Уравнение Синус-Гордон

Уравнение синус-Гордон второго порядка представляет собой нелинейное уравнение в частных производных для функции $\varphi$ зависит от двух переменных, обычно обозначаемых $x$ и $t$, включающий оператор и синус волновой $\varphi$.

Первоначально оно было введено Эдмоном Буром ( 1862 ) в ходе изучения поверхностей постоянной отрицательной кривизны как уравнение Гаусса–Кодацци для поверхностей постоянной гауссовой кривизны −1 в 3-мерном пространстве . Уравнение было переоткрыто Френкелем и Конторовой ( 1939 ) в их исследовании кристаллических дислокаций, известном как модель Френкеля-Конторовой .

Это уравнение привлекло большое внимание в 1970-х годах из-за наличия солитонных решений. и является примером интегрируемого УЧП . Среди хорошо известных интегрируемых УЧП уравнение синус-Гордон является единственной релятивистской системой из-за своей лоренц-инвариантности .

Реализации уравнения синус-Гордон

Дифференциальная геометрия

Это первый вывод уравнения, сделанный Буром (1862).

Существуют две эквивалентные формы уравнения синус-Гордон. В ( реальных ) пространственно-временных координатах , обозначенных $(x,t)$, уравнение гласит:

$\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0,$

где частные производные обозначены индексами. Переходя к координатам светового конуса ( u , v ), сродни асимптотическим координатам , где

$u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {x-t}{2}},$

уравнение принимает вид

$\varphi _{uv}=\sin \varphi .$

Это первоначальная форма уравнения синус-Гордон, как оно рассматривалось в XIX веке в ходе исследования поверхностей постоянной гауссовой кривизны K = −1, называемых также псевдосферическими поверхностями .

Рассмотрим произвольную псевдосферическую поверхность. Через каждую точку поверхности проходят две асимптотические кривые . Это позволяет построить выделенную систему координат для такой поверхности, в которой u = константа, v = константа — асимптотические линии, а координаты приращены на длину дуги на поверхности. Пусть в каждой точке поверхности $\varphi$ — угол между асимптотическими линиями.

Первой фундаментальной формой поверхности является

$ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},$

и вторая фундаментальная форма $$L=N=0,M=\sin \varphi$$а уравнение Гаусса – Кодацци имеет вид $$\varphi _{uv}=\sin \varphi .$$Таким образом, любая псевдосферическая поверхность порождает решение уравнения синус-Гордон, хотя и с некоторыми оговорками: если поверхность полная, то она обязательно сингулярна в силу теоремы вложения Гильберта . В простейшем случае псевдосфера , также известная как трактроид , соответствует статическому односолитону, но трактроид имеет особую точку возврата на экваторе.

И наоборот, можно начать с решения уравнения синус-Гордон, чтобы получить псевдосферу однозначно с точностью до жестких преобразований . Существует теорема, которую иногда называют фундаментальной теоремой поверхностей , что если пара матричных билинейных форм удовлетворяет уравнениям Гаусса – Кодацци, то они являются первой и второй фундаментальными формами вложенной поверхности в трехмерном пространстве. Решения уравнения синус-Гордон можно использовать для построения таких матриц, используя полученные выше формы.

Преобразование Ли, примененное к псевдосфере, для получения поверхности Дини

Новые решения из старых

Изучение этого уравнения и связанных с ним преобразований псевдосферических поверхностей в 19 веке Бьянки и Беклундом привело к открытию преобразований Беклунда . Другое преобразование псевдосферических поверхностей - это преобразование Ли, введенное Софусом Ли в 1879 году, которое соответствует усилению Лоренца для решений уравнения синус-Гордон.

Есть также несколько более простых способов построения новых решений, но не дающих новых поверхностей. Поскольку уравнение синус-Гордон нечетное, отрицательное решение любого решения является другим решением. Однако это не дает новой поверхности, так как смена знака сводится к выбору направления нормали к поверхности. Новые решения можно найти, переведя решение: если $\varphi$ это решение, то так же $\varphi +2n\pi$ для $n$ целое число.

Модель Френкеля – Конторовой

Основная статья: Модель Френкеля – Конторовой

Механическая модель

Линия маятника с колеблющейся посередине «схемой передышки». К сожалению, рисунок нарисован гравитацией вверх .

Рассмотрим маятник, висящий на прямой линии в условиях постоянной силы тяжести. Соедините бобышки маятника вместе с помощью веревки, находящейся в постоянном натяжении. Пусть угол маятника в данном месте $x$ быть $\varphi$, то схематически динамика линии маятника подчиняется второму закону Ньютона: $$\underbrace {m\varphi _{tt}} _{\text{mass times acceleration}}=\underbrace {T\varphi _{xx}} _{\text{tension}}-\underbrace {mg\sin \varphi } _{\text{gravity}}$$и это уравнение синус-Гордона после соответствующего масштабирования времени и расстояния.

Обратите внимание, что это не совсем верно, поскольку результирующая сила, действующая на маятник вследствие натяжения, не совсем равна $T\varphi _{xx}$, но точнее $T\varphi _{xx}(1+\varphi _{x}^{2})^{-3/2}$. Однако это дает интуитивное представление об уравнении синус-гордон. Точную механическую реализацию уравнения синус-Гордон можно получить более сложными методами.

Мы

Название «уравнение синус-Гордон» представляет собой игру слов на основе известного в физике уравнения Клейна-Гордона :

$\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.$

Уравнение синус-Гордон представляет собой уравнение Эйлера – Лагранжа поля, плотность лагранжа которого определяется выражением

${\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .$

Используя в ряд Тейлора разложение косинуса в лагранжиане ,

$\cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},$

его можно переписать как лагранжиан Клейна – Гордона плюс члены более высокого порядка:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}$

Солитонные решения

Интересной особенностью уравнения синус-Гордон является существование солитонных и многосолитонных решений.

1-солитонные решения

Уравнение синус-Гордон имеет следующие 1- солитонные решения:

$\varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),$

где

$\gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},$

и предполагается несколько более общий вид уравнения:

$\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.$

Односолитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для $\gamma$ называется кинком и представляет собой поворот переменной $\varphi$ который выводит систему из одного постоянного решения $\varphi =0$ к соседнему постоянному решению $\varphi =2\pi$. Штаты $\varphi \cong 2\pi n$ известны как вакуумные состояния, поскольку они представляют собой постоянные решения с нулевой энергией. Односолитонное решение, в котором мы извлекаем отрицательный корень из $\gamma$ называется антикинком . Вид 1-солитонных решений можно получить путем применения преобразования Беклунда к тривиальному (вакуумному) решению и интегрирования полученных дифференциалов первого порядка:

$\varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},$

$\varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0$

на все времена.

Односолитонные решения можно визуализировать с помощью модели синус-Гордона упругой ленты, представленной Хулио Рубинштейном в 1970 году. Здесь мы принимаем поворот эластичной ленты по часовой стрелке ( влево ) как излом с топологическим зарядом. $\theta _{\text{K}}=-1$. Альтернативный поворот против часовой стрелки ( правый ) с топологическим зарядом. $\theta _{\text{AK}}=+1$ будет антикинк.

Бегущий кинк- солитон представляет собой поворот, распространяющийся по часовой стрелке.

Бегущий антикинковый солитон представляет собой вращение, распространяющееся против часовой стрелки.

Статическое 1-солитонное решение $4\arctan e^{x}$

2-солитонные решения

Многосолитонные связывающей решения могут быть получены путем непрерывного применения преобразования Беклунда к 1-солитонному решению, как предписано решеткой Бьянки, преобразованные результаты. 2-солитонные решения уравнения синус-Гордон демонстрируют некоторые характерные особенности солитонов. Бегущие кинки и/или антикинки синус-Гордона проходят друг через друга, как если бы они были совершенно проницаемы, и единственным наблюдаемым эффектом является фазовый сдвиг . Поскольку сталкивающиеся солитоны восстанавливают свою скорость и форму , такое взаимодействие называется упругим столкновением .

Решение кинк-кинк определяется выражением $$\varphi _{K/K}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\cosh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)$$

в то время как решение кинк-антикинк определяется выражением $$\varphi _{K/AK}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\cosh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\sinh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)$$

Столкновение антикинк-кинк .

Кинк-кинк столкновение.

Еще одно интересное двухсолитонное решение возникает из-за возможности связанного поведения кинк-антикинк, известного как бризер . Известны три типа бризеров: стоячие бризеры , перемещающиеся бризеры большой амплитуды и перемещающиеся бризеры малой амплитуды .

Решение для стоячего бризера определяется выражением $$\varphi (x,t)=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right).$$

Стоячий бризер представляет собой колеблющийся связанный солитон кинк-антикинк.

Подвижный бризер большой амплитуды .

Подвижный бризер малой амплитуды – выглядит экзотично, но по сути имеет бризерную оболочку.

3-солитонные решения

Трехсолитонные столкновения бегущего кинка и стоячего бризера или бегущего антикинка и стоячего бризера приводят к сдвигу фазы стоячего бризера. В процессе столкновения движущегося кинка со стоячим бризером смещение дыхательного аппарата $\Delta _{\text{B}}$ дается

$\Delta _{\text{B}}={\frac {2\operatorname {artanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2})}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}},$

где $v_{\text{K}}$ - скорость кинка, а $\omega$ – частота бризера. Если старое положение стоячего сапуна $x_{0}$, после столкновения новое положение будет $x_{0}+\Delta _{\text{B}}$.

Столкновение движущегося кинка и стоячего бризера .

Столкновение движущегося антикинка и стоячего бризера .

Преобразование Бэклунда

Смотрите также: преобразование Беклунда

Предположим, что $\varphi$ является решением уравнения синус-Гордон

$\varphi _{uv}=\sin \varphi .\,$

Тогда система

${\begin{aligned}\psi _{u}&=\varphi _{u}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {\psi +\varphi }{2}}{\Bigr )}\\\psi _{v}&=-\varphi _{v}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {\psi -\varphi }{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!$

где a — произвольный параметр, разрешимо для функции $\psi$ которое также будет удовлетворять уравнению синус-Гордон. Это пример автопреобразования Беклунда, поскольку оба $\varphi$ и $\psi$ являются решениями одного и того же уравнения, то есть уравнения синус-Гордон.

Используя матричную систему, также можно найти линейное преобразование Беклунда для решений уравнения синус-Гордон.

Например, если $\varphi$ это тривиальное решение $\varphi \equiv 0$, затем $\psi$ является односолитонным решением с $a$ связано с усилением, приложенным к солитону.

Топологический заряд и энергия

Топологический заряд или число витков решения. $\varphi$ является $$N={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\left[\varphi (x=\infty ,t)-\varphi (x=-\infty ,t)\right].$$ Энергия ​ раствора $\varphi$ является $$E=\int _{\mathbb {R} }dx\left({\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}+\varphi _{x}^{2})+m^{2}(1-\cos \varphi )\right)$$где добавлена ​​постоянная плотность энергии, так что потенциал неотрицательен. При этом первые два члена разложения потенциала Тейлора совпадают с потенциалом массивного скалярного поля, как упоминалось в разделе об именах; члены более высокого порядка можно рассматривать как взаимодействия.

Топологический заряд сохраняется, если энергия конечна. Топологический заряд не определяет решение, даже с точностью до повышения Лоренца. И тривиальное решение, и решение пары солитон-антисолитон имеют $N=0$.

Формулировка нулевой кривизны

Уравнение синус-Гордон эквивалентно кривизне конкретного ${\mathfrak {su}}(2)$- подключение включено $\mathbb {R} ^{2}$ быть равным нулю.

Явно, с координатами $(u,v)$ на $\mathbb {R} ^{2}$, компоненты соединения $A_{\mu }$ даны $$A_{u}={\begin{pmatrix}i\lambda &{\frac {i}{2}}\varphi _{u}\\{\frac {i}{2}}\varphi _{u}&-i\lambda \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\varphi _{u}i\sigma _{1}+\lambda i\sigma _{3},$$ $$A_{v}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi &-{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi \\{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi &{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi \end{pmatrix}}=-{\frac {1}{4\lambda }}i\sin \varphi \sigma _{2}-{\frac {1}{4\lambda }}i\cos \varphi \sigma _{3},$$ где $\sigma _{i}$ — матрицы Паули . Тогда уравнение нулевой кривизны $$\partial _{v}A_{u}-\partial _{u}A_{v}+[A_{u},A_{v}]=0$$

эквивалентно уравнению синус-Гордон $\varphi _{uv}=\sin \varphi$. Уравнение нулевой кривизны названо так, поскольку оно соответствует кривизне, равной нулю, если она определена $F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]$.

Пара матриц $A_{u}$ и $A_{v}$ также известны как пара Лакса для уравнения синус-Гордон в том смысле, что уравнение нулевой кривизны восстанавливает УЧП, а не удовлетворяет уравнению Лакса.

Связанные уравнения

The Уравнение Синха-Гордона имеет вид

$\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .$

Это уравнение Эйлера– лагранжиана Лагранжа

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .$

Другое тесно связанное уравнение — это эллиптическое уравнение синус-Гордона или евклидово уравнение синус-Гордона , определяемое формулой

$\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,$

где $\varphi$ теперь является функцией переменных x и y . Это уже не солитонное уравнение, но оно обладает многими схожими свойствами, поскольку связано с уравнением синус-Гордон аналитическим продолжением (или вращением Вика ) y = i t .

Эллиптическое уравнение Синха-Гордона можно определить аналогичным образом.

Другое подобное уравнение происходит из уравнения Эйлера – Лагранжа теории поля Лиувилля.

$$\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=2e^{2\varphi }.$$

Обобщение даёт теория поля Тоды . Точнее, теория поля Лиувилля - это теория поля Тоды для конечной алгебры Каца – Муди. ${\mathfrak {sl}}_{2}$, а sin(h)-Гордон — это теория поля Тоды для аффинной алгебры Каца–Муди ${\hat {\mathfrak {sl}}}_{2}$.

Бесконечный объём и на полустрочке

Можно также рассмотреть модель синус-Гордона на окружности: на отрезке линии или на полупрямой. Можно найти граничные условия, сохраняющие интегрируемость модели. На полупрямой спектр содержит граничные связанные состояния . помимо солитонов и бризеров

Квантовая модель синус-Гордона

В квантовой теории поля модель синус-Гордона содержит параметр, который можно отождествить с постоянной Планка . Спектр частицы состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа бризеров . Количество бризеров зависит от значения параметра. Многочастичное производство прекращается на массовой оболочке.

Квазиклассическое квантование модели синус-Гордон было выполнено Людвигом Фаддеевым и Владимиром Корепиным . Точную квантовую матрицу рассеяния открыл Александр Замолодчиков . Эта модель S-двойственна , модели Тирринга открытой Коулманом . Иногда это называют соответствием Коулмана и служит примером соответствия бозон-фермион во взаимодействующем случае. В этой статье также показано, что константы, появляющиеся в модели, хорошо ведут себя при перенормировке : есть три параметра $\alpha _{0},\beta$ и $\gamma _{0}$. Коулман показал $\alpha _{0}$ получает только мультипликативную поправку, $\gamma _{0}$ получает только аддитивную поправку, и $\beta$ не перенормируется. Далее, для критического, ненулевого значения $\beta ={\sqrt {4\pi }}$Фактически эта теория двойственна свободной массивной теории поля Дирака .

Квантовое уравнение синус-Гордона следует изменить так, чтобы экспоненты стали вершинными операторами.

${\mathcal {L}}_{QsG}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}-\alpha (V_{\beta }+V_{-\beta })$

с $V_{\beta }=:e^{i\beta \varphi }:$, где точки с запятой обозначают нормальный порядок . Включен возможный массовый термин.

Режимы перенормируемости

Для разных значений параметра $\beta ^{2}$, свойства перенормируемости теории синус-Гордон изменяются. Идентификация этих режимов приписывается Юргу Фрелиху .

режим Конечный ​ $\beta ^{2}<4\pi$, где не нужны никакие контрчлены , чтобы сделать теорию корректной. режим Сверхперенормируемый ​ $4\pi <\beta ^{2}<8\pi$, где для корректности теории необходимо конечное число контрчленов. Для каждого порога необходимо больше контрусловий. ${\frac {n}{n+1}}8\pi$ прошедший. Для $\beta ^{2}>8\pi$, теория становится нечеткой (Coleman 1975 ). Граничные значения: $\beta ^{2}=4\pi$ и $\beta ^{2}=8\pi$, которые являются соответственно точкой свободного фермиона, поскольку теория двойственна свободному фермиону посредством соответствия Коулмана, и самодуальной точкой, где вершинные операторы образуют sl ₂ аффинную подалгебру , и теория становится строго перенормируемой (перенормируемой, но не сверхперенормируемый).

Стохастическая модель синус-Гордона

Стохастическая . или динамическая модель синус-Гордона изучалась Мартином Хайрером и Хао Шеном позволяя доказать эвристические результаты квантовой теории синус-Гордона в статистических условиях.

Уравнение $$\partial _{t}u={\frac {1}{2}}\Delta u+c\sin(\beta u+\theta )+\xi ,$$ где $c,\beta ,\theta$ являются действительными константами, а $\xi$ это пространственно-временной белый шум . Размерность пространства фиксирована равной 2. При доказательстве существования решений пороги $\beta ^{2}={\frac {n}{n+1}}8\pi$ снова играют роль в определении сходимости определенных терминов.

Суперсимметричная модель синус-Гордона

Также существует суперсимметричное расширение модели синус-Гордон. Также можно найти сохраняющие интегрируемость граничные условия для этого расширения.

Физические приложения

Модель синус-Гордон возникает как континуальный предел модели Френкеля – Конторовой, которая моделирует кристаллические дислокации.

Динамика в длинных джозефсоновских переходах хорошо описывается уравнениями синус-Гордон и, наоборот, представляет собой полезную экспериментальную систему для изучения модели синус-Гордон.

Модель синус-Гордона находится в том же классе универсальности что и эффективное действие для кулоновского газа вихрей , и антивихрей в непрерывной классической модели XY , которая является моделью магнетизма. Таким образом, переход Костерлица – Таулеса для вихрей может быть получен на основе ренормгруппового анализа теории поля синус-Гордон.

Уравнение синус-Гордон также возникает как формальный предел континуума другой модели магнетизма, квантовой модели Гейзенберга , в частности модели XXZ.

См. также

• Эффект Джозефсона
• поток
• Форма волн

Внешние ссылки

• уравнение синус-Гордона в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнение Синха-Гордона в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнение синуса-Гордона. Архивировано 16 марта 2012 г. в Wayback Machine в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.