Стабильная кривая

См. также: Стабильная карта кривых.

В алгебраической геометрии называется устойчивой кривой алгебраическая кривая , асимптотически устойчивая в смысле геометрической теории инвариантов .

Это эквивалентно условию, что это полная связная кривая, единственными особенностями которой являются обычные двойные точки и группа автоморфизмов конечна. Условие конечности группы автоморфизмов можно заменить условием, что она не имеет арифметического рода один и каждый неособый рациональный компонент пересекается с другими компонентами по крайней мере в трех точках ( Делинь и Мамфорд, 1969 ).

Полустабильная кривая — это кривая, удовлетворяющая аналогичным условиям, за исключением того, что группа автоморфизмов может быть редуктивной, а не конечной (или, что то же самое, ее связный компонент может быть тором). В качестве альтернативы условие, что неособые рациональные компоненты встречаются с другими компонентами по крайней мере в трех точках, заменяется условием, что они встречаются по крайней мере в двух точках.

Аналогично кривая с конечным числом отмеченных точек называется стабильной, если она полная, связная, имеет в качестве особенностей только обычные двойные точки и имеет конечную группу автоморфизмов. Например, эллиптическая кривая (неособая кривая рода 1 с 1 отмеченной точкой) устойчива.

Над комплексными числами связная кривая устойчива тогда и только тогда, когда после удаления всех особых и отмеченных точек универсальные накрытия всех ее компонент изоморфны единичному кругу.

Определение

Учитывая произвольную схему $S$ и настройка $g\geq 2$ стабильная над кривая рода g $S$ определяется как собственный плоский морфизм $\pi :C\to S$ такие, что геометрические слои редуцированы, связаны одномерные схемы $C_{s}$ такой, что

1. $C_{s}$ имеет только обычные двухточечные особенности
2. Каждый рациональный компонент $E$ соответствует другим компонентам более чем $2$ очки
3. $\dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g$

Эти технические условия необходимы, потому что (1) уменьшает техническую сложность (здесь также можно использовать теорию Пикара-Лефшеца), (2) придает кривым жесткость, так что не существует бесконечно малых автоморфизмов стека модулей, построенного позже, и (3) гарантирует, что арифметический род каждого слоя один и тот же. Заметим, что для (1) типы особенностей, встречающихся на эллиптических поверхностях, можно полностью классифицировать.

Примеры

Одним из классических примеров семейства устойчивых кривых является семейство кривых Вейерштрасса.

${\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}$

где волокна над каждой точкой $\neq 0,1$ гладкие, а вырожденные точки имеют только одну двухточечную особенность. Этот пример можно обобщить на случай однопараметрического семейства гладких гиперэллиптических кривых, вырождающихся в конечном числе точек.

Непримеры

В общем случае с более чем одним параметром необходимо позаботиться о том, чтобы удалить кривые, которые имеют особенности хуже, чем двухточечные. Например, рассмотрим семью $\mathbb {A} _{s,t}^{2}$ построенный из полиномов

$y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)$

так как по диагонали $s=t$ существуют недвойные особенности. Еще один не пример — семья закончилась. $\mathbb {A} _{t}^{1}$ заданные полиномами

$x^{3}-y^{2}+t$

которые представляют собой семейство эллиптических кривых, вырождающихся в рациональную кривую с точкой возврата.

Свойства

Одним из важнейших свойств устойчивых кривых является то, что они являются локальными полными пересечениями. Это означает, что можно использовать стандартную теорию двойственности Серра. В частности, можно показать, что для каждой устойчивой кривой $\omega _{C/S}^{\otimes 3}$ представляет собой относительно очень обильный пучок; его можно использовать для встраивания кривой в $\mathbb {P} _{S}^{5g-6}$. Используя стандартную теорию схемы Гильберта, мы можем построить схему модулей кривых рода $g$ встроен в некоторое проективное пространство. Полином Гильберта имеет вид

$P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)$

Существует подмножество устойчивых кривых, содержащееся в схеме Гильберта

$H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}$

Это представляет собой функтор

${\mathcal {H}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})$

где $\sim$ являются изоморфизмами стабильных кривых. Чтобы сделать это пространством модулей кривых без учета вложения (которое кодируется изоморфизмом проективных пространств), мы должны модифицировать его с помощью $PGL(5g-6)$. Это дает нам стек модулей

${\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]$

См. также

• Модули алгебраических кривых
• Стабильная карта кривых

Ссылки

• Артин, М .; Уинтерс, Г. (1 ноября 1971 г.). « Вырожденные волокна и стабильное уменьшение кривых ». Топология . 10 (4): 373–383. дои : 10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN 0040-9383.
• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX   10.1.1.589.288 , doi : 10.1007/BF02684599 , MR   0262240 , S2CID   16482150
• Гизекер, Д. (1982), Лекции по модулям кривых (PDF) , Лекции по математике и физике Института фундаментальных исследований Таты, том. 69, опубликовано для Института фундаментальных исследований Тата, Бомбей, ISBN.  978-3-540-11953-1 , МР   0691308
• Харрис, Джо ; Моррисон, Ян (1998), Модули кривых , Тексты для аспирантов по математике, том. 187, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-98429-2 , МР   1631825