Сжатие карт

В линейной алгебре , сжатое отображение также называемое сжатым преобразованием , представляет собой тип линейного отображения , которое сохраняет евклидову область областей в декартовой плоскости , но не является отображением вращения или сдвига .

Для фиксированного положительного действительного числа $a$ отображение

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

— отображение сжатия с параметром $a$ . С

\{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {constant} \}

является гиперболой , если $u = ax$ и $v = y / a$ , то $uv = xy$ и точки образа отображения сжатия лежат на той же гиперболе, что и $(x, y)$ . По этой причине естественно думать о сжатии как о гиперболическом вращении , как это сделал Эмиль Борель в 1914 году: ^[1] по аналогии с круговыми вращениями , сохраняющими круги.

Логарифм и гиперболический угол [ править ]

Картирование сжатия создает основу для развития концепции логарифмов. Проблема нахождения площади , ограниченной гиперболой (например, $xy = 1),$ является задачей квадратуры . Решение, найденное Грегуаром де Сен-Винсентом и Альфонсом Антонио де Сарасой в 1647 году, потребовало использования функции натурального логарифма — новой концепции. Некоторое понимание логарифмов можно получить благодаря гиперболическим секторам , которые переставляются с помощью карт сжатия, сохраняя при этом свою площадь. Площадь гиперболического сектора принимается как мера гиперболического угла, связанного с сектором. Концепция гиперболического угла совершенно независима от обычного кругового угла , но разделяет с ним свойство инвариантности: тогда как круговой угол инвариантен при вращении, гиперболический угол инвариантен при отображении сжатия. И круговой, и гиперболический угол порождают инвариантные меры , но относительно разных групп преобразований. Гиперболические функции , принимающие в качестве аргумента гиперболический угол, выполняют роль круговых функций. поиграйте с аргументом о круговом угле. ^[2]

Теория групп [ править ]

В 1688 году, задолго до абстрактной теории групп , отображение сжатия было описано Евклидом Спейделлом в терминах того времени: «Из квадрата и бесконечной компании овалов на поверхности, каждый из которых равен этому квадрату, рождается кривая, которая должна иметь те же свойства или свойства, что и любая гипербола, вписанная в прямоугольный конус». ^[3]

Если $r$ и $s$ — положительные действительные числа, композиция их отображений сжатия является отображением сжатия их произведения. Следовательно, совокупность отображений сжатия образует однопараметрическую группу, изоморфную мультипликативной группе положительных действительных чисел . Аддитивный взгляд на эту группу возникает при рассмотрении гиперболических секторов и их гиперболических углов.

С точки зрения классических групп , группа сжатых отображений — это $SO + (1,1)$ , единичная компонента неопределенной ортогональной группы вещественных матриц размера 2×2, сохраняющих квадратичную форму $u 2 - v 2$ . Это эквивалентно сохранению формы $xy$ посредством замены базиса

x=u+v,\quad y=u-v\,,

и геометрически соответствует сохранению гипербол. Перспектива группы сжатых отображений как гиперболического вращения аналогична интерпретации группы $SO(2)$ (связной компонент определенной ортогональной группы ), сохраняющей квадратичную форму $x 2 + и 2$ как круговые вращения .

Обратите внимание, что « $SO +$ " обозначение соответствует тому, что отражения

u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v

не допускаются, хотя и сохраняют форму (в терминах $x$ и $y$ это $x \mapsto y, y \mapsto x$ и $x \mapsto - x, y \mapsto - y)$ ; дополнительный « $+$ » в гиперболическом случае (по сравнению с круговым случаем) необходим для указания единичного компонента, поскольку группа $O(1,1)$ имеет $4$ компонента связности , а группа $O(2)$ — $2$ компонента: $SO (1,1)$ имеет $2$ компонента, а $SO(2)$ — только 1. Тот факт, что преобразования сжатия сохраняют площадь и ориентацию, соответствует включению подгрупп $SO \subset SL$ – в данном случае $SO(1,1) \subset SL( 2)$ – подгруппы гиперболических вращений в специальной линейной группе преобразований, сохраняющих площадь и ориентацию ( форма объёма ). На языке преобразований Мёбиуса преобразования сжатия представляют собой гиперболические элементы в классификации элементов .

Геометрическое преобразование называется конформным, если оно сохраняет углы. Гиперболический угол определяется с использованием площади под y = 1/ x . Поскольку отображения сжатия сохраняют области преобразованных регионов, такие как гиперболические сектора , угловая мера секторов сохраняется. Таким образом, отображения сжатия конформны в смысле сохранения гиперболического угла.

Приложения [ править ]

Здесь некоторые приложения обобщены с историческими ссылками.

Релятивистское пространство-время [ править ]

Геометрия пространства-времени обычно разрабатывается следующим образом: Выберите (0,0) для «здесь и сейчас» в пространстве-времени. Свет, излучаемый влево и вправо через это центральное событие, отслеживает две линии в пространстве-времени, линии, которые можно использовать для определения координат событий вдали от (0,0). Траектории с меньшей скоростью отслеживаются ближе к исходной временной шкале (0, t ). Любую такую скорость можно рассматривать как нулевую скорость при отображении сжатия, называемом усилением Лоренца . Это понимание следует из изучения умножения расщепленных комплексных чисел и диагонального базиса , который соответствует паре светлых линий. Формально сжатие сохраняет гиперболическую метрику, выраженную в форме xy ; в другой системе координат. Это применение в теории относительности было отмечено в 1912 году Уилсоном и Льюисом. ^[4] Вернер Грауб, ^[5] и Луи Кауфман . ^[6] Кроме того, форма отображения сжатия преобразований Лоренца использовалась Густавом Герглотцем (1909/10). ^[7] при обсуждении жесткости Борна и был популяризирован Вольфгангом Риндлером в его учебнике по теории относительности, который использовал его для демонстрации их характерного свойства. ^[8]

Термин « преобразование сжатия» использовался в этом контексте в статье, связывающей группу Лоренца с исчислением Джонса в оптике. ^[9]

Угловой поток [ править ]

В гидродинамике одно из фундаментальных движений несжимаемого потока связано с раздвоением потока, набегающего на неподвижную стенку. Если представить стену осью y = 0 и взять параметр r = exp( t ), где t — время, то отображение сжатия с параметром r , примененным к начальному состоянию жидкости, создаст поток с бифуркацией слева и справа от оси x = 0. Та же модель дает плавную сходимость , когда время движется назад. Действительно, площадь любого гиперболического сектора инвариантна относительно сжатия.

Для другого подхода к потоку с гиперболическими линиями тока см. Потенциальный поток § Степенные законы с n = 2 .

В 1989 году Оттино ^[10] описал «линейный изохорный двумерный поток» как

v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}

где K лежит в интервале [−1, 1]. Линии тока следуют за кривыми

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant}

поэтому отрицательное значение K соответствует эллипсу , а положительное K - гиперболе, причем прямоугольный случай отображения сжатия соответствует K = 1.

Стокер и Хосой ^[11] описал свой подход к угловому потоку следующим образом:

мы предлагаем альтернативную формулировку для учета угловой геометрии, основанную на использовании гиперболических координат, которая обеспечивает существенный аналитический прогресс в определении течения на границе Плато и прикрепленных жидкостных потоках. Рассмотрим область течения, образующую угол π /2 и ограниченную слева и снизу плоскостями симметрии.

Затем Стокер и Хосой вспоминают книгу Моффата. ^[12]рассмотрение «течения в углу между жесткими границами, вызванного произвольным возмущением на большом расстоянии». По мнению Стокера и Хосои,

Для свободной жидкости в квадратном углу (антисимметричная) функция тока Моффатта... [указывает], что гиперболические координаты действительно являются естественным выбором для описания этих потоков.

Мост к трансцендентам [ править ]

Свойство сохранения площади отображения сжатия применяется для установления основы трансцендентных функций натурального логарифма и его обратной экспоненциальной функции :

Определение: Сектор( a,b ) — это гиперболический сектор , полученный с помощью центральных лучей, ведущих к ( a , 1/ a ) и ( b , 1/ b ).

Лемма: Если bc = ad , то существует отображение сжатия, которое перемещает сектор ( a,b ) в сектор ( c,d ).

Доказательство: возьмем параметр r = c / a так, чтобы ( u,v ) = ( rx , y / r ) переводил ( a , 1/ a ) в ( c , 1/ c ) и ( b , 1/ b ) в ( д , 1/ д ).

Теорема ( Грегуар де Сен-Винсент, 1647 г.) Если bc = ad , то квадратура гиперболы xy = 1 относительно асимптоты имеет равные площади между a и b по сравнению с площадью между c и d .

Доказательство: аргумент сложения и вычитания треугольников площади. 1 ⁄ 2 , где один треугольник равен {(0,0), (0,1), (1,1)}, показывает, что площадь гиперболического сектора равна площади вдоль асимптоты. Тогда теорема следует из леммы.

Теорема ( Альфонс Антонио де Сараса, 1649 г.) По мере того, как площадь, измеренная относительно асимптоты, увеличивается в арифметической прогрессии, проекции на асимптоту увеличиваются в геометрической последовательности. Таким образом, площади образуют логарифмы показателя асимптоты.

Например, для стандартного позиционного угла, который проходит от (1, 1) до ( x , 1/ x ), можно спросить: «Когда гиперболический угол равен единице?» Ответ — трансцендентное число x = e .

Сжатие с r = e перемещает единичный угол к единице между ( e , 1/ e ) и ( ee , 1/ ee ), что стягивает сектор также с областью один. Геометрическая прогрессия

и и ², Это ³, ..., Это ^н, ...

соответствует асимптотическому показателю, достигнутому при каждой сумме площадей

1,2,3, ..., н ,...

который представляет собой прототип типичной арифметической прогрессии A + nd , где A = 0 и d = 1 .

Трансформация лжи [ править ]

Следуя исследованиям Пьера Оссиана Бонне (1867) поверхностей постоянной кривизны, Софус Ли (1879) нашел способ получить новые псевдосферические поверхности из известных. Такие поверхности удовлетворяют уравнению Синус-Гордон :

{\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,

где $(s,\sigma )$ являются асимптотическими координатами двух главных касательных кривых и $\Theta$ их соответствующий угол. Ли показал, что если $\Theta =f(s,\sigma )$ является решением уравнения Синус-Гордон, то следующее отображение сжатия (теперь известное как преобразование Ли ^[13]) указывает на другие решения этого уравнения: ^[14]

\Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).

Ли (1883) заметил его связь с двумя другими преобразованиями псевдосферических поверхностей: ^[15] ( Преобразование Беклунда введенное Альбертом Виктором Беклундом в 1883 году) можно рассматривать как комбинацию преобразования Ли с преобразованием Бьянки (введенным Луиджи Бьянки в 1879 году). Такие преобразования псевдосферических поверхностей подробно обсуждались в лекциях по дифференциальной геометрии. Гастон Дарбу (1894 г.), ^[16] Луиджи Бьянки (1894), ^[17] или Лютер Пфалер Эйзенхарт (1909). ^[18]

Известно, что преобразования Ли (или отображения сжатия) соответствуют повышениям Лоренца в терминах координат светового конуса , как указали Тернг и Уленбек (2000): ^[13]

Софус Ли заметил, что SGE [уравнение Синус-Гордон] инвариантно относительно преобразований Лоренца. В асимптотических координатах, соответствующих координатам светового конуса, преобразование Лоренца имеет вид $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ .

Это можно представить следующим образом:

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}

где k соответствует доплеровскому фактору в Бонди k -исчислении , η — быстрота .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Эмиль Борель (1914) Геометрическое введение в некоторые физические теории , страница 29, Готье-Вилларс, ссылка из Корнельского университета монографий по исторической математике
^ Меллен В. Хаскелл (1895) О введении понятия гиперболических функций. Бюллетень Американского математического общества 1 (6): 155–9, особенно уравнение 12, стр. 159.
^ Евклид Спейделл (1688) Логарифмотехния: создание чисел, называемых логарифмами, из Google Книги.
^ Эдвин Бидуэлл Уилсон и Гилберт Н. Льюис (1912) «Пространственно-временное многообразие относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма», Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, сноска стр. 401
^ WH Greub (1967) Линейная алгебра , Springer-Verlag. См. стр. 272–274.
^ Луи Кауфман (1985) «Преобразования в специальной теории относительности», Международный журнал теоретической физики 24: 223–36
^ Герглотц, Густав (1910) [1909], « Annals О телах, которые следует обозначать как «жесткие» с точки зрения принципа относительности », of the Physics , 336 (2): 408, Бибкод : 1910AnP...336 ..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208
^ Вольфганг Риндлер , Существенная теория относительности , уравнение 29.5 на странице 45 издания 1969 года, уравнение 2.17 на странице 37 издания 1977 года или уравнение 2.16 на странице 52 издания 2001 года.
^ Дэсу Хан, Янг Су Ким и Мэрилин Э. Ноз (1997) «Формализм матрицы Джонса как представление группы Лоренца», Журнал Оптического общества Америки A14 (9): 2290–8
^ Дж. М. Оттино (1989) Кинематика смешивания: растяжение, хаос, транспорт , стр. 29, Cambridge University Press
^ Роман Стокер и А.Э. Хосой (2004) «Угловое течение в пленках свободной жидкости», Журнал инженерной математики 50: 267–88
^ Х. К. Моффатт (1964) «Вязкие и резистивные водовороты возле острого угла», Журнал механики жидкости 18: 1–18.
^ Перейти обратно: ^а ^б Тернг, К.Л., и Уленбек, К. (2000). «Геометрия солитонов» (PDF) . Уведомления АМС . 47 (1): 17–25. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Ли, С. (1881) [1879]. «Самораскрытие: о поверхностях, радиусы кривизны которых связаны соотношением». Достижения в математике . 11 :529-531. Перепечатано в сборнике статей Ли, том 3, стр. 392–393 .
^ Ли, С. (1884) [1883]. «Исследования дифференциальных уравнений IV». Христианин. Для ч . . Перепечатано в сборнике статей Ли, том 3, стр. 556–560 .
^ Дарбу, Г. (1894). Уроки по общей теории поверхностей. Третья часть . Париж: Готье-Виллар. стр. 381 –382.
^ Бьянки, Л. (1894). Уроки дифференциальной геометрии . Пиза: Энрико Сперри. стр. 433–434 .
^ Эйзенхарт, LP (1909). Трактат по дифференциальной геометрии кривых и поверхностей . Бостон: Джинн и компания. стр. 289–290 .

HSM Coxeter и SL Greitzer (1967) «Возвращение к геометрии» , глава 4 «Преобразования», генеалогия трансформаций.
П. С. Моденов и А. С. Пархоменко (1965) Геометрические преобразования , том первый. См. страницы 104–106.
Уолтер, Скотт (1999). «Неевклидов стиль относительности Минковского» (PDF) . В Дж. Грее (ред.). Символическая Вселенная: геометрия и физика . Издательство Оксфордского университета. стр. 91–127. (см. стр. 9 электронной ссылки)

[1] Эмиль Борель (1914) Геометрическое введение в некоторые физические теории , страница 29, Готье-Вилларс, ссылка из Корнельского университета монографий по исторической математике

[2] Меллен В. Хаскелл (1895) О введении понятия гиперболических функций. Бюллетень Американского математического общества 1 (6): 155–9, особенно уравнение 12, стр. 159.

[3] Евклид Спейделл (1688) Логарифмотехния: создание чисел, называемых логарифмами, из Google Книги.

[4] Эдвин Бидуэлл Уилсон и Гилберт Н. Льюис (1912) «Пространственно-временное многообразие относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма», Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, сноска стр. 401

[5] WH Greub (1967) Линейная алгебра , Springer-Verlag. См. стр. 272–274.

[6] Луи Кауфман (1985) «Преобразования в специальной теории относительности», Международный журнал теоретической физики 24: 223–36

[7] Герглотц, Густав (1910) [1909], « Annals О телах, которые следует обозначать как «жесткие» с точки зрения принципа относительности », of the Physics , 336 (2): 408, Бибкод : 1910AnP...336 ..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208

[8] Вольфганг Риндлер , Существенная теория относительности , уравнение 29.5 на странице 45 издания 1969 года, уравнение 2.17 на странице 37 издания 1977 года или уравнение 2.16 на странице 52 издания 2001 года.

[9] Дэсу Хан, Янг Су Ким и Мэрилин Э. Ноз (1997) «Формализм матрицы Джонса как представление группы Лоренца», Журнал Оптического общества Америки A14 (9): 2290–8

[10] Дж. М. Оттино (1989) Кинематика смешивания: растяжение, хаос, транспорт , стр. 29, Cambridge University Press

[11] Роман Стокер и А.Э. Хосой (2004) «Угловое течение в пленках свободной жидкости», Журнал инженерной математики 50: 267–88

[12] Х. К. Моффатт (1964) «Вязкие и резистивные водовороты возле острого угла», Журнал механики жидкости 18: 1–18.

[terng-13] Перейти обратно: ^а ^б Тернг, К.Л., и Уленбек, К. (2000). «Геометрия солитонов» (PDF) . Уведомления АМС . 47 (1): 17–25. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[14] Ли, С. (1881) [1879]. «Самораскрытие: о поверхностях, радиусы кривизны которых связаны соотношением». Достижения в математике . 11 :529-531. Перепечатано в сборнике статей Ли, том 3, стр. 392–393 .

[15] Ли, С. (1884) [1883]. «Исследования дифференциальных уравнений IV». Христианин. Для ч . . Перепечатано в сборнике статей Ли, том 3, стр. 556–560 .

[16] Дарбу, Г. (1894). Уроки по общей теории поверхностей. Третья часть . Париж: Готье-Виллар. стр. 381 –382.

[17] Бьянки, Л. (1894). Уроки дифференциальной геометрии . Пиза: Энрико Сперри. стр. 433–434 .

[18] Эйзенхарт, LP (1909). Трактат по дифференциальной геометрии кривых и поверхностей . Бостон: Джинн и компания. стр. 289–290 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]