Неприводимый компонент

В алгебраической геометрии или неприводимое алгебраическое множество неприводимое многообразие — это алгебраическое множество , которое нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Неприводимая компонента алгебраического множества — это алгебраическое подмножество, неприводимое и максимальное (по включению множества ) по этому свойству. Например, множество решений уравнения xy = 0 не является неприводимым, а его неприводимыми компонентами являются две строки уравнений x = 0 и y = 0 .

Фундаментальная теорема классической алгебраической геометрии состоит в том, что каждое алгебраическое множество можно единственным образом записать как конечное объединение неприводимых компонент.

Эти концепции можно переформулировать в чисто топологических терминах, используя топологию Зариского , для которой замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами: топологическое пространство является неприводимым, если оно не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств, а неприводимая компонента является максимальным подпространством. (необходимо замкнутой), неприводимой для индуцированной топологии . Хотя эти концепции можно рассматривать для каждого топологического пространства, это редко делается за пределами алгебраической геометрии, поскольку наиболее распространенными топологическими пространствами являются пространства Хаусдорфа , а в хаусдорфовом пространстве неприводимые компоненты являются одиночными элементами .

В топологии

Топологическое пространство X приводимо , если его можно записать в виде объединения $X=X_{1}\cup X_{2}$ из двух замкнутых собственных подмножеств $X_{1}$, $X_{2}$ из $X.$Топологическое пространство называется неприводимым (или гиперсвязным ), если оно неприводимо. Эквивалентно, X неприводимо, если все непустые открытые подмножества X плотны непустое или если любые два непустых открытых множества имеют пересечение .

Подмножество F топологического пространства X называется неприводимым или приводимым, если F, рассматриваемое как топологическое пространство через топологию подпространства, обладает соответствующим свойством в указанном выше смысле. То есть, $F$ приводима, если ее можно записать в виде объединения $F=(G_{1}\cap F)\cup (G_{2}\cap F),$ где $G_{1},G_{2}$ являются закрытыми подмножествами $X$, ни один из которых не содержит $F.$

Неприводимая компонента топологического пространства — это максимальное неприводимое подмножество. Если подмножество неприводимо, его замыкание также неприводимо, поэтому неприводимые компоненты замкнуты.

Каждое неприводимое подмножество пространства X содержится в (не обязательно единственной) неприводимой компоненте X . Каждая точка $x\in X$ содержится в некоторой неприводимой компоненте X .

Пустое топологическое пространство

Пустое топологическое пространство безоговорочно удовлетворяет приведенному выше определению неприводимого (поскольку оно не имеет собственных подмножеств). Однако некоторые авторы, особенно те, кто интересуется приложениями к алгебраической топологии , явно исключают пустое множество из числа неприводимых. Эта статья не будет следовать этому соглашению.

В алгебраической геометрии

Каждое аффинное или проективное алгебраическое множество определяется как множество нулей идеала в кольце полиномов . Неприводимое алгебраическое множество , более известное как алгебраическое многообразие , — это алгебраическое множество, которое нельзя разложить как объединение двух меньших алгебраических множеств. Из теоремы Ласкера–Нётер следует, что каждое алгебраическое множество представляет собой объединение конечного числа однозначно определенных алгебраических множеств, называемых его неприводимыми компонентами . Эти понятия неприводимости и неприводимых компонент являются в точности определенными выше при рассмотрении топологии Зариского , поскольку алгебраические множества являются в точности замкнутыми множествами этой топологии.

Спектр кольца — это топологическое пространство, точки которого — простые идеалы , а замкнутые множества — множества всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал. Для этой топологии замкнутое множество является неприводимым, если оно представляет собой множество всех простых идеалов, содержащих некоторый простой идеал, а неприводимые компоненты соответствуют минимальным простым идеалам . число неприводимых компонент конечно В случае нетерова кольца .

Схема многообразие получается склейкой спектров колец так же, как получается склейкой карт . Таким образом, определение неприводимости и неприводимых компонент непосредственно распространяется и на схемы.

Примеры

В хаусдорфовом пространстве неприводимые подмножества и неприводимые компоненты являются одиночными . В частности, это касается действительных чисел . Фактически, если X — это набор действительных чисел, который не является одноэлементным, существуют три действительных числа такие, что x ∈ X , y ∈ X и x < a < y . Множество X не может быть неприводимым, поскольку $X=(X\cap \,]{-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty [).$

Понятие неприводимой компоненты является фундаментальным в алгебраической геометрии и редко рассматривается за пределами этой области математики: рассмотрим алгебраическое подмножество плоскости.

Икс знак равно {( Икс , у ) | ху = 0} .

Для топологии Зариского ее замкнутыми подмножествами являются само пустое множество, одиночные элементы и две линии, определяемые x = 0 и y = 0 . Таким образом, множество X сократимо, используя эти две прямые как неприводимые компоненты.

Спектром , для которого множество простых идеалов замкнуто тогда и коммутативного кольца называется множество простых идеалов кольца, наделенное топологией Зарисского только тогда, когда оно является множеством всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал . В этом случае неприводимое подмножество — это множество всех простых идеалов, содержащих фиксированный простой идеал.

Примечания

Эта статья включает в себя материалы из сайта «Reducible» с сайта PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons «Attribution/Share-Alike» . Эта статья включает в себя материал из компонента Irreducible на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .