Уравнение Кортевега – Де Фриза

Кноидальное волновое решение уравнения Кортевега – Де Фриза в терминах квадрата эллиптической функции Якоби cn (и со значением параметра m = 0,9 ).

Численное решение уравнения КдВ u _t + u u _x + δ ² ты _{Икс Икс знак} равно 0 ( δ знак равно 0,022 ) с начальным условием ты ( Икс , 0) = cos(π x ) . Эволюция во времени осуществлялась по схеме Забуски-Краскала. Исходная косинусоидальная волна эволюционирует в цуг волн уединенного типа.

Двухсолитонное решение уравнения КдВ

В математике уравнение Кортевега -Де Фриза (КдВ) представляет собой уравнение в частных производных (ЧДУ), которое служит математической моделью волн на мелководных поверхностях. Он особенно примечателен как прототипный пример интегрируемого УЧП и демонстрирует многие из ожидаемых для интегрируемого УЧП поведения, такие как большое количество явных решений, в частности солитонных решений, и бесконечное количество сохраняющихся величин , несмотря на нелинейность, которая обычно делает PDE неразрешимыми. КдВ можно решить методом обратной задачи рассеяния (МОМ). Фактически Гарднер , Грин , Краскал и Миура разработали классический метод обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдВ.

Уравнение КдВ было впервые введено Буссинеском ( 1877 , сноска на стр. 360) и заново открыто Дидериком Кортевегом и Густавом де Фрисом в 1895 году, которые нашли простейшее решение — односолитонное решение. Пониманию уравнения и поведения решений значительно способствовало компьютерное моделирование Забуски и Краскала в 1965 году, а затем разработка обратного преобразования рассеяния в 1967 году.

Определение

Уравнение КдВ представляет собой уравнение в частных производных , которое моделирует (пространственно) одномерные нелинейные дисперсионные недиссипативные волны , описываемые функцией $\phi (x,t)$ придерживаясь:

$\partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi -6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,\quad x\in \mathbb {R} ,\;t\geq 0,$

где $\partial _{x}^{3}\phi$ учитывает дисперсию и нелинейный элемент $\phi \partial _{x}\phi$ это адвективный термин.

Для моделирования волн на мелководье $\phi$ – смещение поверхности воды по высоте от ее равновесной высоты.

Константа $6$ перед последним членом условно, но не имеет большого значения: умножение $t$, $x$, и $\phi$ константами можно использовать, чтобы сделать коэффициенты любого из трех членов равными любым заданным ненулевым константам.

Солитонные решения

Односолитонное решение

Рассмотрим решения, в которых фиксированная форма волны (задаваемая формулой $f(X)$) сохраняет свою форму при движении вправо с фазовой скоростью $c$. Такое решение дает $\varphi (x,t)=f(x-ct-a)=f(X)$. Подстановка его в уравнение КдВ дает обыкновенное дифференциальное уравнение

$-c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}-6f{\frac {df}{dX}}=0,$

или, интегрируя по $X$,

$-cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}-3f^{2}=A$

где $A$является константой интегрирования . Интерпретация независимой переменной $X$ выше как переменная виртуального времени, это означает $f$ удовлетворяет уравнению Ньютона движения частицы единичной массы в кубическом потенциале

$V(f)=-\left(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af\right)$.

Если

$A=0,\,c>0$

тогда потенциальная функция $V(f)$ имеет локальный максимум при $f=0$; есть решение, в котором $f(X)$ начинается в этот момент в «виртуальном времени» $-\infty$, в конечном итоге соскальзывает вниз до локального минимума , затем возвращается на другую сторону, достигая равной высоты, а затем меняет направление на противоположное, снова оказываясь на локальном максимуме за раз $\infty$. Другими словами, $f(X)$ подходы $0$ как $X\to -\infty$. Это характерная форма решения уединенной волны .

Точнее, решение

$\phi (x,t)=-{\frac {1}{2}}\,c\,\operatorname {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2}(x-c\,t-a)\right]$

где $\operatorname {sech}$ обозначает гиперболический секанс и $a$ — произвольная константа. Это описывает правосторонний солитон со скоростью $c$.

N-солитонное решение

Известно выражение для решения, которое представляет собой $N$-солитонное решение, которое на поздних временах распадается на $N$ отдельные одиночные солитоны. Решение зависит от убывающего положительного набора параметров $\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0$ и ненулевой набор параметров $\beta _{1},\cdots ,\beta _{N}$. Решение дается в виде

$$\phi (x,t)=-2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\mathrm {log} [\mathrm {det} A(x,t)]$$

где компоненты матрицы $A(x,t)$ даны $A_{nm}(x,t)=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}e^{8\chi _{n}^{3}t}e^{-(\chi _{n}+\chi _{m})x}}{\chi _{n}+\chi _{m}}}.$

Это получено с использованием метода обратного рассеяния.

Интегралы движения

Уравнение КдВ имеет бесконечное число интегралов движения , которые не меняются со временем. Они могут быть заданы явно как

$\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,$

где многочлены $P_{n}$ определяются рекурсивно

${\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ for }}n\geq 2.\end{aligned}}$

Первые несколько интегралов движения:

• масса $\int \phi \,\mathrm {d} x,$
• импульс $\int \phi ^{2}\,\mathrm {d} x,$
• энергия $\int \left[2\phi ^{3}-\left(\partial _{x}\phi \right)^{2}\right]\,\mathrm {d} x$.

Только нечетные члены $P_{2n+1}$ приводят к нетривиальным (то есть ненулевым) интегралам движения.

Слабые пары

Уравнение КдВ

$\partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi$

можно переформулировать как уравнение Лакса

$L_{t}=[L,A]\equiv LA-AL\,$

с $L$ оператор Штурма –Лиувилля :

${\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-6\phi \,\partial _{x}-3\partial _{x}\phi \end{aligned}}$

и этим объясняется бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ.

Фактически, $L$ — независимый от времени оператор Шредингера (без учета констант) с потенциалом $\phi (x,t)$. Можно показать, что благодаря этой формулировке Лакса собственные значения фактически не зависят от $t$.

Представление нулевой кривизны

Настройка компонентов соединения Lax для

$$L_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\\phi -\lambda &0\end{pmatrix}},L_{t}={\begin{pmatrix}-\phi _{x}&2\phi +4\lambda \\2\phi ^{2}-\phi _{xx}+2\phi \lambda -4\lambda ^{2}&\phi _{x}\end{pmatrix}},$$

уравнение КдВ эквивалентно уравнению нулевой кривизны для связности Лакса,

$$\partial _{t}L_{x}-\partial _{x}L_{t}+[L_{x},L_{t}]=0.$$

Принцип наименьшего действия

Уравнение Кортевега – Де Фриза.

$\partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,$

— Эйлера–Лагранжа, уравнение движения полученное из плотности лагранжиана , ${\mathcal {L}}\,$

${\mathcal {L}}:={\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \,\partial _{t}\psi +\left(\partial _{x}\psi \right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{x}^{2}\psi \right)^{2}$ ( 1 )

с $\phi$ определяется

$\phi :={\frac {\partial \psi }{\partial x}}.$

показывать

Вывод уравнений Эйлера–Лагранжа.

Since the Lagrangian (eq (1)) contains second derivatives, the Euler–Lagrange equation of motion for this field is

$\partial _{\mu \mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu \mu }\psi )}}\right)-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.$ (2)

where $\partial$ is a derivative with respect to the $\mu$ component.

A sum over $\mu$ is implied so eq (2) really reads,

$\partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)+\partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)-\partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)-\partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.$ (3)

Evaluate the five terms of eq (3) by plugging in eq (1),

$\partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)=0$

$\partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)=\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)$

$\partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)$

$\partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)=\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)\,$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0$

Remember the definition $\phi =\partial _{x}\psi$, so use that to simplify the above terms,

$\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)=-\partial _{xxx}\phi$

$\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi$

$\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +3\partial _{x}(\phi )^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi$

Finally, plug these three non-zero terms back into eq (3) to see

$\left(-\partial _{xxx}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \right)=0,$

which is exactly the KdV equation

$\partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0.$

Долговременная

Можно показать, что любое достаточно быстро затухающее гладкое решение в конечном итоге распадется на конечную суперпозицию солитонов, движущихся вправо, и затухающей дисперсионной части, движущейся влево. Это было впервые обнаружено Забуски и Крускалом (1965) и может быть строго доказано с помощью нелинейного анализа наискорейшего спуска для колебательных задач Римана – Гильберта .

История

История уравнения КдВ началась с экспериментов Джона Скотта Рассела в 1834 году, за которыми последовали теоретические исследования лорда Рэлея и Джозефа Буссинеска около 1870 года и, наконец, Кортевега и де Фриза в 1895 году.

Уравнение КдВ после этого особо не изучалось, пока Забуски и Крускал (1965) численно не обнаружили, что его решения, по-видимому, на больших временах распадаются на набор «солитонов»: хорошо разделенных уединенных волн. Более того, форма солитонов, по-видимому, практически не меняется при прохождении друг через друга (хотя это может привести к изменению их положения). Они также установили связь с более ранними численными экспериментами Ферми, Пасты, Улама и Цингоу, показав, что уравнение КдВ является континуальным пределом системы FPUT . Разработка аналитического решения с помощью обратного преобразования рассеяния была сделана в 1967 году Гарднером, Грином, Краскалом и Миурой.

Теперь видно, что уравнение КдВ тесно связано с принципом Гюйгенса .

Приложения и связи

Уравнение КдВ имеет несколько связей с физическими проблемами. Помимо того, что оно является основным уравнением струны в задаче Ферми-Пасты-Улама-Цингу в пределе континуума, оно приблизительно описывает эволюцию длинных одномерных волн во многих физических условиях, в том числе:

• мелководные волны со слабонелинейными возвращающими силами,
• длинные внутренние волны в стратифицированном по плотности океане ,
• ионно-звуковые волны в плазме ,
• акустические волны на кристаллической решетке .

Уравнение КдВ также можно решить, используя преобразование обратного рассеяния , подобное тому, которое применяется к нелинейному уравнению Шредингера .

Уравнение КдВ и уравнение Гросса–Питаевского

Рассматривая упрощенные решения вида

$\phi (x,t)=\phi (x\pm t)$

получим уравнение КдВ в виде

$\pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,$

или

$\pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}(\partial _{x}^{2}\phi +3\phi ^{2})=0\,$

Интегрируя и рассматривая частный случай, когда константа интегрирования равна нулю, мы имеем:

$-\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{2}=\pm \phi \,$

какой $\lambda =1$ частный случай обобщенного стационарного уравнения Гросса–Питаевского (ОПУ)

$-\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{\lambda }\phi =\pm \phi \,$

Следовательно, для определенного класса решений обобщенного ГПЭ ( $\lambda =4$ для истинного одномерного конденсата и $\lambda =2$при использовании трехмерного уравнения в одном измерении) два уравнения являются одним. Кроме того, приняв $\lambda =3$ случай со знаком минус и $\phi$ На самом деле получается притягивающее самодействие, которое должно привести к появлению яркого солитона .

Вариации

Было изучено множество различных вариантов уравнений КдВ. Некоторые из них перечислены в следующей таблице.

Имя	Уравнение
Кортевег-Де Фрис (KdV)	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+6u\partial _{x}u=0$
КдВ (цилиндрический)	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{2t}}u=0$
КдВ (деформированный)	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left({\frac {\partial _{x}^{2}u-2\eta u^{3}-3u(\partial _{x}u)^{2}}{2(\eta +u^{2})}}\right)=0$
КдВ (обобщенный)	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u=\partial _{x}^{5}u$
КдВ (обобщенный)	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0$
КдВ (модифицированный)	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u\pm 6u^{2}\partial _{x}u=0$
Уравнение Гарднера	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-(6\varepsilon ^{2}u^{2}+6u)\partial _{x}u=0$
КдВ (модифицированный модифицированный)	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-{\tfrac {1}{8}}(\partial _{x}u)^{3}+(\partial _{x}u)(Ae^{au}+B+Ce^{-au})=0$
КдВ (сферический)	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{t}}u=0$
НДС (супер)	$\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u=6u\partial _{x}u-\partial _{x}^{3}u+3w\partial _{x}^{2}w\\\partial _{t}w=3(\partial _{x}u)w+6u\partial _{x}w-4\partial _{x}^{3}w\end{cases}}$
КдВ (переходный)	$\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6f(t)u\partial _{x}u=0$
КдВ (переменные коэффициенты)	$\displaystyle \partial _{t}u+\beta t^{n}\partial _{x}^{3}u+\alpha t^{n}u\partial _{x}u=0$
Уравнение КдВ-Бюргерса	$\displaystyle \partial _{t}u+\mu \partial _{x}^{3}u+u\partial _{x}u-\nu \partial _{x}^{2}u=0$
неоднородный КдВ	$\partial _{t}u+\alpha u+\beta \partial _{x}u+\gamma \partial _{x}^{2}u=Ai(x),\quad u(x,0)=f(x)$

См. также

• Уравнение адвекции-диффузии
• Уравнение Бенджамина–Боны–Махони.
• Приближение Буссинеска (волны на воде)
• Кноидальная волна
• Дисперсия (волны на воде)
• Бездисперсионное уравнение
• Уравнение Кортевега – Де Фриза пятого порядка.
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили.
• Иерархия КдВ
• Модифицированное уравнение КдВ – Бюргерса.
• Novikov–Veselov equation
• Уравнение Пэйла
• Номер Урселла
• Векторный солитон

Ссылки

• Берест Юрий Юрьевич; Луценко, Игорь М. (1997). «Принцип Гюйгенса в пространствах Минковского и солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза». Связь в математической физике . 190 (1): 113–132. arXiv : Solv-int/9704012 . дои : 10.1007/s002200050235 . ISSN   0010-3616 .
• Буссинеск, Ж. (1877), Очерк теории текущей воды , Мемуары, представленные различными учеными в Академии акад. наук. Инст. Нат. Франция, XXIII, стр. 1–680
• Чалуб, Фабио АСС; Зубелли, Хорхе П. (2006). «Принцип Гюйгенса для гиперболических операторов и интегрируемых иерархий» (PDF) . Физика D: Нелинейные явления . 213 (2): 231–245. дои : 10.1016/j.physd.2005.11.008 .
• Дарригол, Оливье (2005). Миры потока . Оксфорд; Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-856843-8 .
• Досуа, Тьерри; Пейрар, Мишель (2006). Физика солитонов . Кембридж, Великобритания ; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-85421-0 . OCLC   61757137 .
• Дингеманс, М.В. (1997). Распространение водной волны по неровному дну . Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  981-02-0427-2 .
• Дунайский, Мацей (2009). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд; Нью-Йорк: ОУП Оксфорд. ISBN  978-0-19-857063-9 . ОСЛК   320199531 .
• Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Краскал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1967). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза». Письма о физических отзывах . 19 (19): 1095–1097. дои : 10.1103/PhysRevLett.19.1095 . ISSN   0031-9007 .
• Грюнерт, Катрин; Тешл, Джеральд (2009), «Долговременная асимптотика для уравнения Кортевега – Де Фриза посредством нелинейного наискорейшего спуска», Math. Физ. Анальный. Геом. , том. 12, нет. 3, стр. 287–324, arXiv : 0807.5041 , Bibcode : 2009MPAG...12..287G , doi : 10.1007/s11040-009-9062-2 , S2CID   8740754
• Кортевег, диджей; де Врис, Г. (1895). «XLI. Об изменении формы длинных волн, наступающих в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 39 (240): 422–443. дои : 10.1080/14786449508620739 . ISSN   1941-5982 .
• Лакс, Питер Д. (1968). «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны». Сообщения по чистой и прикладной математике . 21 (5): 467–490. дои : 10.1002/cpa.3160210503 . ISSN   0010-3640 .
• Миура, Роберт М.; Гарднер, Клиффорд С.; Краскал, Мартин Д. (1968), «Уравнение Кортевега – Де Фриза и его обобщения. II. Существование законов сохранения и констант движения», J. Math. Физ. , 9 (8): 1204–1209, Бибкод : 1968JMP.....9.1204M , doi : 10.1063/1.1664701 , MR   0252826
• Полянин Андрей Дмитриевич; Зайцев, Валентин Федорович (2003). «9.1.1. Уравнение Кортевега-де Фриза». Справочник по нелинейным уравнениям в частных производных . Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл/CRC. ISBN  978-1-58488-355-5 .
• Вакакис, Александр Ф. (2002). Нормальные режимы и локализация в нелинейных системах . Дордрехт ; Бостон: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-7923-7010-9 .
• Забуски, Нью-Джерси; Краскал, доктор медицины (1965). «Взаимодействие «солитонов» в бесстолкновительной плазме и возвратность начальных состояний». Письма о физических отзывах . 15 (6): 240–243. doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 . ISSN   0031-9007 .

Внешние ссылки

• Уравнение Кортевега – Де Фриза в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
• Цилиндрическое уравнение Кортевега – Де Фриза в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Модифицированное уравнение Кортевега – Де Фриза в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Модифицированное уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Кортевега – де Фриза» . Математический мир .
• Вывод уравнения Кортевега–Де Фриза для узкого канала.
• Трехсолитонное решение уравнения КдВ – [1]
• Три солитона (неустойчивое) Решение уравнения КдВ – [2]
• Математические аспекты уравнений типа Кортевега–Де Фриза обсуждаются на Dispersive PDE Wiki .
• Солитоны из уравнения Кортевега – Де Фриза С.М. Блиндера, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Солитоны и нелинейные волновые уравнения