Псевдосфера

В геометрии псевдосфера гауссовой — поверхность с постоянной отрицательной кривизной .

Псевсфера радиуса $R$ — это поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ имеющий кривизну −1/ R ² в каждой точке. Его название происходит от аналогии со сферой радиуса $R$ , которая представляет собой поверхность кривизны 1/ R. ². Этот термин был введен Эудженио Бельтрами в его статье 1868 года о моделях гиперболической геометрии . ^[1]

Трактроид

как результат вращения трактрисы Эту же поверхность можно описать и вокруг своей асимптоты .По этой причине псевдосферу еще называют трактроидом . Например, (половина) псевдосферы (с радиусом 1) представляет собой поверхность вращения трактрисы, параметризованную ^[2]

t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .

Это сингулярное пространство (экватор является сингулярностью), но вдали от особенностей оно имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну и, следовательно, локально изометрично гиперболической плоскости .

Название «псевдосфера» происходит потому, что она имеет двумерную поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны, точно так же, как сфера имеет поверхность с постоянной положительной гауссовой кривизной.Подобно тому, как сфера имеет в каждой точке положительно изогнутую геометрию купола , так и вся псевдосфера имеет в каждой точке отрицательно изогнутую геометрию седла .

Еще в 1693 году Христиан Гюйгенс обнаружил, что объем и площадь поверхности псевдосферы конечны. ^[3] несмотря на бесконечную протяженность формы вдоль оси вращения. данного радиуса $края R$ площадь равна 4π $Для R 2$ так же, как и для сферы, объём а $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 2 / 3 ⁠ π R 3$ и, следовательно, вдвое меньше, чем у сферы такого радиуса. ^[4]^[5]

Псевдосфера является важным геометрическим предшественником математического искусства и педагогики . ^[6]

Универсальное покрытие

Полусфера кривизны −1 покрыта внутренностью орицикла . В модели полуплоскости Пуанкаре удобным выбором является часть полуплоскости с $y \geq 1$ . ^[7] Тогда покрывающее отображение является периодическим в $направлении x$ с периодом 2 $π$ и переводит орициклы $y = c$ в меридианы псевдосферы, а вертикальные геодезические $x = c$ в трактрисы, порождающие псевдосферу. Это отображение является локальной изометрией и, таким образом, демонстрирует часть $y \geq 1$ верхней полуплоскости как универсальное накрывающее пространство псевдосферы. Точное отображение

(x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}

где

t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}

это параметризация приведенной выше трактрисы.

Гиперболоид

В некоторых источниках, использующих гиперболоидную модель гиперболической плоскости, гиперболоид называют псевдосферой . ^[8]Такое использование слова связано с тем, что гиперболоид можно рассматривать как сферу воображаемого радиуса, заключенную в пространстве Минковского .

Псевдосферические поверхности

Псевдосферическая поверхность является обобщением псевдосферы. Поверхность, кусочно гладко погруженная в $\mathbb {R} ^{3}$ с постоянной отрицательной кривизной представляет собой псевдосферическую поверхность. Трактроид — самый простой пример. Другие примеры включают поверхности Дини , поверхности бризера и поверхность Куэна .

Связь с решениями уравнения синус-Гордон

Псевдосферические поверхности могут быть построены из решений уравнения синус-Гордон . ^[9] Эскизное доказательство начинается с перепараметризации трактроида с координатами, в которых уравнения Гаусса – Кодацци можно переписать в виде уравнения синус-Гордона.

В частности, для трактроида уравнения Гаусса – Кодацци представляют собой уравнение синус-Гордона, примененное к статическому солитонному решению, поэтому уравнения Гаусса – Кодацци удовлетворяются. В этих координатах первая и вторая фундаментальные формы записаны таким образом, чтобы было ясно, что гауссова кривизна равна -1 для любого решения уравнений синус-Гордон.

Тогда любое решение уравнения синус-Гордон можно использовать для определения первой и второй фундаментальных форм, которые удовлетворяют уравнениям Гаусса – Кодацци. Тогда существует теорема о том, что любой такой набор исходных данных можно использовать, по крайней мере, для локального задания погруженной поверхности в $\mathbb {R} ^{3}$ .

Несколько примеров решений синус-Гордон и соответствующих им поверхностей приведены ниже:

Статический 1-солитон: псевдосфера
Движущийся 1-солитон: поверхность Дини
Решение для сапуна: Поверхность сапуна
2-солитон: поверхность Куэна

См. также

Ссылки

^ Бельтрами, Эухенио (1868). «Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии». День. Мэтт. (на итальянском языке). 6 :248–312.
(Также Бельтрами, Эудженио (июль 2010 г.). Opere Matematiche [ Математические труды ] (на итальянском языке). Том. 1. Научное издательство, Библиотека Мичиганского университета. стр. 374–405. ISBN 978-1-4181-8434-6 . ;
Бельтрами, Эудженио (1869). «Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии». Анналы Высшей нормальной школы (на французском языке). 6 :251–288. дои : 10.24033/asens.60 . Архивировано из оригинала 2 февраля 2016 г. Проверено 24 июля 2010 г. )
^ Бонахон, Фрэнсис (2009). Низкоразмерная геометрия: от евклидовых поверхностей к гиперболическим узлам . Книжный магазин АМС. п. 108. ИСБН 978-0-8218-4816-6 . , глава 5, стр. 108
^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (переработанное, 3-е изд.). Springer Science & Business Media. п. 345. ИСБН 978-1-4419-6052-8 . , выдержка со стр. 345
^ Ле Лионне, Ф. (2004). Великие течения математической мысли, Vol. II: Математика в искусстве и науках (2-е изд.). Публикации Courier Dover. п. 154. ИСБН 0-486-49579-5 . , глава 40, стр. 154
^ Вайсштейн, Эрик В. «Псевдосфера» . Математический мир .
^ Робертс, Шивон (15 января 2024 г.). «Коралловый риф вязания крючком продолжает нереститься, гиперболически» . Нью-Йорк Таймс .
^ Терстон, Уильям, Трехмерная геометрия и топология , том. 1, Издательство Принстонского университета, с. 62 .
^ Хасанов, Эльман (2004), «Новая теория комплексных лучей» , IMA J. Appl. Математика. , 69 (6): 521–537, doi : 10.1093/imamat/69.6.521 , ISSN 1464-3634 , заархивировано из оригинала 15 апреля 2013 г.
^ Уиллер, Николас. «От псевдосферы к уравнению синус-Гордон» (PDF) . Проверено 24 ноября 2022 г.

Стиллвелл, Дж. (1996). Источники гиперболической геометрии . амер. Математика. Soc и Лондонская математика. Соц.
Хендерсон, Д.В.; Таймина, Д. (2006). «Опыт геометрии: евклидова и неевклидова с историей». Эстетика и математика (PDF) . Спрингер-Верлаг.
Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (1940). Математика и воображение . Саймон и Шустер . стр. 140, 145, 155.

Внешние ссылки

Не Евклид
Вязание гиперболической плоскости крючком: интервью с Дэвидом Хендерсоном и Дайной Тайминой
Лекция Нормана Вильдбергера 16 , История математики, Университет Нового Южного Уэльса. Ютуб. 2012 май.
Псевдосферические поверхности в виртуальном математическом музее.

[1] Бельтрами, Эухенио (1868). «Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии». День. Мэтт. (на итальянском языке). 6 :248–312.
(Также Бельтрами, Эудженио (июль 2010 г.). Opere Matematiche [ Математические труды ] (на итальянском языке). Том. 1. Научное издательство, Библиотека Мичиганского университета. стр. 374–405. ISBN 978-1-4181-8434-6 . ;
Бельтрами, Эудженио (1869). «Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии». Анналы Высшей нормальной школы (на французском языке). 6 :251–288. дои : 10.24033/asens.60 . Архивировано из оригинала 2 февраля 2016 г. Проверено 24 июля 2010 г. )

[2] Бонахон, Фрэнсис (2009). Низкоразмерная геометрия: от евклидовых поверхностей к гиперболическим узлам . Книжный магазин АМС. п. 108. ИСБН 978-0-8218-4816-6 . , глава 5, стр. 108

[3] Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (переработанное, 3-е изд.). Springer Science & Business Media. п. 345. ИСБН 978-1-4419-6052-8 . , выдержка со стр. 345

[4] Ле Лионне, Ф. (2004). Великие течения математической мысли, Vol. II: Математика в искусстве и науках (2-е изд.). Публикации Courier Dover. п. 154. ИСБН 0-486-49579-5 . , глава 40, стр. 154

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Псевдосфера» . Математический мир .

[6] Робертс, Шивон (15 января 2024 г.). «Коралловый риф вязания крючком продолжает нереститься, гиперболически» . Нью-Йорк Таймс .

[7] Терстон, Уильям, Трехмерная геометрия и топология , том. 1, Издательство Принстонского университета, с. 62 .

[8] Хасанов, Эльман (2004), «Новая теория комплексных лучей» , IMA J. Appl. Математика. , 69 (6): 521–537, doi : 10.1093/imamat/69.6.521 , ISSN 1464-3634 , заархивировано из оригинала 15 апреля 2013 г.

[wheeler-9] Уиллер, Николас. «От псевдосферы к уравнению синус-Гордон» (PDF) . Проверено 24 ноября 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]