Сопряженные диаметры
В геометрии два диаметра конического сечения называются сопряженными , если каждая хорда, параллельная одному диаметру, делится пополам другим диаметром. Например, два диаметра окружности сопряжены тогда и только тогда, когда они перпендикулярны .
эллипса
[ редактировать ]
Для эллипса два диаметра сопряжены тогда и только тогда, когда касательная к эллипсу в конечной точке одного диаметра параллельна другому диаметру. Каждой паре сопряженных диаметров эллипса соответствует касательный параллелограмм , иногда называемый ограничивающим параллелограммом (перекошенным по сравнению с ограничивающим прямоугольником ). В своей рукописи De motu corporum in gyrum и в « Началах » Исаак Ньютон цитирует лемму, доказанную предыдущими авторами, о том, что все (ограничивающие) параллелограммы для данного эллипса имеют одинаковую площадь .
можно восстановить Эллипс по любой паре сопряженных диаметров или по любому ограничивающему параллелограмму. Например, в предложении 14 книги VIII своего «Сборника » Папп Александрийский дает метод построения осей эллипса по заданной паре сопряженных диаметров. Другой метод — использование конструкции Ритца , которая использует теорему Фалеса для нахождения направлений и длин большой и малой осей эллипса независимо от его вращения или сдвига .
Из гиперболы
[ редактировать ]
Для любого φ указанные диаметры окружностей и гипербол сопряжены.
Как и в эллиптическом случае, диаметры гиперболы сопряжены , когда каждый делит пополам все хорды, параллельные другой. [1] В этом случае как гипербола, так и сопряженная с ней гипербола являются источниками хорд и диаметров.
Аполлоний Пергский дал следующую конструкцию сопряженных диаметров, учитывая сопряженную гиперболу : «Если Q — любая точка гиперболы и CE проведена из центра, параллельного касательной в точке Q, до пересечения с сопряженной гиперболой в E, то (1) касательная в точке E будет параллельна CQ и (2) CQ и CE будут сопряженными диаметрами». [2]
В случае прямоугольной гиперболы ее сопряжением является отражение через асимптоту . Диаметр одной гиперболы сопряжен с ее отражением в асимптоте, которая является диаметром другой гиперболы. Как перпендикулярность — это отношение сопряженных диаметров окружности, так и гиперболическая ортогональность — это отношение сопряженных диаметров прямоугольных гипербол.
Размещение стержней, усиливающих квадратную сборку балок, руководствуется соотношением сопряженных диаметров в книге по аналитической геометрии . [3]
Сопряженные диаметры гипербол также полезны для формулирования принципа относительности в современной физике пространства-времени . Понятие относительности впервые вводится в плоскости, состоящей из одного измерения пространства , вторым измерением является время . В такой плоскости одна гипербола соответствует событиям на постоянном пространственноподобном интервале от исходного события, другая гипербола соответствует событиям на постоянном пространственноподобном интервале от него. Принцип относительности можно сформулировать: «Любую пару сопряженных диаметров сопряженных гипербол можно принять за оси пространства и времени». Эта интерпретация теории относительности была сформулирована Э. Т. Уиттакером в 1910 году. [4]
В проективной геометрии
[ редактировать ]Каждая линия в проективной геометрии содержит точку на бесконечности , также называемую фигуративной точкой . Эллипс, парабола и гипербола рассматриваются как коники в проективной геометрии, и каждая коника определяет соотношение полюса и поляры между точками и линиями. Используя эти понятия, «два диаметра сопряжены, когда каждый является полярой образной точки другого». [5]
Только один из сопряженных диаметров гиперболы пересекает кривую.
Понятие разделения пар точек отличает эллипс от гиперболы: в эллипсе каждая пара сопряженных диаметров разделяет каждую другую пару. В гиперболе одна пара сопряженных диаметров никогда не разделяет другую такую пару.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Испания, Барри (1957). Аналитическая коника . Международная серия монографий по чистой и прикладной математике.т.3. Нью-Йорк: Пергамон Пресс. п. 49.
- ^ Томас Хит (1896) Аполлоний Пергский: Трактат о конических сечениях , страница 64
- ^ Осгуд, Уильям Ф.; Граустейн, Уильям К. (1921). Плоская и твердотельная аналитическая геометрия . Нью-Йорк: Компания Macmillan. п. 307 .
- ^ Уиттакер, ET (1910). История теорий эфира и электричества (1-е изд.). Дублин: Longman, Green and Co. p. 441 .
- ^ ГБ Холстед (1906) Синтетическая проективная геометрия , № 135, № 141
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Шасль, Мишель (1865). «Сопряженные диаметры» . Трактат о конических сечениях, часть I. после трактата о высшей геометрии (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. стр. 116–23.
- У. К. Клиффорд (1878 г.) «Элементы динамики» , стр. 90, ссылка с сайта HathiTrust .
- Коксетер, HSM (1955). Настоящая проективная плоскость (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 130 –5.
- Салмон, Джордж (1900). Трактат о конических сечениях . Лондон: Longmans, Green & Co. 165 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Сопряженные диаметры в эллипсе» . Cut-the-knot.org .
- Безант, WH (1895 г.). «Свойства сопряженных диаметров». Конические сечения, обработанные геометрически . Монографии по исторической математике. Лондон; Итака, Нью-Йорк: Дж. Белл; Корнеллский университет . п. 109.