Обратное преобразование рассеяния

Трехшаговый алгоритм: преобразование исходного решения в исходные данные рассеяния, преобразование исходных данных рассеяния, преобразование эволюционных данных рассеяния в развитое решение.

В математике обратное преобразование рассеяния — это метод, который решает начальную задачу для нелинейного уравнения в частных производных с использованием математических методов, связанных с рассеянием волн . Преобразование прямого рассеяния описывает, как функция рассеивает волны или генерирует связанные состояния . Преобразование обратного рассеяния использует данные рассеяния волн для построения функции, отвечающей за рассеяние волн. Прямое и обратное преобразования рассеяния аналогичны прямому и обратному преобразованиям Фурье , которые используются для решения линейных уравнений в частных производных.

Используя пару дифференциальных операторов , трехшаговый алгоритм может решать нелинейные дифференциальные уравнения ; исходное решение преобразуется в данные рассеяния (преобразование прямого рассеяния), данные рассеяния развиваются вперед во времени (эволюция времени), а данные рассеяния восстанавливают решение вперед во времени (преобразование обратного рассеяния).

Этот алгоритм упрощает решение нелинейного уравнения в частных производных до решения двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и обыкновенного интегрального уравнения . Этот метод в конечном итоге приводит к аналитическим решениям для многих нелинейных уравнений в частных производных, которые иначе трудно решить.

Обратная задача рассеяния эквивалентна задаче факторизации Римана–Гильберта , по крайней мере, в случае уравнений одного измерения пространства. Эту формулировку можно обобщить на дифференциальные операторы порядка выше двух, а также на периодические задачи. В более высоких измерениях пространства вместо этого возникает «нелокальная» проблема факторизации Римана – Гильберта (со сверткой вместо умножения) или проблема с d-баром.

История

Обратное преобразование рассеяния возникло в результате изучения уединенных волн. Дж. С. Рассел описал «волну перемещения» или «одиночную волну», возникающую на мелководье. Сначала Дж. В. Буссинеск , а позднее Д. Кортевег и Г. де Фрис открыли уравнение Кортевега-де Фриза (КдВ) — нелинейное уравнение в частных производных, описывающее эти волны. Позднее Н. Забуски и М. Крускал, используя численные методы исследования проблемы Ферми–Пасты–Улама–Цингу , обнаружили, что уединенные волны обладают упругими свойствами сталкивающихся частиц; начальные и конечные амплитуды и скорости волн после волновых столкновений остались неизменными. Эти корпускулярные волны называются солитонами и возникают в нелинейных уравнениях из-за слабого баланса между дисперсионными и нелинейными эффектами.

Гарднер, Грин, Краскал и Миура представили обратное преобразование рассеяния для решения уравнения Кортевега – де Фриза . Лакс, Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур обобщили этот подход, который привел к решению других нелинейных уравнений, включая нелинейное уравнение Шредингера , уравнение синус-Гордона , модифицированное уравнение Кортевега-Де Фриза , уравнение Кадомцева-Петвиашвили , уравнение Ишимори , решетки Тоды уравнение . и уравнение Дыма . Этот подход также применялся к различным типам нелинейных уравнений, включая дифференциально-разностные, частные разностные, многомерные уравнения и дробно-интегрируемые нелинейные системы.

Описание

Нелинейное уравнение

Независимые переменные представляют собой пространственную переменную. $x$ и переменная времени $t$. Индексы или дифференциальные операторы ( ${\textstyle \partial _{x},\partial _{t}}$) указывают на дифференциацию. Функция $u(x,t)$ является решением нелинейного уравнения в частных производных, ${\textstyle u_{t}+N(u)=0}$, с начальным условием (значением) ${\textstyle u(x,0)}$.

Требования

Решение дифференциального уравнения удовлетворяет условиям интегрируемости и условиям Фадеева:

Условие интегрируемости: $\int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty$

Состояние Фадеева: $\int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|))|u(x)|\ dx\ <\infty$

Пара дифференциальных операторов

Лакса Дифференциальные операторы , ${\textstyle L}$ и ${\textstyle M}$, — линейные обыкновенные дифференциальные операторы с коэффициентами, которые могут содержать функцию ${\textstyle u(x,t)}$ или его производные. оператор Самосопряженный ${\textstyle L}$ имеет производную по времени ${\textstyle L_{t}}$ и генерирует уравнение собственных значений (спектральное) с собственными функциями ${\textstyle \psi }$ и постоянные во времени собственные значения ( спектральные параметры ) ${\textstyle \lambda }$.

$L(\psi )=\lambda \psi ,\$ и ${\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}$

Оператор ${\textstyle M}$ описывает, как собственные функции изменяются с течением времени, и генерирует новую собственную функцию ${\textstyle {\widetilde {\psi }}}$ оператора ${\textstyle L}$ из собственной функции ${\textstyle \psi }$ из ${\textstyle L}$.

${\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M(\psi )\$

Операторы Лакса объединяются, образуя мультипликативный, а не дифференциальный оператор собственных функций. ${\textstyle \psi }$.

$(L_{t}+LM-ML)\psi =0$

Операторы Лакса выбраны так, чтобы мультипликативный оператор был равен нелинейному дифференциальному уравнению.

$L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0$

, Дифференциальные операторы AKNS разработанные Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сегуром, являются альтернативой дифференциальным операторам Лакса и достигают аналогичного результата.

Преобразование прямого рассеяния

Преобразование прямого рассеяния генерирует исходные данные рассеяния; это может включать коэффициенты отражения, коэффициент прохождения, данные собственных значений и константы нормализации решений собственных функций для этого дифференциального уравнения.

$L(\psi )=\lambda \psi$

Эволюция данных

Уравнения, описывающие, как данные рассеяния изменяются с течением времени, представляют собой решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка по времени. Используя различные подходы, это линейное дифференциальное уравнение первого порядка может возникнуть из линейных дифференциальных операторов (пара Лакса, пара AKNS), комбинации линейных дифференциальных операторов и нелинейного дифференциального уравнения или посредством дополнительных операций замены, интегрирования или дифференцирования. Пространственно асимптотические уравнения ( ${\textstyle x\to \pm \infty }$) упрощают решение этих дифференциальных уравнений.

рассеяния

Уравнение Марченко объединяет данные рассеяния в линейное интегральное уравнение Фредгольма . Решение этого интегрального уравнения приводит к решению u(x,t) нелинейного дифференциального уравнения.

Пример: уравнение Кортевега – Де Фриза

Нелинейное дифференциальное уравнение Кортевега – Де Фриза имеет вид

$u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0$

Слабые операторы

Операторы Лакса:

$L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\$ и ${\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}$

Мультипликативный оператор:

$L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0$

Преобразование прямого рассеяния

Решения этого дифференциального уравнения

${\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }$

может включать решения рассеяния с непрерывным диапазоном собственных значений ( непрерывный спектр ) и решения в связанном состоянии с дискретными собственными значениями ( дискретный спектр ). Данные рассеяния включают коэффициенты пропускания ${\textstyle T(k,0)}$, коэффициент левого отражения ${\textstyle R_{L}(k,0)}$, коэффициент правого отражения ${\textstyle R_{R}(k,0)}$, дискретные собственные значения ${\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}$ левого и правого связанного состояния , а также константы нормализации (нормирования) .

$c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N$

$c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N$

Эволюция данных

Пространственно асимптотическая левая ${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$ и правильно ${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$ Функции Йоста упрощают этот шаг.

${\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}$

зависимостей Константы ${\textstyle \gamma _{j}(t)}$ связать правую и левую функции Йоста и правую и левую константы нормализации.

$\gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}$

Лакс ${\textstyle M}$ дифференциальный оператор генерирует собственную функцию, которую можно выразить как зависящую от времени линейную комбинацию других собственных функций.

$\partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)$

$\partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)$

Решения этих дифференциальных уравнений, определенные с использованием рассеяния и пространственно асимптотических функций Йоста связанного состояния, указывают на постоянный во времени коэффициент передачи ${\textstyle T(k,t)}$, но зависящие от времени коэффициенты отражения и коэффициенты нормализации.

${\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}$

рассеяния

Ядро Марченко ​ ${\textstyle F(x,t)}$.

$F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}$

представляет Интегральное уравнение Марченко собой линейное интегральное уравнение, решенное относительно ${\textstyle K(x,y,t)}$.

$K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0$

Решение уравнения Марченко, ${\textstyle K(x,y,t)}$, генерирует решение ${\textstyle u(x,t)}$ к нелинейному уравнению в частных производных.

$u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,x,t)}{\partial x}}$

Примеры интегрируемых уравнений

• Уравнение Кортевега – де Фриза
• нелинейное уравнение Шрёдингера
• Уравнение Камассы-Холма
• Уравнение Синус-Гордон
• Все решетки
• уравнение Ишимори
• Уравнение Дыма

См. также

• Квантовый метод обратной задачи рассеяния
• Интегрируемая система

Ссылки

• Абловиц, MJ; Кауп, диджей; Ньюэлл, AC; Сегур, Х. (1973). «Метод решения уравнения Синус-Гордон» . Письма о физических отзывах . 30 (25): 1262–1264. дои : 10.1103/PhysRevLett.30.1262 .

• Абловиц, MJ; Кауп, диджей; Ньюэлл, AC; Сегур, Х. (1974). «Обратное преобразование рассеяния — анализ Фурье для нелинейных задач» . Исследования по прикладной математике . 53 : 249–315.

• Абловиц, Марк Дж.; Сегур, Харви (1981). Солитоны и обратное преобразование рассеяния . СИАМ. ISBN  978-0-89871-477-7 .

• Абловиц, Марк Дж.; Фокас, А.С. (2003). Комплексные переменные: введение и применение . Издательство Кембриджского университета. стр. 604–620. ISBN  978-0-521-53429-1 .

• Абловиц, Марк Дж. (2023). «Нелинейные волны и обратное преобразование рассеяния» . Оптик . 278 : 170710. doi : 10.1016/j.ijleo.2023.170710 .

• Актосун, Тунчай (2009). «Обратное преобразование рассеяния и теория солитонов». Энциклопедия сложности и системных наук . Спрингер. стр. 4960–4971. ISBN  978-0-387-30440-3 .

• Дразин, П.Г.; Джонсон, Р.С. (1989). Солитоны: Введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-33655-0 .

• Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Краскал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1967). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза» . Письма о физических отзывах . 19 (19): 1095–1097. дои : 10.1103/PhysRevLett.19.1095 .

• Конопельченко Б.Г.; Дубровский, В.Г. (1991). «Локализованные солитоны для уравнения Ишимори». В Саттингере, Дэвид Х.; Трейси, Калифорния; Венакидес, Стефанос (ред.). Обратное рассеяние и его приложения . Американское математическое соц. стр. 77–90. ISBN  978-0-8218-5129-6 .

• Ооно, Х. (1996). «N-солитонное решение уравнения Гарри Дыма методом обратной задачи рассеяния». В Альфинито, Э.; Боити, М.; Мартина, Л. (ред.). Нелинейная физика: теория и эксперимент . Всемирная научная издательская компания Pte Limited. стр. 241–248. ISBN  978-981-02-2559-9 .

• Осборн, Арканзас (1995). «Физика солитонов и периодическое обратное преобразование рассеяния» . Физика D: Нелинейные явления . 86 (1): 81–89. дои : 10.1016/0167-2789(95)00089-М . ISSN   0167-2789 .

Дальнейшее чтение

• Абловиц, Марк Дж.; Кларксон, Пенсильвания (12 декабря 1991 г.). Солитоны, нелинейные эволюционные уравнения и обратное рассеяние . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-38730-9 .

• Буллоу, РК; Кодри, Пи Джей (11 ноября 2013 г.). Солитоны . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-81448-8 .

• Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Краскал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1974), «Уравнение Кортевега-де Фриза и его обобщение. VI. Методы точного решения», Comm. Чистое приложение. Математика. , 27 : 97–133, doi : 10.1002/cpa.3160270108 , MR   0336122

• Гельфанд, Израиль Моисеевич (1955). Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции . Американское математическое общество. п. 253-304.

• Марченко, Владимир А. (1986). Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения . Базель: Биркхойзер.

• Шоу, Дж. К. (1 мая 2004 г.). Математические основы волоконно-оптической связи . СИАМ. ISBN  978-0-89871-556-9 .

Внешние ссылки

• «Вводная математическая статья по IST» (PDF) .   (300 КиБ )
• Обратное преобразование рассеяния и теория солитонов