Единичная гипербола

Единичная гипербола выделена синим цветом, сопряженная ей — зеленым, асимптоты — красным.

В геометрии единичная гипербола — это набор точек ( x , y ) на декартовой плоскости , которые удовлетворяют неявному уравнению $x^{2}-y^{2}=1.$ При изучении неопределенных ортогональных групп единичная гипербола образует основу для альтернативной радиальной длины.

$r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}.$

В то время как единичный круг окружает его центр, для единичной гиперболы требуется сопряженная гипербола. $y^{2}-x^{2}=1$ дополнить его в самолете. Эта пара гипербол имеет общие асимптоты y = x и y = − x . Когда используется сопряжение единичной гиперболы, альтернативная радиальная длина равна $r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.$

Единичная гипербола является частным случаем прямоугольной гиперболы с определенной ориентацией , местоположением и масштабом . Таким образом, его эксцентриситет равен ${\sqrt {2}}.$

Единичная гипербола находит применение там, где круг необходимо заменить гиперболой в целях аналитической геометрии. Ярким примером является изображение пространства-времени как псевдоевклидова пространства . Там асимптоты единичной гиперболы образуют световой конус . Далее, внимание Грегуара де Сен-Венсана к площадям привело гиперболических секторов к созданию функции логарифма и современной параметризации гиперболы по площадям секторов. Когда понятны понятия сопряженных гипербол и гиперболических углов, то классические комплексные числа , построенные вокруг единичной окружности, можно заменить числами, построенными вокруг единичной гиперболы.

Асимптоты

Основная статья: Асимптота

Обычно говорят, что асимптотические линии кривой сходятся к кривой. В алгебраической геометрии и теории алгебраических кривых существует другой подход к асимптотам. Кривая сначала интерпретируется в проективной плоскости с использованием однородных координат . Тогда асимптоты представляют собой линии, которые касаются проективной кривой в бесконечной точке , что устраняет необходимость в концепции расстояния и сходимости. В общепринятой системе координат ( x, y, z ) представляют собой однородные координаты с линией на бесконечности, определяемой уравнением z = 0. Например, К. Г. Гибсон писал:

Для стандартной прямоугольной гиперболы $f=x^{2}-y^{2}-1$ в $\mathbb {R} ^{2}$соответствующая проективная кривая имеет вид $F=x^{2}-y^{2}-z^{2},$ который пересекает z = 0 в точках P = (1:1:0) и Q = (1:−1:0). И P, на F с и Q просты касательными x + y = 0 , x - y = 0; таким образом мы восстанавливаем знакомые «асимптоты» элементарной геометрии.

Диаграмма Минковского

Основная статья: Диаграмма пространства-времени

Диаграмма Минковского нарисована в плоскости пространства-времени, где пространственный аспект ограничен одним измерением. Единицами расстояния и времени на такой плоскости являются

• единицы длиной 30 сантиметров и наносекунды , или
• астрономические единицы и интервалы 8 минут 20 секунд, или
• световые годы и годы .

Каждая из этих шкал координат приводит к фотонным связям событий вдоль диагональных линий наклона плюс или минус единица.Пять элементов составляют диаграмму, которую Герман Минковский использовал для описания преобразований относительности: единичная гипербола, сопряженная ей гипербола, оси гиперболы, диаметр единичной гиперболы и сопряженный диаметр .Плоскость с осями относится к покоящейся системе отсчета . Диаметр единичной гиперболы представляет собой систему отсчета, движущуюся со скоростью a , где tanh a = y / x и ( x , y ) — конечная точка диаметра единичной гиперболы. Сопряженный диаметр представляет собой пространственную гиперплоскость одновременности, соответствующую быстроте a .В этом контексте единичная гипербола является калибровочной гиперболой. Обычно в теории относительности за основную принимают гиперболу с вертикальной осью:

Стрела времени идет снизу вверх — условность, принятая Ричардом Фейнманом в его знаменитых диаграммах. Пространство представлено плоскостями, перпендикулярными оси времени. Здесь и сейчас — это сингулярность посередине.

Соглашение о вертикальной оси времени исходит от Минковского в 1908 году.также проиллюстрировано на странице 48 книги Эддингтона «Природа физического мира» (1928).

Параметризация

Основная статья: Гиперболический угол

Ветви единичной гиперболы развиваются по мере того, как точки $(\cosh a,\sinh a)$ и $(-\cosh a,-\sinh a)$ в зависимости от параметра гиперболического угла $a$.

Прямой способ параметризации единичной гиперболы начинается с гиперболы xy = 1, параметризованной экспоненциальной функцией : $(e^{t},\ e^{-t}).$

Эта гипербола преобразуется в единичную гиперболу линейным отображением, имеющим матрицу $A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\ :$

$(e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).$

Этот параметр t представляет собой гиперболический угол , который является аргументом гиперболической функции .

Раннее выражение параметризованной единичной гиперболы можно найти в «Элементах динамики» (1878) У.К. Клиффорда . Он описывает квазигармоническое движение в гиперболе следующим образом:

Движение $\rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )$ имеет некоторые любопытные аналогии с эллиптическим гармоническим движением. ... Ускорение ${\ddot {\rho }}=n^{2}\rho \ ;$ таким образом, оно всегда пропорционально расстоянию от центра, как в эллиптическом гармоническом движении, но направлено от центра.

Как конкретная коника , гипербола может быть параметризована процессом сложения точек на конике. Следующее описание дали российские аналитики:

Зафиксируем точку Е на конике. Считайте, что точки, в которых прямая, проведенная через E параллельно AB, второй раз пересекает конику, представляют собой сумму точек A и B.

Для гиперболы $x^{2}-y^{2}=1$ с неподвижной точкой E = (1,0) сумма точек $(x_{1},\ y_{1})$ и $(x_{2},\ y_{2})$ в этом суть $(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},\ y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})$ под параметризацию $x=\cosh \ t$ и $y=\sinh \ t$ это добавление соответствует добавлению параметра t .

Комплексная плоская алгебра

Основная статья: Сплит-комплексное число

В то время как единичный круг связан с комплексными числами , единичная гипербола является ключом к плоскости расщепленных комплексных чисел, состоящей из z = x + yj , где j ² = +1.Тогда jz = y + xj , поэтому действие j на плоскости заключается в замене координат. В частности, это действие меняет местами единичную гиперболу на сопряженную ей и меняет местами пары сопряженных диаметров гипербол.

В терминах параметра гиперболического угла a единичная гипербола состоит из точек

$\pm (\cosh a+j\sinh a)$, где j = (0,1).

Правая ветвь единичной гиперболы соответствует положительному коэффициенту. По сути, эта ветвь является образом экспоненциального отображения, действующего на ось j . Таким образом, эта ветвь представляет собой кривую $f(a)=\exp(aj).$ Наклон определяется кривой в a производной точке

$f^{\prime }(a)=\sinh a+j\cosh a=jf(a).$ Для любого а , $f^{\prime }(a$) гиперболически- ортогонален $f(a)$. Это соотношение аналогично перпендикулярности exp( a i) и i exp( a i), когда i ² = − 1.

С $\exp(aj)\exp(bj)=\exp((a+b)j)$, ветвь представляет собой группу при умножении.

В отличие от группы окружностей , эта группа единичных гипербол не компактна .Подобно обычной комплексной плоскости, точка, не лежащая на диагоналях, имеет полярное разложение с использованием параметризации единичной гиперболы и альтернативной радиальной длины.

Ссылки

• Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровки , рисунок 4.33, стр. 70, Academic Press , ISBN   0-12-329650-1 .