль подмногообразия, поэтому ${\mathcal {O}}(k),{\mathcal {O}}_{nx}$ где n - степень жирной точки в $x\in \mathbb {CP} ^{1}$. Поскольку единственными подмногообразиями являются точки, мы имеем полную классификацию когерентных пучков.

См. также

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• последовательность Эйлера
• Принцип разделения
• К-теория
• Прыгающая линия

Дальнейшее чтение

• Оконек, Кристиан; Шнайдер, Майкл; Шпиндлер, Хайнц (1980). Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах . Современная классика Биркхойзера. Биркхойзер Базель. дои : 10.1007/978-3-0348-0151-5 . ISBN  978-3-0348-0150-8 .
• Саламон, С.М.; Берстолл, FE (1987). «Турниры, флаги и гармонические карты» . Математические Аннален . 277 (2): 249–266. дои : 10.1007/BF01457363 . S2CID   120270501 .

Внешние ссылки

• Роман Безрукавников. 18.725 Алгебраическая геометрия ( LEC № 24 Биркгофа – Гротендика, Римана-Роха, двойственности Серра ), осень 2015 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .