Gromov–Witten invariant

В математике , особенно в симплектической топологии и алгебраической геометрии , Громова-Виттена ( GW ) инварианты представляют собой рациональные числа , которые в определенных ситуациях подсчитывают псевдоголоморфные кривые, удовлетворяющие заданным условиям в данном симплектическом многообразии . Инварианты GW могут быть упакованы как класс гомологии или когомологии в подходящем пространстве или как деформированное чашечное произведение квантовых когомологий . Эти инварианты были использованы для различения симплектических многообразий, которые ранее были неразличимы. Они также играют решающую роль в теории струн закрытого типа IIA . Они названы в честь Михаила Громова и Эдварда Виттена .

Строгое математическое определение инвариантов Громова – Виттена является длинным и сложным, поэтому оно рассматривается отдельно в статье об устойчивых картах . В этой статье делается попытка более интуитивного объяснения того, что означают инварианты, как они вычисляются и почему они важны.

Определение

Учтите следующее:

• X : замкнутое симплектическое многообразие размерности 2k ,
• A : двумерный класс гомологии в X ,
• g : неотрицательное целое число,
• n : неотрицательное целое число.

Теперь мы определим инварианты Громова–Виттена, связанные с четверкой: ( X , A , g , n ). Позволять ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ — пространство модулей Делиня–Мамфорда кривых рода g с n отмеченными точками и ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ обозначаем пространство модулей стабильных отображений в X класса A для некоторой выбранной почти комплексной структуры J на ​​X, совместимой с ее симплектической формой. Элементы ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ имеют вид:

$(C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)$,

где C — кривая (не обязательно стабильная) с n отмеченными точками x ₁ , ..., x _n и f : C → X псевдоголоморфна. Пространство модулей имеет реальную размерность.

$d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.$

Позволять

$\mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$

обозначают стабилизацию кривой. Позволять

$Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},$

который имеет реальную размерность $6g-6+2(k+1)n$. Есть оценочная карта

${\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}$

Карта оценки отправляет фундаментальный класс ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ к d -мерному классу рациональных гомологий в Y , обозначаемому

$GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).$

В некотором смысле этот класс гомологий является Громова–Виттена X для данных g , n и A. инвариантом Это инвариант симплектического изотопического класса симплектического многообразия X .

Чтобы интерпретировать инвариант Громова–Виттена геометрически, пусть β — класс гомологии в ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ и $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ классы гомологий в X такие, что сумма коразмерностей $\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ равно д . Они индуцируют классы гомологии в Y по формуле Кюннета . Позволять

$GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),$

где $\cdot$ обозначает произведение пересечений в рациональных гомологиях Y . Это рациональное число, инвариант Громова–Виттена для данных классов. Это число дает «виртуальный» подсчет количества псевдоголоморфных кривых (в классе A рода g с областью определения в β-части пространства Делиня–Мамфорда), чьи n отмеченных точек отображаются в циклы, представляющие $\alpha _{i}$.

Проще говоря, инвариант GW подсчитывает, сколько существует кривых, пересекающих n выбранных подмногообразий X . Однако из-за «виртуальной» природы счета оно не обязательно должно быть натуральным числом, как можно было бы ожидать. Ибо пространство стабильных отображений представляет собой орбифолд , точки изотропии которого могут вносить в инвариант нецелые значения.

Существуют многочисленные варианты этой конструкции, в которых вместо гомологии используются когомологии, интегрирование заменяет пересечение, также интегрируются классы Черна, извлеченные из пространства Делиня–Мамфорда, и т. д.

Вычислительные методы

Инварианты Громова–Виттена обычно трудно вычислить. Хотя они определены для любой общей почти комплексной структуры J , для линеаризация D которой ${\bar {\partial }}_{j,J}$оператор сюръективен они фактически должны быть вычислены относительно конкретного выбранного J. , Удобнее всего выбирать J со специальными свойствами, такими как нетипичная симметрия или интегрируемость. Действительно, вычисления часто проводятся на кэлеровых многообразиях с использованием методов алгебраической геометрии.

Однако специальный J может вызвать несюръективный D и, следовательно, пространство модулей псевдоголоморфных кривых, которое больше, чем ожидалось. формируя из коядра D Грубо говоря, этот эффект можно исправить , векторное расслоение , называемое расслоением препятствий , а затем реализуя инвариант GW как интеграл класса Эйлера расслоения препятствий. Чтобы сделать эту идею более точной, требуются значительные технические аргументы с использованием структур Кураниши .

Основным вычислительным методом является локализация . Это применимо, когда X является торическим , что означает, что на него действует комплексный тор или, по крайней мере, локально торический. Затем можно использовать неподвижной точке теорему Атьи-Ботта о Майкла Атьи и Рауля Ботта , чтобы сократить или локализовать вычисление GW, инвариантного к интегрированию по локусу действия с неподвижной точкой.

Другой подход — использовать симплектические операции, чтобы связать X с одним или несколькими другими пространствами, инварианты GW которых легче вычислить. Конечно, сначала нужно понять, как ведут себя инварианты при операциях. Для таких приложений часто используются более сложные относительные инварианты GW , которые считают кривые с заданными условиями касания вдоль симплектического подмногообразия X вещественной коразмерности два.

Родственные инварианты и другие конструкции

Инварианты GW тесно связаны с рядом других концепций геометрии, включая инварианты Дональдсона и инварианты Зайберга–Виттена в симплектической категории, а также теорию Дональдсона–Томаса в алгебраической категории. Для компактных симплектических четырехмногообразий Клиффорд Таубс показал, что вариант инвариантов GW (см. инвариант Громова Таубса ) эквивалентен инвариантам Зайберга – Виттена. Предполагается, что для алгебраических трехмерных многообразий они содержат ту же информацию, что и целочисленные инварианты Дональдсона–Томаса . Физические соображения также приводят к появлению инвариантов Гопакумара-Вафы , которые предназначены для придания целочисленного значения типично рациональной теории Громова-Виттена. Инварианты Гопакумара-Вафы в настоящее время не имеют строгого математического определения, и это одна из основных проблем в этой области.

Инварианты Громова-Виттена гладких проективных многообразий могут быть полностью определены в рамках алгебраической геометрии. Классическая перечислительная геометрия плоских кривых и рациональных кривых в однородных пространствах фиксируется инвариантами GW. Однако основное преимущество инвариантов GW перед классическими перечислительными счетчиками состоит в том, что они инвариантны относительно деформаций сложной структуры цели. Инварианты GW также обеспечивают деформации структуры произведения в кольце когомологий симплектического или проективного многообразия; их можно организовать для построения кольца квантовых когомологий многообразия X , которое является деформацией обычных когомологий. Ассоциативность деформированного произведения по существу является следствием самоподобной природы пространства модулей стабильных отображений, которые используются для определения инвариантов.

Кольцо квантовых когомологий, как известно, изоморфно симплектическим гомологиям Флоера с его произведением «пара штанов».

Применение в физике

Инварианты GW представляют интерес для теории струн — раздела физики, который пытается объединить общую теорию относительности и квантовую механику . Согласно этой теории, все во Вселенной, начиная с элементарных частиц , состоит из крошечных струн . Когда струна путешествует в пространстве-времени, она очерчивает поверхность, называемую мировым листом струны. К сожалению, пространство модулей таких параметризованных поверхностей, по крайней мере априори , бесконечномерно; подходящая мера в этом пространстве неизвестна, и поэтому интегралы по траекториям теории не имеют строгого определения.

Ситуация улучшается в варианте, известном как закрытая А-модель . Здесь имеется шесть измерений пространства-времени, которые составляют симплектическое многообразие, и оказывается, что мировые листы обязательно параметризуются псевдоголоморфными кривыми, пространства модулей которых только конечномерны. Инварианты GW, как интегралы по этим пространствам модулей, тогда являются интегралами по путям теории. В частности, свободная энергия A-модели рода g является производящей функцией инвариантов GW рода g .

См. также

• Котангенсный комплекс - для теории деформаций.
• Исчисление Шуберта

Ссылки

• Макдафф, Дуса и Саламон, Дитмар (2004). J-голоморфные кривые и симплектическая топология . Публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN  0-8218-3485-1 . Аналитически насыщенный обзор инвариантов Громова – Виттена и квантовых когомологий симплектических многообразий, очень технически полный.
• Пюнихин, Сергей; Саламон, Дитмар и Шварц, Матиас (1996). «Симплектическая теория Флоера – Дональдсона и квантовые когомологии». В Томасе, CB (ред.). Контактная и симплектическая геометрия . Издательство Кембриджского университета . стр. 171 –200. ISBN  0-521-57086-7 .

Дальнейшее чтение

• Пространства модулей стабильных отображений первого рода, виртуальные классы и упражнение по теории пересечений - Андреа Тирелли
• Кок, Иоахим; Вайнсенчер, Израиль (2007). Приглашение к квантовым когомологиям: формула Концевича для рациональных плоских кривых . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-8176-4456-7 . Хорошее введение с историей и упражнениями в формальное понятие пространства модулей , подробно рассматривает случай проективных пространств с использованием основ языка схем .
• Вакил, Рави (2006). «Пространство модулей кривых и теория Громова – Виттена». Перечислительные инварианты в алгебраической геометрии и теории струн . Том. 1947. Спрингер. стр. 143–198. arXiv : math/0602347 . Бибкод : 2006math......2347V . дои : 10.1007/978-3-540-79814-9_4 .
• Заметки о стабильных отображениях и квантовых когомологиях

Научные статьи

• Теория Громова-Виттена схем смешанной характеристики