Гиперболическая ортогональность

Евклидова ортогональность сохраняется за счет вращения на левой диаграмме; гиперболическая ортогональность относительно гиперболы (B) сохраняется за счет гиперболического вращения на правой диаграмме.

В геометрии отношение гиперболической ортогональности между двумя линиями, разделенными асимптотами гиперболы, — это концепция, используемая в специальной теории относительности для определения одновременных событий. Два события будут одновременными, если они находятся на линии, гиперболически ортогональной определенной временной линии. Эта зависимость от определенной временной линии определяется скоростью и является основой относительности одновременности .

Геометрия

Две прямые гиперболически ортогональны , если они являются отражением друг друга над асимптотой данной гиперболы . На плоскости часто используются две конкретные гиперболы:

1. xy = 1 с y = 0 в качестве асимптоты.

   При отражении по оси x линия y = mx становится y = − mx .

   В этом случае прямые гиперболически ортогональны, если их наклоны являются аддитивными обратными .
2. Икс ² − и ² = 1 с y = x в качестве асимптоты. Для линий y = mx с −1 < m < 1, когда x = 1/ m , тогда y = 1. Точка (1/ m , 1) на линии отражается от y = x к (1, 1/ m ). Следовательно, отраженная линия имеет наклон 1/м, а наклоны гиперболических ортогональных линий обратны друг другу.

Отношение гиперболической ортогональности фактически применимо к классам параллельных прямых на плоскости, где любая конкретная линия может представлять класс. Таким образом, для данной гиперболы и асимптоты A пара прямых ( a , b ) гиперболически ортогональна, если существует пара ( c , d ) такая, что $a\rVert c,\ b\rVert d$, а c отражение d через A. —

Подобно перпендикулярности радиуса окружности к касательной , радиус гиперболы является гиперболическим, ортогональным касательной к гиперболе.

Билинейная форма используется для описания ортогональности в аналитической геометрии, при этом два элемента ортогональны, когда их билинейная форма обращается в нуль. В плоскости комплексных чисел $z_{1}=u+iv,\quad z_{2}=x+iy$, билинейная форма $xu+yv$, а в плоскости гиперболических чисел $w_{1}=u+jv,\quad w_{2}=x+jy,$ билинейная форма $xu-yv.$

Векторы z ₁ и z ₂ в плоскости комплексных чисел и w ₁ и w ₂ в плоскости гиперболических чисел называются соответственно евклидовыми ортогональными или гиперболически ортогональными, если их соответствующие скалярные произведения [билинейные формы] равны нулю.

Билинейная форма может быть вычислена как действительная часть комплексного произведения одного числа на сопряженное другое. Затем

$z_{1}z_{2}^{*}+z_{1}^{*}z_{2}=0$ влечет за собой перпендикулярность в комплексной плоскости, а

$w_{1}w_{2}^{*}+w_{1}^{*}w_{2}=0$ подразумевает, что w гиперболически ортогональны.

Понятие гиперболической ортогональности возникло в аналитической геометрии при рассмотрении сопряженных диаметров эллипсов и гипербол. Если g и g ′ представляют собой наклоны сопряженных диаметров, то $gg'=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ в случае эллипса и $gg'={\frac {b^{2}}{a^{2}}}$в случае гиперболы. Когда a = b, эллипс представляет собой круг, и сопряженные диаметры перпендикулярны, тогда как гипербола имеет прямоугольную форму, а сопряженные диаметры гиперболически-ортогональны.

В терминологии проективной геометрии операция взятия гиперболической ортогональной прямой является инволюцией . Предположим, что наклон вертикальной линии обозначен ∞, так что все линии имеют наклон в проективно продолженной вещественной прямой . Тогда какая бы гипербола (A) или (B) ни использовалась, эта операция является примером гиперболической инволюции , где асимптота инвариантна. Гиперболически ортогональные прямые лежат в разных секторах плоскости, определяемых асимптотами гиперболы, таким образом, отношение гиперболической ортогональности представляет собой неоднородное отношение на множествах прямых на плоскости.

Одновременность

С момента Германом Минковским основания исследования пространства-времени в 1908 году концепция точек на плоскости пространства-времени, гиперболически ортогональных временной шкале (касательной к мировой линии ), использовалась для определения одновременности событий относительно временной шкалы или относительности одновременность . В разработке Минковского используется приведенная выше гипербола типа (В). Два вектора ( x ₁ , y ₁ , z ₁ , t ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ , t ₂ ) являются нормальными (то есть гиперболически ортогональными), когда

$c^{2}\ t_{1}\ t_{2}-x_{1}\ x_{2}-y_{1}\ y_{2}-z_{1}\ z_{2}=0.$

Когда c = 1 и y s и z s равны нулю, x ₁ ≠ 0, t ₂ ≠ 0, тогда ${\frac {c\ t_{1}}{x_{1}}}={\frac {x_{2}}{c\ t_{2}}}$.

Учитывая гиперболу с асимптотой A , ее отражение в A дает сопряженную гиперболу . Любой диаметр исходной гиперболы преобразуется в сопряженный диаметр . Направления, обозначенные сопряженными диаметрами, приняты за оси пространства и времени в теории относительности. Как писал Э. Т. Уиттакер в 1910 году, «[] гипербола не изменяется, когда любая пара сопряженных диаметров принимается в качестве новых осей, а новая единица длины принимается пропорционально длине любого из этих диаметров». На основе этого принципа относительности он затем написал преобразование Лоренца в современной форме, используя быстроту .

Эдвин Бидвелл Уилсон и Гилберт Н. Льюис разработали эту концепцию в рамках синтетической геометрии в 1912 году. Они отмечают, что «в нашей плоскости ни одна пара перпендикулярных [гиперболо-ортогональных] линий не подходит лучше в качестве осей координат, чем любая другая пара».

Ссылки

• Г. Д. Биркгоф (1923) Относительность и современная физика , страницы 62,3, издательство Гарвардского университета .
• Франческо Катони, Дино Боккалетти и Роберто Канната (2008) Математика пространства Минковского , Birkhäuser Verlag , Базель. См. стр. 38, Псевдоортогональность.
• Роберт Голдблатт (1987) Ортогональность и геометрия пространства-времени , глава 1: Путешествие на поезде Эйнштейна, Universitext Springer-Verlag ISBN   0-387-96519-X МР 0888161
• Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 58 . ISBN  0-7167-0344-0 .