Теорема Пито
Теорема Пито в геометрии утверждает, что в касательном четырехугольнике две пары противоположных сторон имеют одинаковую общую длину. Он назван в честь французского инженера Анри Пито . [1]
Заявление и обратное
[ редактировать ]Касательный четырехугольник обычно определяется как выпуклый четырехугольник , у которого все четыре стороны касаются одной и той же вписанной окружности . Теорема Пито утверждает, что для этих четырехугольников две суммы длин противоположных сторон одинаковы. Обе суммы длин равны полупериметру четырехугольника. [2]
Верно и обратное утверждение : всякий раз, когда выпуклый четырехугольник имеет пары противоположных сторон с одинаковыми суммами длин, он имеет вписанную окружность. Следовательно, это точная характеристика: касательные четырехугольники - это в точности четырехугольники с равными суммами длин противоположных сторон. [2]
Идея доказательства
[ редактировать ]Один из способов доказать теорему Пито — разделить стороны любого касательного четырехугольника в точках, где вписанная в него окружность касается каждой стороны. Это делит четыре стороны на восемь сегментов между вершиной четырехугольника и точкой касания с окружностью. Любые два из этих сегментов, которые встречаются в одной вершине, имеют одинаковую длину, образуя пару сегментов одинаковой длины. Любые две противоположные стороны имеют по одному отрезку от каждой из этих пар. Следовательно, четыре сегмента на двух противоположных сторонах имеют ту же длину и ту же сумму длин, что и четыре сегмента на двух других противоположных сторонах.
История
[ редактировать ]Анри Пито доказал свою теорему в 1725 году, а обратное было доказано швейцарским математиком Якобом Штайнером в 1846 году. [2]
Обобщение
[ редактировать ]Теорема Пито обобщается на касательный -угольники, и в этом случае две суммы чередующихся сторон равны. Применяется та же идея доказательства. [3]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Прицкер, Борис (2017), Геометрический калейдоскоп , Dover Publications , с. 51, ISBN 9780486812410 .
- ^ Jump up to: а б с Йозефссон, Мартин (2011), «Дополнительные характеристики касательных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 65–82, MR 2877281 . См., в частности, стр. 65–66.
- ^ де Вильерс, Майкл (1993), «Объединяющее обобщение теоремы Тернбулла» , Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 24 (2): 65–82, doi : 10.1080/0020739930240204 , MR 2877281 .