Сопряженная гипербола

Гипербола и сопряженная с ней гипербола.

В геометрии сопряженная гипербола с данной гиперболой имеет те же асимптоты , но лежит в двух противоположных секторах плоскости по сравнению с исходной гиперболой.

Гипербола и ее сопряжение могут быть построены как конические сечения, полученные из параллельных пересекающихся плоскостей и секущих касательных двойных конусов, имеющих одну и ту же вершину .

Используя аналитическую геометрию , гиперболы удовлетворяют симметричным уравнениям

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ с вершинами ( a ,0) и (– a ,0), и

${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$ с вершинами (0, b ) и (0,– b ).

В случае a = b это прямоугольные гиперболы, а отражение плоскости в асимптоте меняет местами сопряжения.

История

Световой конус и сопряженные гиперболы Минковского (1908 г.)

Сопряженная гипербола возникает при изучении сопряженных диаметров конических сечений.

«Элементы динамики» (1878 г.) У.К. Клиффорда идентифицируют сопряженную гиперболу.

В 1894 году Александр Макфарлейн использовал иллюстрацию сопряженных правых гипербол в своем исследовании «Принципы эллиптического и гиперболического анализа».

В 1895 г. В. Х. Безант в своей книге «О конических сечениях» отметил сопряженные гиперболы. Джордж Салмон проиллюстрировал сопряженную гиперболу в виде пунктирной кривой в своем «Трактате о конических сечениях» (1900).

В 1908 году сопряженные гиперболы были использованы Германом Минковским для обозначения единиц длительности и расстояния на диаграмме пространства-времени, иллюстрирующей плоскость в его пространстве Минковского .

Принцип относительности можно сформулировать так: «Любую пару сопряженных диаметров сопряженных гипербол можно принять за оси пространства и времени».

В 1957 году Барри Спейн проиллюстрировал сопряженные прямоугольные гиперболы.