Особая точка кривой

В геометрии особой точкой кривой является точка , которой не задана плавным вложением параметра кривая . Точное определение особой точки зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые на плоскости

Алгебраические кривые на плоскости можно определить как набор точек ( x , y ), удовлетворяющих уравнению вида $f(x,y)=0,$ где f — полиномиальная функция $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .$ Если f расширяется как

$$f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots$$

Если начало координат (0, 0) находится на кривой, то a ₀ = 0 . Если b ₁ ≠ 0 , то теорема о неявной функции гарантирует существование гладкой функции h, так что кривая имеет форму y = h ( x ) вблизи начала координат. Аналогично, если b ₀ ≠ 0 , то существует гладкая функция k , так что кривая имеет форму x = k ( y ) вблизи начала координат. В любом случае существует гладкое отображение из $\mathbb {R}$ к плоскости, определяющей кривую в окрестности начала координат. Обратите внимание, что в начале

$$b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},$$

поэтому кривая является неособой или регулярной если хотя бы одна из частных производных f в начале координат , не равна нулю. Особые точки — это те точки на кривой, в которых обе частные производные обращаются в нуль.

$$f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.$$

Обычные очки

Предположим, что кривая проходит через начало координат, и напишем $y=mx.$ Тогда f можно записать

$$f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .$$

Если $b_{0}+mb_{1}$ не равно 0, то f = 0 имеет решение кратности 1 в точке x = 0 , а начало координат является точкой единственного контакта с прямой $y=mx.$ Если $b_{0}+mb_{1}=0$ тогда f = 0 имеет решение кратности 2 или выше и линия $y=mx,$ или $b_{0}x+b_{1}y=0,$ касается кривой. В этом случае, если $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}$ не равен 0, то кривая имеет точку двойного контакта с $y=mx.$ Если коэффициент при x ² , $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},$ равен 0, но коэффициент при x ³ нет, то начало координат является точкой перегиба кривой. Если коэффициенты при x ² и х ³ оба равны 0, то начало координат называется точкой волнистости кривой. Этот анализ можно применить к любой точке кривой путем перевода осей координат так, чтобы начало координат находилось в данной точке.

Двойные очки

Три лимасона, иллюстрирующие типы двойной точки. При преобразовании в декартовы координаты как $(x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(1.5)^{2}(x^{2}+y^{2}),$ левая кривая приобретает акнод в начале координат, который представляет собой изолированную точку на плоскости. Центральная кривая, кардиоида , имеет вершину в начале. Правая кривая имеет кривую в начале координат, и кривая пересекает сама себя, образуя петлю.

Если b ₀ и b ₁ оба равны 0 в приведенном выше разложении, но хотя бы один из c ₀ , c ₁ , c ₂ не равен 0, то начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положив $y=mx,$ f можно написать

$$f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .$$

Двойные точки можно классифицировать в соответствии с решениями задачи $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$

Крунодес

Основная статья: Крунод

Если $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ имеет два вещественных решения для m , то есть если $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,$ тогда начало координат называется crunode . Кривая в этом случае пересекает себя в начале координат и имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям уравнения. $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$ В этом случае функция f имеет седловую точку в начале координат.

Акноды

Основная статья: Акнод

Если $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ не имеет действительных решений для m , то есть если $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,$ тогда источник называется acnode . В реальной плоскости начало координат представляет собой изолированную точку кривой; однако, если рассматривать ее как комплексную кривую, начало координат не изолировано и имеет две мнимые касательные, соответствующие двум комплексным решениям уравнения. $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$ В этом случае функция f имеет локальный экстремум в начале координат.

Куспиды

Основная статья: Кусп (сингулярность)

Если $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ имеет единственное решение кратности 2 для m , то есть если $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,$ тогда начало координат называется точкой возврата . Кривая в этом случае меняет направление в начале координат, создавая острую точку. Кривая имеет одну касательную в начале координат, которую можно рассматривать как две совпадающие касательные.

Дальнейшая

Термин «узел» используется для обозначения либо крюнода, либо акнода, другими словами, двойной точки, которая не является точкой возврата. Число узлов и количество точек возврата на кривой — два инварианта, используемые в формулах Плюкера .

Если одно из решений $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ также является решением $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,$ тогда соответствующая ветвь кривой имеет точку перегиба в начале координат. В этом случае начало координат называется flecnode . Если обе касательные обладают этим свойством, то $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}$ является фактором $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},$ тогда начало координат называется бифлекнодом .

Несколько точек

Кривая с тройной точкой в ​​начале координат: x ( t ) = sin(2 t ) + cos( t ) , y ( t ) = sin( t ) + cos(2 t )

В общем, если все члены степени меньше k равны 0 и хотя бы один член степени k не равен 0 в f , то говорят, что кривая имеет кратную точку порядка k или k-ple точку . Как правило, кривая будет иметь k касательных в начале координат, хотя некоторые из этих касательных могут быть мнимыми.

Параметрические кривые

кривая Параметризованная в $\mathbb {R} ^{2}$ определяется как образ функции $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},$ $g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).$ Особые точки – это точки, в которых

$${\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.$$

Острие полукубической параболы $y^{2}=x^{3}$

Многие кривые могут быть определены любым способом, но эти два определения могут не совпадать. Например, точка возврата может быть определена на алгебраической кривой , $x^{3}-y^{2}=0,$ или на параметризованной кривой, $g(t)=(t^{2},t^{3}).$ Оба определения дают особую точку в начале координат. Однако такой узел , как узел $y^{2}-x^{3}-x^{2}=0$ в начале координат является особенностью кривой, рассматриваемой как алгебраическая кривая, но если мы параметризуем ее как $g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),$ затем $g'(t)$ никогда не обращается в нуль, и, следовательно, узел не является особенностью параметризованной кривой, как определено выше.

При выборе параметризации следует проявлять осторожность. Например, прямая линия y = 0 может быть параметризована с помощью $g(t)=(t^{3},0),$ имеющая особенность в начале координат. При параметризации $g(t)=(t,0),$ оно несингулярно. Следовательно, технически правильнее здесь говорить об особых точках гладкого отображения, а не об особых точках кривой.

Приведенные выше определения можно расширить, чтобы охватить неявные кривые , которые определяются как нулевое множество. $f^{-1}(0)$ и гладкой функции нет необходимости рассматривать только алгебраические многообразия. Определения могут быть расширены, чтобы охватить кривые более высоких измерений.

Теорема Хасслера-Уитни государства

Теорема . Любое замкнутое множество в $\mathbb {R} ^{n}$ возникает как множество решений $f^{-1}(0)$ для некоторой гладкой функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} .$

Любую параметризованную кривую можно также определить как неявную кривую, а классификацию особых точек кривых можно изучать как классификацию особых точек алгебраического многообразия .

Типы особых точек

Некоторые из возможных особенностей:

• Изолированная точка: $x^{2}+y^{2}=0,$ акнод ​
• Две линии пересекаются: $x^{2}-y^{2}=0,$ крунода ​
• Куспид ​ : $x^{3}-y^{2}=0,$ также называется спинодом
• Такнод ​ : $x^{4}-y^{2}=0$
• Рамфоидный бугорок : $x^{5}-y^{2}=0.$

См. также

• Особая точка алгебраического многообразия
• Теория сингулярности
• Теория Морса

Ссылки

• Хилтон, Гарольд (1920). «Глава II: Особые точки». Плоские алгебраические кривые . Оксфорд.