Квантовый метод обратной задачи рассеяния

В квантовой физике квантовый метод обратной задачи рассеяния (QISM), аналогичный тесно связанному с ним алгебраическому анзацу Бете , представляет собой метод решения интегрируемых моделей в измерениях 1+1, введенный Леоном Тахтаджаном и Л.Д. Фаддеевым в 1979 году. ^[1]

Его можно рассматривать как квантованную версию классического метода обратного рассеяния, впервые разработанного Норманом Забуски и Мартином Краскалом. ^[2]использовался для исследования уравнения Кортевега – де Фриза , а затем и других интегрируемых уравнений в частных производных . В обоих случаях матрица Лакса имеет большое значение, а данные рассеяния используются для построения решений исходной системы.

В то время как классический метод обратной задачи рассеяния используется для решения интегрируемых уравнений в частных производных, моделирующих сплошные среды (например, уравнение КдВ моделирует волны на мелкой воде), QISM используется для решения квантовых систем многих тел , иногда называемых спиновыми цепочками . является Спиновая цепочка Гейзенберга наиболее изученным и самым известным примером. Обычно это дискретные системы с частицами, зафиксированными в разных точках решетки, но пределы результатов, полученных с помощью QISM, могут давать предсказания даже для теорий поля , определенных в континууме, таких как квантовая модель синус-Гордона .

Обсуждение [ править ]

Квантовый метод обратного рассеяния объединяет два разных подхода:

анзац Бете — метод решения интегрируемых квантовых моделей в одном пространстве и одном временном измерении.
обратное преобразование рассеяния — метод решения классических интегрируемых дифференциальных уравнений эволюционного типа.

Этот метод привел к формулировке квантовых групп , в частности янгиана . Центр янгиана, заданный квантовым определителем , играет важную роль в методе.

Важным понятием в обратном преобразовании рассеяния является представление Лакса . Квантовый метод обратной задачи рассеяния начинается с квантования представления Лакса и воспроизводит результаты анзаца Бете. Фактически, это позволяет записать анзац Бете в новой форме: алгебраический анзац Бете . ^[3] Это привело к дальнейшему прогрессу в понимании квантовых интегрируемых систем , таких как квантовая модель Гейзенберга , квантовое нелинейное уравнение Шредингера (также известное как модель Либа-Линигера или газ Тонкса-Жирардо ) и модель Хаббарда .

теория корреляционных функций. Была разработана ^{[ когда? ]}, связывающие детерминантные представления, описания дифференциальными уравнениями и проблему Римана–Гильберта . Асимптотика корреляционных функций, включающих зависимость от пространства, времени и температуры, была оценена в 1991 году.

Явные выражения для высших законов сохранения интегрируемых моделей были получены в 1989 г.

Существенный прогресс был достигнут в изучении моделей типа льда : объемная свободная энергия Шестивершинная модель зависит от граничных условий даже в термодинамическом пределе .

Процедура [ править ]

Эти шаги можно резюмировать следующим образом (Евгений Склянин, 1992 ):

Возьмем R -матрицу , которая решает уравнение Янга–Бакстера .
Возьмите представление алгебры ${\mathcal {T}}_{R}$ удовлетворение РТТ ^{[ нужны разъяснения ]} связи. ^[4]
Найдите спектр производящей функции $t(u)$ центра ${\mathcal {T}}_{R}$ .
Найдите корреляторы.

Ссылки [ править ]

^ Тахтаджан, Луизиана; Фаддеев, Людвиг Д (31 октября 1979 г.). «Квантовый метод обратной задачи и модель Гейзенберга Xyz». Российские математические обзоры . 34 (5): 11–68. Бибкод : 1979РуМаС..34...11Т . дои : 10.1070/RM1979v034n05ABEH003909 .
^ Забуски, Нью-Джерси; Краскал, доктор медицины (9 августа 1965 г.). «Взаимодействие «солитонов» в бесстолкновительной плазме и возвратность начальных состояний» . Письма о физических отзывах . 15 (6): 240–243. Бибкод : 1965PhRvL..15..240Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
^ См., например, лекции Н.А. Славнова arXiv : 1804.07350.
^ Чакрабарти 2001 .

Чакрабарти, А. (2001). «RTT-отношения, модифицированное уравнение косы и некоммутативные плоскости» . Журнал математической физики . 42 (6): 2653–2666. arXiv : math/0009178 . Бибкод : 2001JMP....42.2653C . дои : 10.1063/1.1365952 .
Склянин Е.К. (1992). «Квантовый метод обратной задачи рассеяния. Избранные темы». arXiv : hep-th/9211111 .
Фаддеев, Л. (1995), «Поучительная история квантового метода обратной задачи рассеяния», Acta Applicandae Mathematicae , 39 (1): 69–84, doi : 10.1007/BF00994626 , MR 1329554 , S2CID 120648929
Корепин В.Е.; Боголюбов, Н.М.; Изергин, А.Г. (1993), Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-37320-3 , МР 1245942

[1] Тахтаджан, Луизиана; Фаддеев, Людвиг Д (31 октября 1979 г.). «Квантовый метод обратной задачи и модель Гейзенберга Xyz». Российские математические обзоры . 34 (5): 11–68. Бибкод : 1979РуМаС..34...11Т . дои : 10.1070/RM1979v034n05ABEH003909 .

[2] Забуски, Нью-Джерси; Краскал, доктор медицины (9 августа 1965 г.). «Взаимодействие «солитонов» в бесстолкновительной плазме и возвратность начальных состояний» . Письма о физических отзывах . 15 (6): 240–243. Бибкод : 1965PhRvL..15..240Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .

[3] См., например, лекции Н.А. Славнова arXiv : 1804.07350.

[FOOTNOTEChakrabarti2001-4] Чакрабарти 2001 .

[1]

[2]

[3]

[4]