Проблема с ремнем

Проблема с ремнем

Задача ремне — это математическая задача, требующая найти длину перекрещенного ремня , соединяющего два круговых шкива радиусами о r ₁ и r ₂ , центры которых разделены расстоянием P . Решение задачи о поясе требует тригонометрии и понятий о двухкасательной линии , вертикальном угле и равных углах .

Решение

Очевидно, что треугольники ACO и ADO являются равными прямоугольными треугольниками , как и треугольники BEO и BFO. Кроме того, треугольники ACO и BEO подобны . Следовательно, углы CAO, DAO, EBO и FBO равны. Обозначая этот угол через $\varphi$ (выражена в радианах ), длина ремня равна

$CO+DO+EO+FO+{\text{arc}}CD+{\text{arc}}EF\,\!$

$=2r_{1}\tan(\varphi )+2r_{2}\tan(\varphi )+(2\pi -2\varphi )r_{1}+(2\pi -2\varphi )r_{2}\,\!$

$=2(r_{1}+r_{2})(\tan(\varphi )+\pi -\varphi )\,\!$

При этом используется удобство обозначения углов в радианах: длина дуги = радиус × мера угла , обращенного к дуге .

Найти $\varphi$ мы видим из подобия треугольников что АСО и ВЕО,

${\frac {AO}{BO}}={\frac {AC}{BE}}\,\!$

$\Rightarrow {\frac {P-x}{x}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,\!$

$\Rightarrow {\frac {P}{x}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{r_{2}}}\,\!$

$\Rightarrow {x}={\frac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\,\!$

$\cos(\varphi )={\frac {r_{2}}{x}}={\frac {r_{2}}{\left({\dfrac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\,\!$

$\Rightarrow \varphi =\arccos \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\right)\,\!$

При фиксированном Р длина ремня зависит только от суммы значений радиусов r ₁ + r ₂ , а не от их отдельных значений.

Проблема со шкивом

Проблема со шкивом

Существуют и другие типы проблем, похожие на проблему с ремнем. Проблема со шкивом , как показано, аналогична проблеме с ремнем; однако ремень не перекрещивается. В задаче о шкиве длина ремня равна

$2P\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r_{1}(2\pi -\theta )+r_{2}{\theta }\,,$

где r ₁ представляет собой радиус большего шкива, r ₂ представляет собой радиус меньшего шкива и:

$\theta =2\arccos \left({\frac {r_{1}-r_{2}}{P}}\right)\,.$

Приложения

Проблема с ремнем используется в конструкции самолетов , велосипедных передач , автомобилей и других изделий со шкивами или ремнями , пересекающими друг друга. Проблема со шкивами также используется при проектировании конвейерных лент, используемых в лентах аэропортов багажных и автоматизированных заводских линиях.

См. также

• Касательные линии к окружностям