Касательные линии к окружностям

В евклидовой плоской геометрии касательная линия к окружности — это линия , которая касается окружности ровно в одной точке и никогда не входит внутрь окружности. Касательные линии к окружностям составляют предмет нескольких теорем и играют важную роль во многих геометрических конструкциях и доказательствах . Поскольку касательная к окружности в точке $P$ перпендикулярна радиусу точки, теоремы , этой включающие касательные, часто включают радиальные линии и ортогональные окружности.

Касательные линии к одной окружности

Касательная $t$ к окружности $C$ пересекает окружность в одной точке $T$ . Для сравнения: секущие линии пересекают окружность в двух точках, тогда как другая линия может вообще не пересекать окружность. Это свойство касательных линий сохраняется при многих геометрических преобразованиях , таких как масштабирование , вращение , сдвиги , инверсии и картографические проекции . Говоря техническим языком, эти преобразования не меняют структуру инцидентности касательной линии и окружности, даже если линия и окружность могут быть деформированы.

Радиус круга перпендикулярен касательной, проходящей через его конечную точку на окружности круга. И наоборот, перпендикуляр к радиусу, проходящий через ту же конечную точку, является касательной. Полученная геометрическая фигура из круга и касательной имеет зеркальную симметрию относительно оси радиуса.

Никакую касательную линию нельзя провести через точку внутри круга, поскольку любая такая линия должна быть секущей. Однако две к окружности можно провести $касательные линии из точки P$ вне окружности. Геометрическая фигура круга и обеих касательных линий также обладает зеркальной симметрией относительно радиальной оси, соединяющей $P$ с центральной точкой $O$ круга. Таким образом, длины отрезков от $P$ до двух точек касания равны. По теореме о секущем-касательном квадрат этой касательной длины равен степени точки P окружности $C.$ в Эта степень равна произведению расстояний от $P$ до любых двух точек пересечения окружности с секущей линией, проходящей $P.$ через

Касательная линия $t$ и точка касания $T$ имеют сопряженные отношения друг с другом, что было обобщено в идею полюсных точек и полярных линий . Такое же взаимное отношение существует между точкой $P$ вне круга и секущей линией, соединяющей две точки касания.

Если точка $P$ является внешней по отношению к кругу с центром $O$ и если касательные линии, проходящие из $P,$ касаются круга в точках $T$ и $S$ , то $∠ TPS$ и $∠ TOS$ являются дополнительными (в сумме равны 180 °).

Если хорда $TM$ проведена из точки касания $T$ внешней точки $P$ и $∠ PTM \leq 90°$ , то $∠ PTM = ½ ∠ TOM$ .

Декартово уравнение

Предположим, что уравнение окружности в декартовых координатах имеет вид $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ с центром в $(a, b)$ . Тогда касательная к окружности в точке $(x 1, y 1)$ имеет декартово уравнение

$(x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0$

Это можно доказать, взяв неявную производную окружности. Скажем, что окружность имеет уравнение $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},$ и мы находим наклон касательной в точке $(x 1, y 1)$ , где $(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}.$ Начнем с того, что возьмем неявную производную по $x$ :

${\begin{aligned}{\overset {}{(}}x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\[4pt]2(x-a)+2(y-b){\frac {dy}{dx}}&=0\\[2pt]{\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\end{aligned}}$

Теперь, когда у нас есть наклон касательной линии, мы можем подставить наклон и координату точки касания в уравнение линии $y = kx + m$ .

${\begin{aligned}y&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}x+y_{1}+x_{1}{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\y-y_{1}&=(x_{1}-x){\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\[2pt](y-y_{1})(y_{1}-b)&=-(x-x_{1})(x_{1}-a)\\[8pt](x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)&=0\end{aligned}}$

Конструкции циркуля и линейки

Относительно просто построить линию $t,$ касающуюся окружности в точке $T$ на окружности окружности:

Линия $а$ проводится из $О$ центра окружности $через радиальную точку Т$ ;
Линия $t$ является перпендикуляром к $a$ .

Теорему Фалеса можно использовать для построения касательных к точке $P,$ внешней по отношению к окружности $C$ :

Окружность нарисована с центром в средней точке отрезка $OP$ имеющего диаметр $OP$ , где $O$ снова является центром круга $C.$ ,
Точки пересечения $T 1$ и $T 2$ окружности $C$ и новой окружности являются точками касания прямых, проходящих через $P$ , согласно следующему аргументу.

Отрезки $ОТ 1$ и $ОТ 2$ являются радиусами окружности $С$ ; поскольку оба вписаны в полукруг, они перпендикулярны отрезкам $PT 1$ и $PT 2$ соответственно. Но только касательная линия перпендикулярна радиальной линии. Следовательно, две прямые, идущие от $P$ и проходящие через $T 1$ и $T 2,$ касаются окружности $C$ .

Другой метод построения касательных к точке $P,$ внешней по отношению к кругу, с использованием только линейки :

Проведите через данную точку $P$ любые три различные прямые , дважды пересекающие окружность.
Пусть $A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2$ — шесть точек пересечения, причем одна и та же буква соответствует одной и той же линии, а индекс 1 соответствует точке, ближе к $P$ .
Пусть $D$ — точка пересечения прямых $A 1 B 2$ и $A 2 B 1$ ,
Аналогично $E$ для линий $B 1 C 2$ и $B 2 C 1$ .
линию через $D$ и $E.$ Проведите
Эта линия пересекает окружность в двух точках $F$ и $G.$ :
Касательные — это прямые $PF$ и $PG$ . ^{[ 1 ]}

С аналитической геометрией

Позволять $P=(a,b)$ быть точкой круга с уравнением $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ Касательная в точке $P$ имеет уравнение $ax+by=r^{2},$ потому что $P$ лежит как на кривых, так и на ${\vec {OP}}=(a,b)^{T}$ — нормальный вектор прямой. Касательная пересекает $ось x$ в точке $P_{0}=(x_{0},0)$ с $ax_{0}=r^{2}.$

И наоборот, если начать с точки $P_{0}=(x_{0},0),$ чем две касательные, проходящие через $P 0,$ пересекают окружность в двух точках $P_{1/2}=(a,b_{\pm })$ с $a={\frac {r^{2}}{x_{0}}},\qquad b_{\pm }=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}.$ Записано в векторной форме: ${\binom {a}{b_{\pm }}}={\frac {r^{2}}{x_{0}}}{\binom {1}{0}}\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {0}{1}}\ .$

Если точка $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ лежит не на $оси x$ в векторной форме $x0 :$ заменяется расстоянием ${\textstyle d_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$ а единичные базовые векторы - ортогональными единичными векторами ${\textstyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}},\ {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$ Тогда касательные, проходящие через точку $Р 0,$ касаются окружности в точках ${\binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={\frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}}\pm {\frac {r}{d_{0}^{2}}}{\sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.$

При $d 0 < r$ касательных не существует.
При $d 0 = r$ точка $P 0$ лежит на окружности и существует только одна касательная с уравнением $x_{0}x+y_{0}y=r^{2}.$
В случае $d 0 > r$ имеются 2 касательные с уравнениями $x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\ x_{2}x+y_{2}y=r^{2}.$

Связь с инверсией круга : уравнение $ax_{0}=r^{2}$ описывает круговую инверсию точки $(x_{0},0).$

Отношение к полюсу и полярности : Поляра точки. $(x_{0},0)$ имеет уравнение $xx_{0}=r^{2}.$

Касательные многоугольники

— Касательный многоугольник это многоугольник, каждая из сторон которого касается определенной окружности, называемой вписанной в нее окружностью . Каждый треугольник является касательным многоугольником, как и любой правильный многоугольник с любым количеством сторон; кроме того, на каждое число сторон многоугольника существует бесконечное число несопоставимых касательных многоугольников.

Теорема о касательном четырехугольнике и вписанные окружности

Касательный четырехугольник $ABCD$ касающимися данной окружности $C.$ — замкнутая фигура с четырьмя прямыми сторонами , , окружность $C$ вписана Эквивалентно в четырехугольник $ABCD$ . По теореме Пито суммы противоположных сторон любого такого четырехугольника равны, т. е.

${\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.$

Этот вывод следует из равенства касательных отрезков четырех вершин четырехугольника. Обозначим точки касания как $P$ (на отрезке $AB$ ), $Q$ (на отрезке $BC$ ), $R$ (на отрезке $CD$ ) и $S$ (на отрезке $DA$ ). Симметричные касательные отрезки относительно каждой точки $ABCD$ равны: ${\begin{aligned}{\overline {BP}}={\overline {BQ}}=b,&\quad {\overline {CQ}}={\overline {CR}}=c,\\{\overline {DR}}={\overline {DS}}=d,&\quad {\overline {AS}}={\overline {AP}}=a.\end{aligned}}$ Но каждая сторона четырехугольника состоит из двух таких касательных отрезков.

${\begin{aligned}&{\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)\\={}&{\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)\end{aligned}}$

доказательство теоремы.

Верно и обратное: окружность можно вписать в любой четырехугольник, у которого сумма длин противоположных сторон равна одному и тому же значению. ^{[ 2 ]}

Эта теорема и обратная к ней имеют различное применение. Например, они сразу же показывают, что ни один прямоугольник не может иметь вписанную окружность, если он не является квадратом , и что в каждом ромбе есть вписанная окружность, тогда как в обычном параллелограмме ее нет.

Касательные линии к двум окружностям

Для двух окружностей обычно существует четыре различных линии, которые касаются обеих ( биткасательная ) – если две окружности находятся вне друг друга – но в вырожденных случаях может быть любое число от нуля до четырех двухкасательных линий; они рассматриваются ниже. Для двух из них, внешних касательных линий, круги лежат на одной стороне линии; для двух других, внутренних касательных линий, круги лежат на противоположных сторонах линии. Внешние касательные пересекаются во внешнем центре гомотетики , тогда как внутренние касательные пересекаются во внутреннем центре гомотетики. И внешний, и внутренний гомотетические центры лежат на линии центров (линии, соединяющей центры двух кругов), ближе к центру меньшего круга: внутренний центр находится на отрезке между двумя кругами, а внешний центр находится не между точками, а снаружи, со стороны центра меньшего круга. Если две окружности имеют одинаковый радиус, все еще есть четыре бикасательных, но внешние касательные параллельны, и у окружности нет внешнего центра. аффинная плоскость ; на проективной плоскости внешний гомотетический центр лежит в бесконечно удаленной точке, соответствующей наклону этих прямых. ^{[ 3 ]}

Внешняя касательная

Красная линия, соединяющая точки $(x 3, y 3)$ и $(x 4, y 4),$ является внешней касательной между двумя кругами. По заданным точкам $(x 1, y 1)$ , $(x 2, y 2)$ точки $(x 3, y 3)$ , $(x 4, y 4)$ можно легко вычислить с помощью угла $α$ :

${\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R\sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}$

Здесь $R$ и $r$ обозначают радиусы двух кругов, а угол $α$ можно вычислить с помощью базовой тригонометрии. У вас есть $α = γ - β$ с ^{[ 4 ]} ^{[ не удалось пройти проверку – см. обсуждение ]} ${\begin{aligned}\gamma &=-{\text{atan2}}\left({y_{2}-y_{1}},{x_{2}-x_{1}}\right)\\[2pt]\beta &=\pm \arcsin \left({\frac {R-r}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\right)\end{aligned}}$ где atan2 — арктангенс с двумя аргументами.

Расстояния между центрами ближайшего и дальнего кругов $O 2$ и $O 1$ и точкой пересечения двух внешних касательных двух кругов ( гомотетический центр ), $S$ соответственно, можно определить с помощью подобия следующим образом: ${\frac {dr}{r_{1}-r_{2}}}$ Здесь $r$ может быть $r 1$ или $r 2$ в зависимости от необходимости найти расстояния от центров ближайшего или дальнего круга $O 2$ и $O 1$ . $d$ — расстояние $O 1 O 2$ между центрами двух окружностей.

Внутренняя касательная

Внутренняя касательная — это касательная, пересекающая отрезок, соединяющий центры двух окружностей. Обратите внимание, что внутренняя касательная не будет определена в случаях, когда две окружности перекрываются.

Строительство

Бикасательные линии можно построить либо путем построения гомотетических центров, как описано в этой статье, а затем построения касательных через гомотетический центр, касающийся одной окружности, одним из методов, описанных выше. Полученная линия будет касательной и к другому кругу. Альтернативно, касательные линии и точки касания могут быть построены более прямым способом, как подробно описано ниже. Заметим, что в вырожденных случаях эти конструкции разрушаются; для упрощения изложения это не обсуждается в этом разделе, но такая форма конструкции может работать в предельных случаях (например, две окружности, касающиеся в одной точке).

Синтетическая геометрия

Пусть $O 1$ и $O 2$ будут центрами двух кругов, $C 1$ и $C 2$ , и пусть $r 1$ и $r 2$ будут их радиусами , при этом $r 1 > r 2$ ; другими словами, круг $C 1$ определяется как больший из двух кругов. Для построения внешних и внутренних касательных линий можно использовать два разных метода.

Внешние касательные

новый круг $C 3$ радиуса $r 1 - r 2$ Нарисован $с центром в O 1$ . рисуются две линии $Используя описанный выше метод, от O 2$ , касающиеся этой новой окружности. Эти линии параллельны желаемым касательным линиям, поскольку ситуация соответствует сжатию обеих окружностей $C 1$ и $C 2$ на постоянную величину $r 2$ , что сжимает $C 2$ до точки. быть проведены из центра $O1;$ точки касания на $C3 Две радиальные линии могут$ через они пересекают $C 1$ в нужных точках касания. Желаемые внешние касательные линии представляют собой линии, перпендикулярные этим радиальным линиям в тех точках касания, которые могут быть построены, как описано выше.

Внутренние касательные

новый круг $C 3$ радиуса $r 1 + r 2$ Нарисован $с центром в O 1$ . рисуются две линии $Используя описанный выше метод, от O 2$ , касающиеся этой новой окружности. Эти линии параллельны желаемым касательным линиям, поскольку ситуация соответствует сжатию $C 2$ до точки при расширении $C 1$ на постоянную величину $r 2$ . быть проведены из центра $O1;$ точки касания на $C3 Две радиальные линии могут$ через они пересекают $C 1$ в нужных точках касания. Желаемые внутренние касательные линии представляют собой линии, перпендикулярные этим радиальным линиям в тех точках касания, которые могут быть построены, как описано выше.

Аналитическая геометрия

Пусть круги имеют центры $c 1 = (x 1, y 1)$ и $c 2 = (x 2, y 2)$ с радиусами $r 1$ и $r 2$ соответственно. Выразив линию уравнением $ax+by+c=0,$ с нормализацией $a^{2}+b^{2}=1,$ тогда бикасательная линия удовлетворяет: ${\begin{aligned}ax_{1}+by_{1}+c&=r_{1}\\ax_{2}+by_{2}+c&=r_{2}\\\end{aligned}}$ Решение для $(a, b, c)$ путем вычитания первого из второго дает $a\Delta x+b\Delta y=\Delta r,\qquad (1)$ где $\Delta x=x_{2}-x_{1},\quad \Delta y=y_{2}-y_{1}$ и $\Delta r=r_{2}-r_{1}$ для внешней касательной или $\Delta r=r_{2}+r_{1}$ для внутренней касательной.

Если ${\textstyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$ расстояние от $c 1$ до $c 2,$ которое мы можем нормализовать как $X={\frac {\Delta x}{d}},\quad Y={\frac {\Delta y}{d}},\quad R={\frac {\Delta r}{d}}$ упростить уравнение (1), приведя к следующей системе уравнений: ${\begin{aligned}aX+bY&=R,\\a^{2}+b^{2}&=1;\end{aligned}}$ решите их, чтобы получить два решения ( $k = \pm1$ ) для двух внешних касательных линий: ${\begin{aligned}a&=RX-kY{\sqrt {1-R^{2}}}\\b&=RY+kX{\sqrt {1-R^{2}}}\\c&=r_{1}-(ax_{1}+by_{1})\end{aligned}}$ Геометрически это соответствует вычислению угла, образованного касательными линиями и линией центров, а затем использованию этого значения для вращения уравнения линии центров, чтобы получить уравнение для касательной линии. Угол вычисляется путем вычисления тригонометрических функций прямоугольного треугольника, вершинами которого являются (внешний) центр подобия, центр круга и точка касания; гипотенуза лежит на касательной, радиус лежит напротив угла, а прилежащая сторона лежит на линии центров.

$(X, Y)$ — единичный вектор, указывающий от $c 1$ до $c 2$ , а $R$ — это $cos θ$ , где $θ$ — угол между линией центров и касательной линией. $sin θ$ тогда $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ (в зависимости от знака $θ$ , что эквивалентно направлению вращения), а приведенные выше уравнения представляют собой вращение $(X, Y)$ на $\pm θ$ с использованием матрицы вращения: ${\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}$

$k = 1$ — касательная линия справа от кругов, идущая от $c 1$ к $c 2$ .
$k = -1$ — касательная линия справа от окружностей, идущая от $c 2$ к $c 1$ .

Вышеупомянутое предполагает, что каждый круг имеет положительный радиус. Если $r 1$ положительный, а $r 2$ отрицательный, то $c 1$ будет лежать слева от каждой линии, а $c 2$ справа, и две касательные линии пересекутся. Таким образом получены все четыре решения. Знаки переключения обоих радиусов переключаются на $k = 1$ и $k = -1$ .

Векторы

В общем случае точки касания $t 1$ и $t 2$ четырех прямых, касающихся двух окружностей с центрами $v 1$ и $v 2$ и радиусами $r 1$ и $r 2,$ определяются путем решения одновременных уравнений:

${\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}$

Эти уравнения выражают то, что касательная линия, параллельная $t_{2}-t_{1},$ перпендикулярен радиусам и что точки касания лежат на соответствующих окружностях.

Это четыре квадратных уравнения с двумя двумерными векторными переменными, которые в общем положении будут иметь четыре пары решений.

Вырожденные случаи

Две отдельные окружности могут иметь от нуля до четырех касательных линий, в зависимости от конфигурации; их можно классифицировать по расстоянию между центрами и радиусами. При счете с кратностью (дважды считая общую касательную) получается ноль, две или четыре бикасательных линии. Бикасательные линии также можно обобщить до кругов отрицательного или нулевого радиуса. Вырожденные случаи и кратности также можно понимать в терминах пределов других конфигураций - например, предел двух окружностей, которые почти соприкасаются, и движущегося одного так, что они соприкасаются, или круга малого радиуса, сжимающегося до круга нулевого радиуса. .

Если круги находятся вне друг друга ( $d>r_{1}+r_{2}$ ), что является общим положением , имеется четыре битангенса.
Если они соприкасаются внешне в одной точке ( $d=r_{1}+r_{2}$ ) – имеют одну точку внешнего касания – тогда у них есть две внешние бикасательные и одна внутренняя битангенс, а именно общая касательная. Эта общая касательная линия имеет кратность два, поскольку она разделяет круги (один слева, один справа) для любой ориентации (направления).
Если окружности пересекаются в двух точках ( $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$ ), то у них нет внутренних битангенсов и есть два внешних битангенса (они не могут быть разделены, так как пересекаются, следовательно, нет внутренних битангенсов).
Если окружности соприкасаются внутри в одной точке ( $d=|r_{1}-r_{2}|$ ) – имеют одну точку внутреннего касания – тогда у них нет внутренних битангенсов и есть один внешний битангенс, а именно общая касательная линия, имеющая кратность два, как указано выше.
Если один круг полностью находится внутри другого ( $d<|r_{1}-r_{2}|$ ) то у них нет бикасательных, поскольку касательная к внешней окружности не пересекает внутреннюю окружность, или, наоборот, касательная к внутренней окружности является секущей линией к внешней окружности.

Наконец, если две окружности идентичны, любая касательная к окружности является общей касательной и, следовательно, (внешней) бикасательной, поэтому существует количество бикасательных окружности.

Далее понятие бикасательных линий можно распространить на окружности отрицательного радиуса (то же геометрическое положение точек, $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$ но считается «наизнанку»), и в этом случае, если радиусы имеют противоположный знак (один круг имеет отрицательный радиус, а другой - положительный радиус), внешний и внутренний гомотетические центры, а также внешние и внутренние бикасательные меняются местами, а если радиусы имеют один и тот же знак (оба положительных радиуса или оба отрицательных радиуса) «внешний» и «внутренний» имеют один и тот же обычный смысл (переключение одного знака переключает их, поэтому переключение обоих переключает их обратно).

Бикасательные линии также могут быть определены, если одна или обе окружности имеют нулевой радиус. В этом случае окружность нулевого радиуса является двойной точкой, и, следовательно, любая линия, проходящая через нее, пересекает точку с кратностью два и, следовательно, является «касательной». Если одна окружность имеет нулевой радиус, бикасательная линия — это просто линия, касающаяся окружности и проходящая через точку, и учитывается с кратностью два. Если обе окружности имеют нулевой радиус, то бикасательная линия — это линия, которую они определяют, и учитывается с кратностью четыре.

Обратите внимание, что в этих вырожденных случаях внешний и внутренний гомотетические центры, как правило, все еще существуют (внешний центр находится на бесконечности, если радиусы равны), за исключением случаев, когда окружности совпадают, и в этом случае внешний центр не определен, или если обе окружности имеют нулевой радиус, и в этом случае внутренний центр не определен.

Приложения

Проблема с ремнем

Внутренние и внешние касательные полезны при решении задачи о ремне , которая заключается в расчете длины ремня или веревки, необходимой для плотного прилегания к двум шкивам. Если ремень рассматривать как математическую линию незначительной толщины и если предполагается, что оба шкива лежат в одной и той же плоскости, задача сводится к суммированию длин соответствующих отрезков касательных линий с длинами дуг окружностей, стянутых пояс. Если ремень обернут вокруг колес так, чтобы перекрещиваться, важны внутренние отрезки касательной линии. И наоборот, если ремень намотан снаружи вокруг шкивов, важны внешние сегменты касательных линий; этот случай иногда называют проблемой шкива .

Касательные к трем окружностям: теорема Монжа

Для трех кругов, обозначенных $C 1$ , $C 2$ и $C 3$ , существует три пары кругов ( $C 1 C 2$ , $C 2 C 3$ и $C 1 C 3$ ). шесть Поскольку каждая пара окружностей имеет два гомотетичных центра, всего гомотетических центров . Гаспар Монж показал в начале 19 века, что эти шесть точек лежат на четырех линиях, каждая из которых имеет три точки, лежащие на одной прямой.

Проблема Аполлония

Многие частные случаи задачи Аполлония связаны с поиском окружности, касающейся одной или нескольких прямых. Самый простой из них — построение окружностей, касающихся трех заданных прямых ( задача ЛЛЛ ). Чтобы решить эту проблему, центр любого такого круга должен лежать на биссектрисе любой пары прямых; для каждого пересечения двух прямых есть две биссектрисы угла. Пересечения этих биссектрис дают центры кругов решения. Всего таких кругов четыре: вписанный круг треугольника, образованный пересечением трех линий, и три выписанных круга.

Общую задачу Аполлония можно преобразовать в более простую задачу об окружности, касательной к одной окружности и двум параллельным прямым (что само по себе является частным случаем особого случая LLC ). Для этого достаточно масштабировать две из трех данных окружностей до тех пор, пока они не соприкоснутся, т. е. не станут касательными. Инверсия . точки их касания относительно окружности соответствующего радиуса превращает две соприкасающиеся данные окружности в две параллельные прямые, а третью данную окружность в другую окружность Таким образом, решения можно найти, перемещая круг постоянного радиуса между двумя параллельными линиями до тех пор, пока он не коснется преобразованного третьего круга. Повторное обращение дает соответствующие решения исходной задачи.

Обобщения

Понятие касательной к одной или нескольким окружностям можно обобщить несколькими способами. Во-первых, сопряженные отношения между точками касания и линиями касания могут быть обобщены на точки полюса и полярные линии , в которых точки полюса могут находиться где угодно, а не только на окружности круга. Во-вторых, объединение двух окружностей является частным ( приводимым ) случаем плоской кривой четвертой степени , а внешняя и внутренняя касательные являются биткасательными к этой кривой четвертой степени. Общая кривая четвертой степени имеет 28 биткасательных.

Третье обобщение рассматривает касательные круги, а не касательные линии; касательную линию можно рассматривать как касательную окружность бесконечного радиуса. В частности, внешние касательные к двум окружностям являются предельными случаями семейства окружностей, которые внутренне или внешне касаются обеих окружностей, а внутренние касательные представляют собой предельные случаи семейства окружностей, которые внутренне или внешне касаются одной окружности и касаются снаружи. к другому из двух кругов. ^{[ 5 ]}

В Мёбиусе или инверсивной геометрии линии рассматриваются как круги, проходящие через точку «на бесконечности», и для любой линии и любого круга существует преобразование Мёбиуса , которое отображает одно в другое. В геометрии Мёбиуса касание прямой и окружности становится частным случаем касания двух окружностей. Эта эквивалентность расширяется далее в геометрии сферы Ли .

Радиус и касательная перпендикулярны в точке окружности и гиперболически-ортогональны в точке единичной гиперболы . Параметрическое представление единичной гиперболы через радиус-вектор: $p (a) = (cosh a, sinh a)$ . Производная ) p $a (a)$ направлении касательной к точке $(p указывает в и$ равна ${\tfrac {dp}{da}}=(\sinh a,\cosh a).$ Радиус и касательная гиперболически ортогональны в точке $a,$ поскольку $p (a)$ и ⁠ ${\tfrac {dp}{da}}$ ⁠ являются отражением друг друга в асимптоте $y = x$ единичной гиперболы. При интерпретации как расщепленные комплексные числа (где $jj = +1$ ) эти два числа удовлетворяют $jp(a)={\tfrac {dp}{da}}.$

Ссылки

^ «Нахождение касательных к окружности с помощью линейки» . Обмен стеками . 15 августа 2015 г.
^ Александр Богомольный «Когда четырехугольник не пишется?» в «Разрезать узел»
^ Пол Канкель. «Касательные круги» . Whistleralley.com . Проверено 29 сентября 2008 г.
^ Либескинд, Шломо (2007), Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование , стр. 110–112 ( онлайн-копия , стр. 110, в Google Books )
^ Кункель, Пол (2007), «Проблема касания Аполлония: три взгляда» (PDF) , Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики , 22 (1): 34–46, doi : 10.1080/17498430601148911 , S2CID 122408307

Внешние ссылки

[1] «Нахождение касательных к окружности с помощью линейки» . Обмен стеками . 15 августа 2015 г.

[2] Александр Богомольный «Когда четырехугольник не пишется?» в «Разрезать узел»

[3] Пол Канкель. «Касательные круги» . Whistleralley.com . Проверено 29 сентября 2008 г.

[4] Либескинд, Шломо (2007), Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование , стр. 110–112 ( онлайн-копия , стр. 110, в Google Books )

[5] Кункель, Пол (2007), «Проблема касания Аполлония: три взгляда» (PDF) , Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики , 22 (1): 34–46, doi : 10.1080/17498430601148911 , S2CID 122408307

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]