Поверхность сапуна

В дифференциальной геометрии бризерная поверхность — это однопараметрическое семейство математических поверхностей, соответствующих бризерным решениям. уравнения синус -Гордон — дифференциального уравнения, встречающегося в теоретической физике . Поверхности обладают замечательным свойством: они имеют постоянную кривизну. $-1$, где кривизна четко определена. Это делает их примерами обобщенных псевдосфер .

Математическая основа

Синус-Гордон Стоячий бризер представляет собой колеблющееся во времени 2-солитонное решение с кинк-антикинком.

Существует соответствие между вложенными поверхностями постоянной кривизны -1, известными как псевдосферы, и решениями уравнения синус-Гордон. Это соответствие можно построить, начиная с простейшего примера псевдосферы — трактроида . В специальном наборе координат, известном как асимптотические координаты, уравнения Гаусса-Кодацци , которые представляют собой уравнения непротиворечивости, определяющие, когда поверхность заданной первой и второй фундаментальной формы может быть вложена в трехмерное пространство с плоской метрикой , сводятся к синусу. -Уравнение Гордона.

В переписке трактроид соответствует статическому 1-солитонному решению синус-Гордона. Из-за лоренц-инвариантности синус-Гордона к статическому решению можно применить однопараметрическое семейство повышений Лоренца для получения новых решений: на стороне псевдосферы они известны как преобразования Ли , которые деформируют трактроид до одно- Семейство параметров поверхностей, известных как поверхности Дини .

Метод преобразования Беклунда позволяет построить большое количество различных решений уравнения синус-Гордон, многосолитонных решений. Например, 2-солитон соответствует поверхности Куэна . Однако, хотя это порождает бесконечное семейство решений, бризерные решения в их число не входят.

Вместо этого бризерные решения получаются с помощью метода обратной задачи рассеяния для уравнения синус-Гордон. Они локализованы в пространстве, но колеблются во времени.

Каждое решение уравнения синус-Гордон дает первую и вторую фундаментальные формы, которые удовлетворяют уравнениям Гаусса-Кодацци. Фундаментальная теорема теории поверхностей тогда гарантирует, что существует параметризованная поверхность, которая восстанавливает предписанные первую и вторую фундаментальные формы. Локально параметризация ведет себя хорошо, но при произвольном расширении результирующая поверхность может иметь самопересечения и точки возврата. Действительно, теорема Гильберта гласит, что любая псевдосфера не может быть регулярно (грубо говоря, без точек возврата) вложена в $\mathbb {R} ^{3}$.

Параметризация

Параметризация $\sigma :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3};(u,v)\mapsto (x,y,z)$ с параметром $0<a<1$ дается

${\begin{aligned}x&{}=-u+{\frac {2\left(1-a^{2}\right)\cosh(au)\sinh(au)}{a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}\\\\y&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\cos(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)-\sin(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}\\\\z&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\sin(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)+\cos(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}\end{aligned}}$

Поверхность сапуна, когда $a={\frac {2}{5}}{\text{ and }}-14\leq u<14$${\text{ and }}-37.4\leq v<37.4$

Внешние ссылки

• Xah Lee Web — Галерея поверхности
• Поверхность бризера в Виртуальном математическом музее