Модель Френкеля – Конторовой

Модель Френкеля-Конторовой ( ФК ) является фундаментальной моделью низкоразмерной нелинейной физики.

Обобщенная модель ФК описывает цепочку классических частиц с взаимодействиями ближайших соседей, подвергнутых периодическому локальному потенциалу подложки. В своей исходной и простейшей форме взаимодействия считаются гармоническими , а потенциал синусоидальным с периодичностью, соизмеримой с равновесным расстоянием между частицами. Различные варианты взаимодействия и потенциалов субстрата, а также включение движущей силы могут описать широкий спектр различных физических ситуаций.

Модель ФК , первоначально предложенная Яковом Френкелем и Татьяной Конторовой в 1938 году для описания структуры и динамики кристаллической решетки вблизи ядра дислокации , стала одной из стандартных моделей в физике конденсированного состояния благодаря ее применимости для описания многих физических явлений. явления. Физические явления, которые можно моделировать с помощью модели ФК, включают дислокации, динамику слоев адсорбата на поверхностях, краудионы, доменные границы в магнитоупорядоченных структурах, длинные джозефсоновские контакты , цепи с водородными связями и цепи типа ДНК. Модификация модели ФК — модель Томлинсона — играет важную роль в области трибологии .

Уравнения стационарных конфигураций модели ФК сводятся к уравнениям стандартного отображения или отображения Чирикова – Тейлора стохастической теории.

В приближении континуального предела модель ФК сводится к точно интегрируемому уравнению синус-Гордона (СГ), которое допускает солитонные решения. По этой причине модель ФК также известна как «дискретное синус-Гордон» или «периодическое уравнение Клейна – Гордона ».

История

Простая модель гармонической цепи в периодическом потенциале подложки была предложена Ульрихом Делингером в 1928 году. Делингер вывел приближенное аналитическое выражение для устойчивых решений этой модели, которые он назвал Verhakungen , которые соответствуют тому, что сегодня называют парами изломов . По сути аналогичная модель была разработана Людвигом Прандтлем в 1912/13 году, но не публиковалась до 1928 года.

Модель была независимо предложена Яковом Френкелем и Татьяной Конторовой в их статье 1938 года « О теории пластической деформации и двойникования» для описания динамики кристаллической решетки вблизи дислокации и для описания двойникования кристаллов . В стандартной линейной гармонической цепочке любое смещение атомов приведет к появлению волн, и единственной устойчивой конфигурацией будет тривиальная. Для нелинейной цепочки Френкеля и Конторовой помимо тривиальной существуют устойчивые конфигурации. При малых атомных смещениях ситуация напоминает линейную цепочку; однако при достаточно больших смещениях можно создать движущуюся одиночную дислокацию, для чего Френкель и Конторова получили аналитическое решение. Форма этих дислокаций определяется только такими параметрами системы, как масса и упругая постоянная пружин.

Дислокации, также называемые солитонами , представляют собой распределенные нелокальные дефекты и математически являются разновидностью топологического дефекта . Определяющей характеристикой солитонов/дислокаций является то, что они ведут себя во многом как стабильные частицы: они могут двигаться, сохраняя при этом свою общую форму. Два солитона одинаковой и противоположной ориентации могут аннигилировать при столкновении, но одиночный солитон не может самопроизвольно аннигилировать.

Обобщенная модель

Обобщенная модель ФК рассматривает одномерную цепочку атомов с взаимодействием ближайших соседей в периодическом локальном потенциале, гамильтониан для этой системы равен

${\mathcal {H}}={\frac {m_{a}}{2}}\sum _{n}\left({\frac {dx_{n}}{dt}}\right)^{2}+U,$ ( 1 )

где первый член представляет собой кинетическую энергию $n$ атомы массы $m_{a}$, а потенциальная энергия $U$ представляет собой сумму потенциальной энергии взаимодействия ближайших соседей и потенциала подложки: $U=U_{\text{sub}}+U_{\text{int}}$.

Потенциал подложки является периодическим, т.е. $U_{\text{sub}}(x+a_{s})=U_{\text{sub}}(x)$ для некоторых $a_{s}$.

Для негармонических взаимодействий и/или несинусоидального потенциала модель ФК приведет к фазовому переходу соразмерно-несоизмеримо.

Модель ФК может быть применена к любой системе, которую можно рассматривать как две связанные подсистемы, где одну подсистему можно аппроксимировать линейной цепью, а вторую подсистему - потенциалом неподвижной подложки.

Примером может служить адсорбция слоя на поверхности кристалла, здесь адсорбционный слой можно аппроксимировать цепочкой, а поверхность кристалла - потенциалом на месте.

Классическая модель

В этом разделе мы подробно рассмотрим простейшую форму модели ФК. Подробную версию этого вывода можно найти в литературе. Модель описывает одномерную цепочку атомов с гармоническим взаимодействием ближайших соседей и подчиненную синусоидальному потенциалу. Поперечное движение атомов не учитывается, т.е. атомы могут двигаться только вдоль цепочки. Гамильтониан для этой ситуации имеет вид 1 , где мы указываем потенциал взаимодействия как

$U_{\text{int}}={\frac {g}{2}}\sum _{n}(x_{n+1}-x_{n}-a_{0})^{2},$

где $g$ - упругая постоянная, а $a_{0}$ – межатомное равновесное расстояние. Потенциал субстрата

$U_{\text{sub}}={\frac {\epsilon _{s}}{2}}\sum _{n}\left[1-\cos {\frac {2\pi x_{n}}{a_{s}}}\right],$

с $\epsilon _{s}$ будучи амплитудой, и $a_{s}$ период.

Для переписывания гамильтониана вводятся следующие безразмерные переменные:

$x_{n}\to \left({\frac {2\pi }{a_{s}}}\right)x_{n},\quad t\to \left({\frac {2\pi }{a_{s}}}\right){\sqrt {\frac {\epsilon _{s}}{2m_{a}}}}t,\quad a_{0}\to {\frac {2\pi }{a_{s}}},\quad g\to g{\frac {a_{s}/2\pi ^{2}}{\epsilon _{s}/2}}.$

В безразмерной форме гамильтониан равен

$H={\frac {\mathcal {H}}{\epsilon _{s}/2}}=\sum _{n}\left[{\frac {1}{2}}{\frac {dx_{n}}{dt}}^{2}+\left(1-\cos x_{n}+{\frac {1}{2}}g(x_{n+1}-x_{n}-a_{0})^{2}\right)\right],$

которая описывает гармоническую цепочку атомов единичной массы в синусоидальном потенциале периода $a_{s}=2\pi$ с амплитудой $\epsilon _{s}=2$. Уравнение движения для этого гамильтониана имеет вид

${\frac {d^{2}x_{n}}{dt^{2}}}+\sin x_{n}-g(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_{n})=0.$

Мы рассматриваем только случай, когда $a_{0}$ и $a_{s}$ соизмеримы, для простоты примем $a_{0}=a_{s}$. Таким образом, в основном состоянии цепочки каждый минимум потенциала подложки занят одним атомом. Вводим переменную $u_{n}$ для атомных смещений, которое определяется формулой

$x_{n}=na_{s}+u_{n}.$

Для небольших перемещений $u_{n}\ll a_{s}$ уравнение движения может быть линеаризовано и принимает следующий вид:

${\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}+u_{n}-g(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n})=0.$

Это уравнение движения описывает фононы с $u_{n}\propto \exp[i(\omega _{\text{ph}}(\kappa )t-\kappa n)]$ с законом дисперсии фононов $\omega _{\text{ph}}^{2}(\kappa )=\omega _{\text{min}}^{2}+2g(1-\cos \kappa )$ с безразмерным волновым числом $|\kappa |\leq \pi$. Это показывает, что частотный спектр цепочки имеет запрещенную зону $\omega _{\text{min}}\equiv \omega _{\text{ph}}(0)=1$ с частотой среза $\omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{ph}}(\pi )={\sqrt {\omega _{\text{min}}^{2}+4g}}$.

Линеаризованное уравнение движения неприменимо, когда смещения атомов не малы, и приходится использовать нелинейное уравнение движения. Нелинейные уравнения могут поддерживать новые типы локализованных возбуждений, которые лучше всего проиллюстрированы при рассмотрении непрерывного предела модели ФК. Применение стандартной процедуры Розенау для вывода уравнений непрерывного предела из дискретной решетки приводит к возмущенному уравнению синус-Гордона

$u_{tt}+\sin u-(a_{s}^{2}g)u_{xx}=\epsilon f(u),$

где функция

$\epsilon f(u)={\frac {1}{12}}a_{s}^{2}(u_{xxtt}+u_{x}^{2}\sin u-u_{xx}\cos u)$

описывает в первом порядке эффекты, обусловленные дискретностью цепочки.

Пренебрегая эффектами дискретности и вводя $x\to {\frac {x}{a_{s}{\sqrt {g}}}}$ сводит уравнение движения к уравнению синус-Гордона (СГ) в его стандартной форме

$u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0.$

Уравнение СГ порождает три элементарных возбуждения/решения: кинки , бризеры и фононы .

Кинки, или топологические солитоны, можно понимать как решение, соединяющее два ближайших одинаковых минимума периодического потенциала подложки, таким образом, они являются результатом вырождения основного состояния. Эти решения

$u_{\text{k}}(x,t)=4\tan ^{-1}(\exp[-\sigma \gamma (v)(x-vt)]),$

где $\sigma =\pm 1$ является топологическим зарядом. Для $\sigma =1$ решение называется кинком , а для $\sigma =-1$ это антикинк . Ширина излома $\gamma$ определяется скоростью излома $v$, где $v$ измеряется в единицах скорости звука $c$ и есть $\gamma (v)=1/{\sqrt {1-v^{2}}}$. Для движения излома с $v^{2}\ll c^{2}$, ширина приближается к 1. Энергия кинка в безразмерных единицах равна

$E_{\text{k}}=mc^{2}\gamma (v)\approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2},$

откуда следует масса покоя кинка как $m={\frac {2}{\pi ^{2}{\sqrt {g}}}}$, а изломы сохраняют энергию как $\epsilon _{\text{k}}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}$.

Два соседних статических излома на расстоянии $R$ иметь энергию отталкивания

$v_{\text{int}}\approx \epsilon _{\text{k}}\sinh ^{-2}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt {g}}}},$

тогда как кинк и антикинк притягиваются при взаимодействии

$v_{\text{int}}(R)\approx -\epsilon _{\text{k}}\cosh ^{-2}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt {g}}}}.$

Передышка - это

$u_{\text{br}}(x,t)=4\tan ^{-1}\left[{\frac {\sqrt {1-\Omega ^{2}}}{\Omega }}{\frac {\sin(\Omega t)}{\cosh(x{\sqrt {1-\Omega ^{2}}})}}\right],$

которое описывает нелинейные колебания с частотой $\Omega$, с $0<\Omega <\omega _{\text{min}}$.

Энергия покоя дыхания

$\epsilon _{\text{br}}=2\epsilon _{\text{k}}{\sqrt {1-\Omega ^{2}}}.$

Для низких частот $\Omega \ll 1$ бризер можно рассматривать как связанную пару кинк-антикинк. Кинки и бризеры могут перемещаться по цепи без каких-либо диссипативных потерь энергии. Более того, любое столкновение между всеми возбуждениями уравнения СГ приводит только к фазовому сдвигу. Таким образом, кинки и бризеры можно рассматривать как нелинейные квазичастицы модели СГ. Для почти интегрируемых модификаций уравнения СГ, таких как континуальное приближение модели ФК, кинки можно считать деформируемыми квазичастицами, при условии, что эффекты дискретности малы.

Потенциал Пайерлса – Набарро

Стационарная конфигурация модели ФК для одного излома. Верхнее изображение соответствует стабильной конфигурации. Нижнее изображение соответствует нестабильной конфигурации.

В предыдущем разделе возбуждения модели ФК были получены путем рассмотрения модели в приближении непрерывного предела. Поскольку свойства кинков лишь незначительно изменяются из-за дискретности первичной модели, уравнение СГ может адекватно описывать большинство особенностей и динамики системы.

Однако дискретная решетка влияет на движение кинка уникальным образом благодаря существованию потенциала Пайерлса – Набарро (ПН). $V_{\text{PN}}(X)$, где $X$ – положение центра кинка. Существование ПН-потенциала обусловлено отсутствием трансляционной инвариантности в дискретной цепи. В континуальном пределе система инвариантна при любом перемещении излома вдоль цепи. Для дискретной цепочки учитываются только те трансляции, которые кратны шагу решетки. $a_{s}$ оставить систему неизменной. Барьер ПН, $E_{\text{PN}}$, — это наименьший энергетический барьер, который должен преодолеть кинк, чтобы он мог пройти через решетку. Величина PN-барьера представляет собой разность потенциальной энергии кинка для устойчивой и неустойчивой стационарной конфигурации. Стационарные конфигурации схематически показаны на рисунке.