Бикасательная

( Кривая Тротта черная) имеет 28 действительных битангенсов (красные). На этом изображении показаны 7 из них; остальные симметричны относительно поворота на 90 ° через начало координат и отражения от двух синих осей.

В геометрии бикасательная линия к кривой $C$ — это L $,$ которая касается $C$ в двух различных точках $P$ и $Q$ и имеет $что и C.$ в этих точках то же направление, То есть $L$ является касательной в $P$ и $Q.$ точках

Бикасательные алгебраических кривых

В общем, алгебраическая кривая будет иметь бесконечное количество секущих линий , но только конечное число бикасательных.

Теорема Безу подразумевает, что алгебраическая плоская кривая с бикасательной должна иметь степень не ниже 4. Случай с 28 битангенсами квартики был знаменитым фрагментом геометрии девятнадцатого века, причем была показана связь с 27 прямыми на кубической поверхности. .

Бикасательные многоугольников

Четыре битангенса двух непересекающихся выпуклых многоугольников можно эффективно найти с помощью алгоритма, основанного на двоичном поиске , в котором указатель двоичного поиска сохраняется в списках ребер каждого многоугольника и перемещается один из указателей влево или вправо на каждом шаге в зависимости от того, где касательные к краям двух указателей пересекают друг друга. Этот расчет битангенса является ключевой подпрограммой в структурах данных для поддержания выпуклых оболочек динамического ( Overmars & van Leeuwen 1981 ). Поччиола и Вегтер ( 1996a , 1996b ) описывают алгоритм эффективного перечисления всех отрезков двухкасательных линий, которые не пересекают ни одну из других кривых в системе нескольких непересекающихся выпуклых кривых, используя технику, основанную на псевдотриангуляции .

Бикасательные могут использоваться для ускорения подхода с использованием графа видимости для решения евклидовой задачи о кратчайшем пути : кратчайший путь среди набора многоугольных препятствий может входить или выходить из границы препятствия только вдоль одной из его битангенсов, поэтому кратчайший путь может быть найден путем применения алгоритма Дейкстры к подграфу графа видимости, образованному ребрами видимости, лежащими на двухкасательных линиях ( Rohnert 1986 ).

Связанные понятия

Биткасательная отличается от секущей линии тем, что секущая линия может пересекать кривую в двух точках, где она ее пересекает. Можно также рассматривать биткасательные, которые не являются линиями; например, набор симметрии кривой — это место центров окружностей, касающихся кривой в двух точках.

Бикасательные к парам окружностей занимают видное место в Якобом Штайнером конструкции кругов Малфатти в 1826 году , в задаче о вычислении длины ремня, соединяющего два шкива, в теореме Кейси, характеризующей множества из четырех окружностей с общей касательной окружностью, и в Теорема Монжа о коллинеарности точек пересечения некоторых бикасательных.

Ссылки

Овермарс, Миннесота ; ван Леувен, Дж. (1981), «Поддержание конфигураций в плоскости», Журнал компьютерных и системных наук , 23 (2): 166–204, doi : 10.1016/0022-0000(81)90012-X , hdl : 1874/15899 .
Поччиола, Мишель; Вегтер, Герт (1996a), «Комплекс видимости» , Международный журнал вычислительной геометрии и приложений , 6 (3): 297–308, doi : 10.1142/S0218195996000204 , Предварительная версия на Девятом симпозиуме ACM по вычислительной геометрии (1993) 328– 337]., заархивировано из оригинала 3 декабря 2006 г. , получено 12 апреля 2007 г.
Поччиола, Мишель; Вегтер, Герт (1996b), «Топологически широкие комплексы видимости посредством псевдотриангуляции», Дискретная и вычислительная геометрия , 16 (4): 419–453, doi : 10.1007/BF02712876 .
Ронерт, Х. (1986), «Кратчайшие пути на плоскости с выпуклыми многоугольными препятствиями», Information Processing Letters , 23 (2): 71–76, doi : 10.1016/0020-0190(86)90045-1 .