Кноидальная волна

Бомбардировщики армии США пролетают над почти периодическими волнами на мелководье недалеко от побережья Панамы (1933 год). Для кноидальных волн характерны острые гребни и очень плоские впадины.

В гидродинамике кноидальная волна представляет собой нелинейное и точное периодическое волновое решение уравнения Кортевега-де Фриза . Эти решения выражены в терминах эллиптической функции Якоби cn , поэтому их называют кноидальными волнами. Они используются для описания поверхностных гравитационных волн с довольно большой длиной волны по сравнению с глубиной воды.

Решения для кноидальных волн были получены Кортевегом и де Фрисом в их статье 1895 года, в которой они также предложили свое дисперсионное уравнение для длинных волн, теперь известное как уравнение Кортевега – де Фриза. В пределе бесконечной длины волны кноидальная волна становится уединенной волной .

Уравнение Бенджамина-Боны-Махони имеет улучшенные коротковолновые характеристики по сравнению с уравнением Кортевега-де Фриза и представляет собой еще одно однонаправленное волновое уравнение с кноидальными волновыми решениями. Далее, поскольку уравнение Кортевега–де Фриза является приближением уравнений Буссинеска для случая одностороннего распространения волн , кноидальные волны являются приближенными решениями уравнений Буссинеска.

Кноидальные волновые решения могут появляться и в других приложениях, помимо поверхностных гравитационных волн, например, для описания ионно-звуковых волн в физике плазмы .

Кноидальная волна, характеризующаяся более острыми гребнями и более пологими впадинами , чем синусоидальная волна . Для показанного случая эллиптический параметр равен m = 0,9.

Пересекающиеся волны , состоящие из околокноидальных цугов волн. Фотография сделана с Phares des Baleines (Китовый маяк) в западной точке Иль-де-Ре (остров Ре), Франция, в Атлантическом океане .

Фон

Уравнения Кортевега–де Фриза и Бенджамина–Боны–Махони.

По мнению Ле Мехо (1976), обоснованность нескольких теорий периодических волн на воде. Голубая область показывает диапазон применимости теории кноидальных волн; светло-желтый для теории волн Эйри ; а пунктирные синие линии разграничивают требуемый порядок в волновой теории Стокса . Светло-серая штриховка дает расширение дальности за счет численных аппроксимаций с использованием теории функции тока пятого порядка для высоких волн ( H > ⁠ 1/4 ⁠ ( H разрыв ₎ .

Уравнение Кортевега-де Фриза (уравнение КдВ) можно использовать для описания однонаправленного распространения слабо нелинейных и длинных волн (где длинные волны означают: наличие длинных волн по сравнению со средней глубиной воды) поверхностных гравитационных волн на жидкости. слой. Уравнение КдВ представляет собой дисперсионное волновое уравнение, включающее как частотной , так и амплитудной эффекты дисперсии. В классическом использовании уравнение КдВ применимо для длин волн λ, примерно в пять раз превышающих среднюю глубину воды h , то есть для λ > 5 h ; и за период τ больший, чем $\scriptstyle 7{\sqrt {h/g}}$ с g сила гравитационного ускорения . Чтобы представить себе положение уравнения КдВ в рамках классических волновых приближений, оно отличается следующими способами:

• Уравнение Кортевега – де Фриза — описывает распространение вперед слабо нелинейных и дисперсионных волн для длинных волн с λ > 7 ч .
• Уравнения мелкой воды также нелинейны и имеют амплитудную дисперсию, но не частотную дисперсию; они справедливы для очень длинных волн, λ > 20 ч .
• Уравнения Буссинеска — имеют ту же область действия, что и уравнение КдВ (в их классической форме), но допускают распространение волн в произвольных направлениях, а не только волн, распространяющихся вперед. Недостаток заключается в том, что уравнения Буссинеска зачастую труднее решить, чем уравнение КдВ; и во многих приложениях отражения волн малы, и ими можно пренебречь.
• Теория волн Эйри - имеет полную частотную дисперсию, поэтому справедлива для произвольной глубины и длины волны, но представляет собой линейную теорию без амплитудной дисперсии, ограниченную волнами малой амплитуды.
• Волновая теория Стокса - подход к описанию слабо нелинейных и дисперсионных волн, основанный на рядах возмущений, особенно успешный на большей глубине для относительно коротких длин волн по сравнению с глубиной воды. Однако для длинных волн часто предпочтительнее подход Буссинеска, который также применяется в уравнении КдВ. Это связано с тем, что на мелководье ряд возмущений Стокса нуждается во многих членах, прежде чем он сойдется к решению, из-за остроконечных гребней и длинных плоских впадин нелинейных волн. В то время как модели КдВ или Буссинеска дают хорошие аппроксимации для этих длинных нелинейных волн.

Уравнение КдВ можно вывести из уравнений Буссинеска, но необходимы дополнительные предположения, чтобы можно было выделить распространение прямой волны. Для практических приложений уравнение Бенджамина-Боны-Махони (уравнение BBM) предпочтительнее уравнения КдВ, модели прямого распространения, аналогичной КдВ, но с гораздо лучшим поведением частотной дисперсии на более коротких длинах волн. Дальнейшие улучшения характеристик на коротких волнах можно получить, начав выводить одностороннее волновое уравнение на основе современной улучшенной модели Буссинеска, справедливого для еще более коротких волн.

Кноидальные волны

Кноидальные профили волн для трех значений эллиптического параметра m .

синий	: м = 0,
красный	: m = 0,9 и
черный	: м = 0,99999.

Кноидальные волновые решения уравнения КдВ были представлены Кортевегом и де Фрисом в их статье 1895 года, которая основана на докторской диссертации де Фриза 1894 года. Уединенные волновые решения для нелинейных и дисперсионных длинных волн были найдены ранее Буссинеском в 1872 году и Рэлеем в 1876 году. Поиск этих решений был вызван наблюдениями этой уединенной волны (или «волны перевода») Расселом , как в природе и в лабораторных экспериментах. Кноидальные волновые решения уравнения КдВ устойчивы по отношению к малым возмущениям.

Высота поверхности η ( x , t ) как функция горизонтального положения x и времени t для кноидальной волны определяется выражением:

$\eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle 2\,K(m)\,{\frac {x-c\,t}{\lambda }}&m\end{array}}\right),$

где H — высота волны , λ — длина волны , c — фазовая скорость и η ₂ — высота впадины . Далее cn — одна из эллиптических функций Якоби , а K ( m ) — полный эллиптический интеграл первого рода ; оба зависят от эллиптического параметра m . Последний m определяет форму кноидальной волны. При m, равном нулю, кноидальная волна становится косинусоидальной , а при значениях, близких к единице, кноидальная волна приобретает остроконечные гребни и (очень) плоские впадины. Для значений m меньше 0,95 кноидальная функция может быть аппроксимирована тригонометрическими функциями.

Важным безразмерным параметром для нелинейных длинных волн ( λ ≫ h ) является параметр Урселла :

$U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {H}{h}}\,\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}.$

Для небольших значений U , скажем, U <5, можно использовать линейную теорию, а при более высоких значениях необходимо использовать нелинейные теории, такие как теория кноидальных волн. Зона разграничения между теориями Стокса третьего и пятого порядка и кноидальной волновой теорией находится в диапазоне 10–25 параметра Урселла. Как видно из формулы для параметра Урселла, для заданной относительной высоты волны H / h параметр Урселла – а значит, и нелинейность – быстро растет с увеличением относительной длины волны λ / h .

На основе анализа полной нелинейной задачи о поверхностных гравитационных волнах в рамках теории потенциального потока указанные выше кноидальные волны можно рассматривать как член низшего порядка в ряду возмущений. Теории кноидальных волн более высокого порядка остаются справедливыми для более коротких и более нелинейных волн. Теория кноидальных волн пятого порядка была разработана Фентоном в 1979 году. Подробное описание и сравнение теорий Стокса пятого порядка и кноидальной волновой теории пятого порядка даны в обзорной статье Фентона.

Описания кноидальных волн посредством перенормировки также хорошо подходят для волн на глубокой воде, даже на бесконечной глубине; как обнаружил Кламонд. Описание взаимодействия кноидальных волн на мелкой воде, наблюдаемых в реальных морях, было предоставлено Осборном в 1994 году.

Поверхностное натяжение

Если эффекты поверхностного натяжения (также) важны, их можно включить в решения для кноидальных волн для длинных волн.

Периодические волновые решения

Уравнение Кортевега – де Фриза

Уравнение Кортевега – де Фриза (уравнение КдВ), используемое для волн на воде и в размерной форме, имеет вид:

$\partial _{t}\eta +{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\;\eta \,\partial _{x}\eta +{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}^{3}\eta =0,$

где

или	: высота поверхности , функция x и t , с положительным направлением вверх (против силы тяжести),
х	: горизонтальная координата,
т	: время,
г	: величина гравитации Земли ,
час	: средняя глубина воды и
∂ x и ∂ t	: операторы частных производных по x и t .

show

  Подробности вывода

Non-dimensionalisation

All quantities can be made dimensionless using the gravitational acceleration g and water depth h:

${\tilde {\eta }}={\frac {\eta }{h}},$   ${\tilde {x}}={\frac {x}{h}}$   and   ${\tilde {t}}={\sqrt {\frac {g}{h}}}\,t.$

The resulting non-dimensional form of the KdV equation is

$\partial _{\tilde {t}}{\tilde {\eta }}+\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {3}{2}}\,{\tilde {\eta }}\,\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{\tilde {x}}^{3}{\tilde {\eta }}=0,$

In the remainder, the tildes will be dropped for ease of notation.

Relation to a standard form

The form

$\partial _{\hat {t}}\phi +6\,\phi \ \partial _{\hat {x}}\phi +\partial _{\hat {x}}^{3}\phi =0$

is obtained through the transformation

${\hat {t}}={\tfrac {1}{6}}\,t,\,$   ${\hat {x}}=x-t\,$   and   $\phi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,\,$

but this form will not be used any further in this derivation.

Fixed-form propagating waves

Periodic wave solutions, travelling with phase speed c, are sought. These permanent waves have to be of the following:

$\eta =\eta (\xi )\,$   with $\xi$ the wave phase:   $\xi =x-c\,t.\,$

Consequently, the partial derivatives with respect to space and time become:

$\partial _{x}\eta =\eta '\,$   and   $\partial _{t}\eta =-c\,\eta ',\,$

where η′ denotes the ordinary derivative of η(ξ) with respect to the argument ξ.

Using these in the KdV equation, the following third-order ordinary differential equation is obtained:

${\tfrac {1}{6}}\,\eta '''+\left(1-c\right)\,\eta '+{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\eta '=0.\,$

Integration to a first-order ordinary differential equation

This can be integrated once, to obtain:

${\tfrac {1}{6}}\eta ''+\left(1-c\right)\,\eta +{\tfrac {3}{4}}\,\eta ^{2}={\tfrac {1}{4}}r,\,$

with r an integration constant. After multiplying with 4 η′, and integrating once more

${\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}+2\,\left(1-c\right)\,\eta ^{2}+\eta ^{3}=r\,\eta +s,\,$

Cubic polynomial f(η) as encountered in periodic wave solutions of the Korteweg–de Vries equation and Benjamin–Bona–Mahony equation.

with s another integration constant. This is written in the form

${\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,$   with   $f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,$ (A)

The cubic polynomial f(η) becomes negative for large positive values of η, and positive for large negative values of η. Since the surface elevation η is real valued, also the integration constants r and s are real. The polynomial f can be expressed in terms of its roots η₁, η₂ and η₃:

$f(\eta )=-\left(\eta -\eta _{1}\right)\,\left(\eta -\eta _{2}\right)\,\left(\eta -\eta _{3}\right).$ (B)

Because f(η) is real valued, the three roots η₁, η₂ and η₃ are either all three real, or otherwise one is real and the remaining two are a pair of complex conjugates. In the latter case, with only one real-valued root, there is only one elevation η at which f(η) is zero. And consequently also only one elevation at which the surface slope η′ is zero. However, we are looking for wave like solutions, with two elevations—the wave crest and trough (physics)—where the surface slope is zero. The conclusion is that all three roots of f(η) have to be real valued.

Without loss of generality, it is assumed that the three real roots are ordered as:

$\eta _{1}\geq \eta _{2}\geq \eta _{3}.\,$

Solution of the first-order ordinary-differential equation

Now, from equation (A) it can be seen that only real values for the slope exist if f(η) is positive. This corresponds with η₂ ≤ η≤ η₁, which therefore is the range between which the surface elevation oscillates, see also the graph of f(η). This condition is satisfied with the following representation of the elevation η(ξ):

$\eta (\xi )=\eta _{1}\;\cos ^{2}\,\psi (\xi )+\eta _{2}\,\sin ^{2}\,\psi (\xi ),$ (C)

in agreement with the periodic character of the sought wave solutions and with ψ(ξ) the phase of the trigonometric functions sin and cos. From this form, the following descriptions of various terms in equations (A) and (B) can be obtained:

${\begin{aligned}\eta -\eta _{1}&=-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{2}&=+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\cos ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{3}&=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),&&{\text{and}}\\\eta '&=-2\,\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin \,\psi (\xi )\;\cos \,\psi (\xi )\;\;\psi '(\xi )&&{\text{with}}\quad \psi '(\xi )={\frac {{\text{d}}\psi (\xi )}{{\text{d}}\xi }}.\end{aligned}}$

Using these in equations (A) and (B), the following ordinary differential equation relating ψ and ξ is obtained, after some manipulations:

${\frac {4}{3}}\,\left({\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}\xi }}\right)^{2}=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),$

with the right hand side still positive, since η₁ − η₃ ≥ η₁ − η₂. Without loss of generality, we can assume that ψ(ξ) is a monotone function, since f(η) has no zeros in the interval η₂ < η < η₁. So the above ordinary differential equation can also be solved in terms of ξ(ψ) being a function of ψ:

${\frac {1}{\Delta }}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}=\pm \,{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\,\psi }}},$

with:

$\Delta ^{2}={\frac {4}{3}}\,{\frac {1}{\eta _{1}-\eta _{3}}}$   and   $m={\frac {\eta _{1}-\eta _{2}}{\eta _{1}-\eta _{3}}},$

where m is the so-called elliptic parameter, satisfying 0 ≤ m ≤ 1 (because η₃ ≤ η₂ ≤ η₁). If ξ = 0 is chosen at the wave crest η(0) = η₁ integration gives

$\xi =\pm \,\Delta \,\int _{0}^{\psi }{\frac {{\text{d}}{\hat {\psi }}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}{\hat {\psi }}}}}=\pm \,\Delta \,F(\psi |m),$ (D)

with F(ψ|m) the incomplete elliptic integral of the first kind. The Jacobi elliptic functions cn and sn are inverses of F(ψ|m) given by

$\cos \,\psi =\operatorname {cn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)$   and   $\sin \,\psi =\operatorname {sn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).$

With the use of equation (C), the resulting cnoidal-wave solution of the KdV equation is found

$\eta (\xi )=\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).$

What remains, is to determine the parameters: η₁, η₂, Δ and m.

Relationships between the cnoidal-wave parameters

First, since η₁ is the crest elevation and η₂ is the trough elevation, it is convenient to introduce the wave height, defined as H = η₁ − η₂. Consequently, we find for m and for Δ:

$m={\frac {H}{\eta _{1}-\eta _{3}}}$   and   ${\frac {\Delta ^{2}}{m}}={\frac {4}{3\,H}}$   so   $\Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m}{H}}}}.$

The cnoidal wave solution can be written as:

$\eta (\xi )=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).$

Second, the trough is located at ψ = ⁠1/2⁠ π, so the distance between ξ = 0 and ξ = ⁠1/2⁠ λ is, with λ the wavelength, from equation (D):

${\tfrac {1}{2}}\,\lambda =\Delta \,F\left({\begin{array}{c|c}{\tfrac {1}{2}}\,\pi &m\end{array}}\right)=\Delta \,K(m),$   giving   $\lambda =2\,\Delta \,K(m)={\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m}{H}}}}\;K(m),$

where K(m) is the complete elliptic integral of the first kind. Third, since the wave oscillates around the mean water depth, the average value of η(ξ) has to be zero. So

${\begin{aligned}0&=\int _{0}^{\lambda }\eta (\xi )\;{\text{d}}\xi =2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\lambda }\left[\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right]\;{\text{d}}\xi \\&=2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\Bigl [}\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\cos ^{2}\,\psi {\Bigr ]}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-m\,\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }\left[{\frac {\eta _{3}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}\right]\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,E(m){\Bigr ]}=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+{\frac {H}{m}}\,E(m){\Bigr ]},\end{aligned}}$

where E(m) is the complete elliptic integral of the second kind. The following expressions for η₁, η₂ and η₃ as a function of the elliptic parameter m and wave height H result:

$\eta _{3}=-\,{\frac {H}{m}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}},$   $\eta _{1}={\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)$   and   $\eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).$

Fourth, from equations (A) and (B) a relationship can be established between the phase speed c and the roots η₁, η₂ and η₃:

$c=1+{\tfrac {1}{2}}\,\left(\eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}\right)=1+{\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).$

The relative phase-speed changes are depicted in the figure below. As can be seen, for m > 0.96 (so for 1 − m < 0.04) the phase speed increases with increasing wave height H. This corresponds with the longer and more nonlinear waves. The nonlinear change in the phase speed, for fixed m, is proportional to the wave height H. Note that the phase speed c is related to the wavelength λ and period τ as:

$c={\frac {\lambda }{\tau }}.$

Résumé of the solution

All quantities here will be given in their dimensional forms, as valid for surface gravity waves before non-dimensionalisation.

Относительное увеличение фазовой скорости решений кноидальных волн для уравнения Кортевега – де Фриза в зависимости от 1− m , где m - эллиптический параметр.
Горизонтальная ось отложена в логарифмическом масштабе , от 10 ⁻⁶ до 10 ⁰ =1.
Рисунок приведен для безразмерных величин, т.е. фазовая скорость c сделана безразмерной с фазовой скоростью на мелководье. $\scriptstyle {\sqrt {gh}}$, а высота волны H сделана безразмерной со средней глубиной воды h .

Кноидально-волновое решение уравнения КдВ:

$\eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),$

где H — высота волны — разница между высотой гребня и впадины , η _{2 —} высота впадины, m — эллиптический параметр, c — фазовая скорость и cn — одна из эллиптических функций Якоби . Уровень желоба η ₂ и параметр ширины Δ можно выразить через H , h и m :

$\eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),$   и   $\Delta ={\frac {\lambda }{2\,K(m)}}\,=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}},$

где K ( m ) — полный эллиптический интеграл первого рода , а E ( m ) — полный эллиптический интеграл второго рода . Обратите внимание, что K ( m ) и E ( m ) обозначены здесь как функция эллиптического параметра m , а не как функция эллиптического модуля k , причем m = k ² .

Длина волны λ , фазовая скорость c и период волны τ связаны с H , h и m соотношением:

$\lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),$   $c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]$   и   $\tau ={\frac {\lambda }{c}},$

с g Земли гравитации .

Чаще всего известными параметрами волны являются высота волны H , средняя глубина воды h , гравитационное ускорение g и либо длина волны λ , либо период τ . Затем приведенные выше соотношения для λ , c и τ используются для нахождения эллиптического параметра m . Это требует численного решения каким-либо итерационным методом .

Уравнение Бенджамина–Боны–Махони.

Уравнение Бенджамина-Боны-Махони (уравнение BBM) или регуляризованное длинноволновое уравнение (RLW) имеет размерную форму, определяемую следующим образом:

$\partial _{t}\eta +{\sqrt {g\,h}}\,\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.$

Все величины имеют тот же смысл, что и для уравнения КдВ. Уравнение BBM часто предпочтительнее уравнения КдВ, поскольку оно лучше ведет себя в коротковолновом диапазоне.

show

  Подробности вывода

Derivation

The derivation is analogous to the one for the KdV equation. The dimensionless BBM equation is, non-dimensionalised using mean water depth h and gravitational acceleration g:

$\partial _{t}\eta +\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.$

This can be brought into the standard form

$\partial _{\hat {t}}\varphi +\partial _{\hat {x}}\varphi +\varphi \,\partial _{\hat {x}}\varphi -\partial _{\hat {t}}\,\partial _{\hat {x}}^{2}\varphi =0\,$

through the transformation:

${\hat {t}}={\sqrt {6}}\,t,$   ${\hat {x}}={\sqrt {6}}\,x$   and   $\varphi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,$

but this standard form will not be used here.

Analogue to the derivation of the cnoidal wave solution for the KdV equation, periodic wave solutions η(ξ), with ξ = x−ct are considered Then the BBM equation becomes a third-order ordinary differential equation, which can be integrated twice, to obtain:

${\tfrac {1}{3}}\,c\,\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,$   with   $f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,$

Which only differs from the equation for the KdV equation through the factor c in front of (η′)² in the left hand side. Through a coordinate transformation β = ξ / $\scriptstyle {\sqrt {c}}$ the factor c may be removed, resulting in the same first-order ordinary differential equation for both the KdV and BBM equation. However, here the form given in the preceding equation is used. This results in a different formulation for Δ as found for the KdV equation:

$\Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,c}{H}}}}.$

The relation of the wavelength λ, as a function of H and m, is affected by this change in $\Delta :$

$\lambda ={\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,c}{H}}}}\;K(m).$

For the rest, the derivation is analogous to the one for the KdV equation, and will not be repeated here.

Résumé

The results are presented in dimensional form, for water waves on a fluid layer of depth h.

Кноидальное волновое решение уравнения BBM вместе с соответствующими соотношениями для параметров:

${\begin{aligned}\eta (x,t)&=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),\\\eta _{2}&={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),\\\Delta &=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}&&={\frac {\lambda }{2\,K(m)}},\\\lambda &=h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {gh}}}}}\;K(m),\\c&={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]&&{\text{and}}\\\tau &={\frac {\lambda }{c}}.\end{aligned}}$

Единственное отличие от решения уравнения КдВ для кноидальной волны заключается в уравнении для длины волны λ . глубина воды h , высота волны H , гравитационное ускорение g и либо длина волны λ , либо — чаще всего — период (физика) τ Для практических приложений обычно указываются . Тогда эллиптический параметр m должен быть определен из приведенных выше соотношений для λ , c и τ с помощью некоторого итерационного метода .

Пример

Параметрические соотношения для кноидальных волновых решений уравнения Кортевега–де Фриза. Показано -log ₁₀ (1− m ), где m — эллиптический параметр полных эллиптических интегралов , как функция безразмерного периода τ   √ g / h и относительной высоты волны H / h . Значения вдоль контурных линий равны −log ₁₀ (1− m ), поэтому значение 1 соответствует m = 1 − 10. ⁻¹ = 0,9 и значение 40 при m = 1 − 10. ⁻⁴⁰ .

В этом примере рассматривается кноидальная волна согласно уравнению Кортевега–де Фриза (КдВ). Заданы следующие параметры волны:

• средняя глубина воды h = 5 м (16 футов),
• высота волны H = 3 м (9,8 фута),
• волны период τ = 7 с , и
• гравитационное ускорение g = 9,81 м/с ² (32 фута/с ² ).

Вместо периода τ в других случаях может выступать длина волны λ как заранее известная величина.

Сначала вычисляется безразмерный период:

$\tau \,{\sqrt {\frac {g}{h}}}=9.80,$

что больше семи, и этого достаточно, чтобы кноидальная теория была обоснованной. Главным неизвестным является эллиптический параметр m . Это должно быть определено таким образом, чтобы период волны τ , вычисленный из теории кноидальных волн для уравнения КдВ:

$\lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),$   $c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]$   и   $\tau ={\frac {\lambda }{c}},$

соответствует заданному значению τ ; здесь λ — длина волны, а c — фазовая скорость волны. Далее, K ( m ) и E ( m ) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Поиск эллиптического параметра m может осуществляться методом проб и ошибок или с использованием численного алгоритма поиска корня . В этом случае, начиная с первоначального предположения m _init = 0,99, методом проб и ошибок ответ

$m=0.9832\,$

найден. В ходе процесса длина волны λ и фазовая скорость c были рассчитаны :

• длина волны λ = 50,8 м (167 футов) и
• фазовая скорость c = 7,26 м/с (23,8 фута/с).

Фазовую скорость c можно сравнить с ее значением $\scriptstyle {\sqrt {gh}}$ согласно уравнениям мелкой воды :

${\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}=1.0376,$

показывая увеличение на 3,8% за счет эффекта нелинейной амплитудной дисперсии , которая в данном случае выигрывает от снижения фазовой скорости за счет частотной дисперсии.

Теперь длина волны известна, число Урселла можно вычислить и :

$U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}=62,$

которая не мала, поэтому линейная теория волн неприменима, а теория кноидальных волн применима. Наконец, отношение длины волны к глубине составляет λ / h = 10,2 > 7, что еще раз указывает на то, что эта волна достаточно длинная, чтобы ее можно было рассматривать как кноидальную волну.

Предел уединенной волны

Для очень длинных нелинейных волн с параметром m , близким к единице, m → 1, эллиптическая функция Якоби cn может быть аппроксимирована выражением

$\operatorname {cn} \left(z|m\right)\approx \operatorname {sech} (z)-{\tfrac {1}{4}}\,(1-m)\,{\Bigl [}\sinh(z)\;\cosh(z)-z{\Bigr ]}\,\tanh(z)\;\operatorname {sech} (z),$   с   $\operatorname {sech} (z)={\frac {1}{\cosh(z)}}.$

Здесь sinh, cosh, tanh и sech — гиперболические функции . В пределе m = 1:

$\operatorname {cn} \left(z|m\right)\to \operatorname {sech} (z),$

с sech( z ) = 1 / ch( z ).

Далее, для того же предела m → 1 полный эллиптический интеграл первого рода K ( m ) стремится к бесконечности, а полный эллиптический интеграл второго рода E ( m ) стремится к единице. Это означает, что предельные значения фазовой скорости c и минимального возвышения η ₂ становятся:

$c={\sqrt {g\,h}}\,\left(1+{\frac {1}{2}}\,{\frac {H}{h}}\right)$   и   $\eta _{2}=0.\,$

Следовательно, с точки зрения параметра ширины Δ решение уединенной волны как для уравнения КдВ, так и для уравнения BBM имеет вид:

$\eta (x,t)=H\,\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-c\,t}{\Delta }}\right).$

Параметр ширины, найденный для кноидальных волн и теперь находящийся в пределе m → 1, различен для уравнения КдВ и уравнения ББМ:

$\Delta =h\,{\sqrt {\frac {4\,h}{3\,H}}}$	: уравнение КдВ, и
$\Delta =h\,{\sqrt {{\frac {4\,h}{3\,H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}$	: уравнение ББМ.

Но фазовая скорость уединенной волны в обоих уравнениях одинакова для определенной комбинации высоты H и глубины h .

Предел бесконечно малой высоты волны

Ожидается, что для бесконечно малой высоты волны результаты теории кноидальных волн будут сходиться с результатами теории волн Эйри для предела длинных волн λ ≫ h . Сначала будет исследована высота поверхности, а затем фазовая скорость кноидальных волн для бесконечно малой высоты волны.

Высота поверхности

show

  Подробности вывода

The Jacobi elliptic function cn can be expanded into a Fourier series

$\operatorname {cn} (z|m)={\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\sum _{n=0}^{\infty }\,\operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)\;\cos \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,z}{2\,K(m)}}\right).$

K′(m) is known as the imaginary quarter period, while K(m) is also called the real quarter period of the Jacobi elliptic function. They are related through: K′(m) = K(1−m)

Since the interest here is in small wave height, corresponding with small parameter m ≪ 1, it is convenient to consider the Maclaurin series for the relevant parameters, to start with the complete elliptic integrals K and E:

${\begin{aligned}K(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,m+\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,m^{2}+\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,m^{3}+\cdots \right],\\E(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,{\frac {m}{1}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,{\frac {m^{2}}{3}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,{\frac {m^{3}}{5}}-\cdots \right].\end{aligned}}$

Then the hyperbolic-cosine terms, appearing in the Fourier series, can be expanded for small m ≪ 1 as follows:

$\operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)=2\,{\frac {q^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{1+q^{2n+1}}}$   with the nome q given by   $q=\exp \left(-\pi \,{\frac {K'(m)}{K(m)}}\right).$

The nome q has the following behaviour for small m:

$q={\frac {m}{16}}+8\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{2}+84\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{3}+992\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{4}+\cdots .$

Consequently, the amplitudes of the first terms in the Fourier series are:

$n=0\,$	:	${\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\operatorname {sech} \,\left({\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)=1-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {9}{16}}\,m^{2}+\cdots ,$
$n=1\,$	:	${\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\operatorname {sech} \,\left({\frac {3\,\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)={\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots ,$
$n=2\,$	:	${\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\operatorname {sech} \,\left({\frac {5\,\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)={\tfrac {1}{256}}\,m^{2}+\cdots .$

So, for m ≪ 1 the Jacobi elliptic function has the first Fourier series terms:

${\begin{aligned}\operatorname {cn} \,(z|m)&={\Bigl (}1-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {9}{16}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{256}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,3\,\alpha \,z\;+\;\cdots ,\end{aligned}}$   with   $\alpha \equiv {\frac {\pi }{2\,K(m)}}.$

And its square is

${\begin{aligned}\operatorname {cn} ^{2}\,(z|m)&={\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,4\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,6\,\alpha \,z\;+\;\cdots .\end{aligned}}$

The free surface η(x,t) of the cnoidal wave will be expressed in its Fourier series, for small values of the elliptic parameter m. First, note that the argument of the cn function is ξ/Δ, and that the wavelength λ = 2 Δ K(m), so:

$\theta \equiv {\frac {\pi \,\xi }{K(m)}}\,{\frac {\xi }{\Delta }}=2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}.$  

Further, the mean free-surface elevation is zero. Therefore, the surface elevation of small amplitude waves is

$\eta (x,t)=\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,2\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,3\theta \;+\;\cdots .$

Also the wavelength λ can be expanded into a Maclaurin series of the elliptic parameter m, differently for the KdV and the BBM equation, but this is not necessary for the present purpose.

Note: The limiting behaviour for zero m—at infinitesimal wave height—can also be seen from:

$\operatorname {cn} (z|m)\approx \cos(z)+{\tfrac {1}{4}}\,m\,{\bigl (}z-\sin(z)\,\cos(z){\bigr )}\,\sin(z)+\cdots ,$

but the higher-order term proportional to m in this approximation contains a secular term, due to the mismatch between the period of cn(z|m), which is 4 K(m), and the period 2π for the cosine cos(z). The above Fourier series for small m does not have this drawback, and is consistent with forms as found using the Lindstedt–Poincaré method in perturbation theory.

Для бесконечно малой высоты волны в пределе m → 0 высота свободной поверхности становится:

$\eta (x,t)={\tfrac {1}{2}}\,H\,\cos \,\theta ,$   с   $\theta =2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}=2\,\pi \ {\frac {x-c\,t}{\lambda }}.$

волны Таким образом, амплитуда равна ⁠ 1/2 , волны ⁠ H половина высоты . Это та же самая форма, которая изучается в теории волн Эйри , но обратите внимание, что теория кноидальных волн справедлива только для длинных волн, длина волны которых намного превышает среднюю глубину воды.

Фазовая скорость

show

  Подробности вывода

The phase speed of a cnoidal wave, both for the KdV and BBM equation, is given by:

$c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right].$

In this formulation the phase speed is a function of wave height H and parameter m. However, for the determination of wave propagation for waves of infinitesimal height, it is necessary to determine the behaviour of the phase speed at constant wavelength λ in the limit that the parameter m approaches zero. This can be done by using the equation for the wavelength, which is different for the KdV and BBM equation:

KdV :	$\lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {mh}{H}}}}\,K(m),$
BBM :	$\lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {mh}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}\,K(m),$

Introducing the relative wavenumber κh:

$\kappa \,h={\frac {2\,\pi }{\lambda }}\,h,$

and using the above equations for the phase speed and wavelength, the factor H / m in the phase speed can be replaced by κh and m. The resulting phase speeds are:

KdV :	$c={\sqrt {gh}}\,\left[1+(\kappa \,h)^{2}\,{\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right],$
BBM :	$c={\sqrt {gh}}\,{\frac {1}{\displaystyle 1-(\kappa \,h)^{2}\,{\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)}}.$

The limiting behaviour for small m can be analysed through the use of the Maclaurin series for K(m) and E(m), resulting in the following expression for the common factor in both formulas for c:

$\gamma ={\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-\,{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)=-{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{2}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{3}+\cdots ,$

so in the limit m → 0, the factor γ → −⁠1/6⁠. The limiting value of the phase speed for m ≪ 1 directly results.

Фазовые скорости для бесконечно малой высоты волны согласно теориям кноидальных волн для уравнения КдВ и уравнения ББМ равны

НДС	:	$c={\Bigl [}1-{\tfrac {1}{6}}\,\left(\kappa h\right)^{2}{\Bigr ]}\,{\sqrt {g\,h}},$
ББМ	:	$c={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{6}}\,\left(\kappa h\right)^{2}}}\,{\sqrt {g\,h}},$

где κ = 2 π / λ — волновое число , а κh — относительное волновое число. Эти фазовые скорости полностью согласуются с результатом, полученным при непосредственном поиске синусоидальных решений линеаризованных уравнений КдВ и ББМ. Как видно из этих уравнений, линеаризованное уравнение BBM имеет положительную фазовую скорость для всех κh . С другой стороны, фазовая скорость линеаризованного уравнения КдВ меняет знак для коротких волн с κh > $\scriptstyle {\sqrt {6}}$. Это противоречит выводу уравнения КдВ как одностороннего волнового уравнения.

Прямой вывод из полных уравнений невязкого течения.

Ундулярный медведь и детеныши у устья реки Арагуари на северо-востоке Бразилии. Вид под углом ко рту с самолета на высоте примерно 100 футов (30 м).

Кноидальные волны могут быть выведены непосредственно из уравнений невязкого , безвихревого и несжимаемого потока и выражены через три инварианта потока, как показали Бенджамин и Лайтхилл (1954) в своих исследованиях ондулярных отверстий . В системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью , в которой поток становится устойчивым , решения кноидальной волны могут быть напрямую связаны с потоком массы , потоком импульса и энергетическим напором потока. Следуя Бенджамину и Лайтхиллу (1954) — используя описание функции тока этого несжимаемого потока — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости потока являются пространственными производными функции тока Ψ ( ξ , z ): + ∂ _z Ψ и - ∂ _ξ Ψ в направлении ξ и z соответственно ( ξ знак равно x - ct ). Вертикальная координата z положительна в направлении вверх, противоположном направлению ускорения свободного падения, а нулевой уровень z находится на непроницаемой нижней границе жидкой области. Пока свободная поверхность находится в точке z = ζ ( ξ ); обратите внимание, что ζ — местная глубина воды, связанная с высотой поверхности η ( ξ ) как ζ = h + η, где h — средняя глубина воды.

В этом установившемся потоке расход Q через каждое вертикальное сечение является константой, не зависящей от ξ , а из-за горизонтального слоя сохраняется также горизонтальный поток импульса S , разделенный на плотность ρ , через каждое вертикальное сечение. Кроме того, для этого невязкого и безвихревого потока принцип Бернулли можно применить , который имеет одну и ту же константу Бернулли R всюду в области течения. Они определяются как:

${\begin{aligned}Q&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\partial _{z}\Psi \;{\text{d}}z,\\R&={\frac {p}{\rho }}+{\tfrac {1}{2}}\,{\Bigl [}\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}{\Bigr ]}+g\,z\qquad {\text{and}}\\S&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\left[{\frac {p}{\rho }}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.\end{aligned}}$

Для довольно длинных волн, предполагая, что глубина воды ζ мала по сравнению с длиной волны λ , получается следующее соотношение между глубиной воды ζ ( ξ ) и тремя инвариантами Q , R и S :

${\tfrac {1}{3}}\,Q^{2}\,\left(\zeta '\right)^{2}\approx -g\,\zeta ^{3}+2\,R\,\zeta ^{2}-2\,S\,\zeta +Q^{2}.$ ( Э )

первого порядка Это нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет кноидальные волновые решения.

Для очень длинных волн бесконечно малой амплитуды в жидкости глубиной h и с постоянной скоростью потока v константы потока соответствуют уравнениям мелкой воды :

$Q_{0}=v\,h,$   $R_{0}={\tfrac {1}{2}}\,v^{2}+g\,h$   и   $S_{0}=v^{2}\,h+{\tfrac {1}{2}}\,g\,h^{2}.$

Уравнение ( E ) можно привести к безразмерной используя расход Q и ускорение свободного падения g , а также определив критическую глубину hc _{форме ,} :

$h_{c}={\sqrt[{3}]{\frac {Q^{2}}{g}}},$

связано с разграничением критического потока между докритическим потоком и сверхкритическим потоком (см. Также число Фруда ). Следовательно, безразмерная форма уравнения имеет вид

${\tfrac {1}{3}}\,\left({\tilde {\zeta }}'\right)^{2}\approx -\zeta ^{3}+2\,{\tilde {R}}\,{\tilde {\zeta }}^{2}-2\,{\tilde {S}}\,{\tilde {\zeta }}+1,$

с

${\tilde {\zeta }}={\frac {\zeta }{h_{c}}},$   ${\tilde {\xi }}={\frac {\xi }{h_{c}}},$   ${\tilde {R}}={\frac {R}{g\,h_{c}}},$   и   ${\tilde {S}}={\frac {S}{g\,h_{c}^{2}}}.$

Вывод

Сначала исключим давление p из потока импульса S, используя уравнение Бернулли:

$S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+\int _{0}^{\zeta }{\tfrac {1}{2}}\left[\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}-\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.$

Функция тока Ψ разлагается в ряд Маклорена вокруг слоя при z = 0, и, используя это, непроницаемый слой представляет собой линию тока и безвихревость потока: Ψ = 0 и ∂ _z ² Ψ = 0 при z = 0:

$\Psi =z\,u_{b}(\xi )-{\frac {z^{3}}{3!}}\,u_{b}''(\xi )+{\frac {z^{5}}{5!}}\,u_{b}^{\text{iv}}(\xi )+\cdots ,$

где u _{b —} горизонтальная скорость на дне z = 0. Поскольку волны длинные, h ≫ λ , только слагаемые до z ³ и ζ ³ сохраняются в приближениях Q и S . Тогда поток импульса S становится:

$S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,\zeta \,u_{b}^{2}-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}\,u_{b}''-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,\left(u_{b}'\right)^{2}+\cdots .$

Разряд Q становится, поскольку он представляет собой значение функции тока Ψ на свободной поверхности z = ζ :

$Q=\zeta \,u_{b}(\xi )-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}''{\xi }+\cdots .$

Как видно, разряд Q представляет собой величину O( ζ ). Отсюда видно, что скорость слоя равна

$u_{b}={\frac {Q}{\zeta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}''+\cdots .$

Заметим, что Q / ζ – величина первого порядка. Это соотношение будет использоваться для замены скорости слоя u _b на Q и ζ в потоке импульса S . Из него можно вывести следующие термины:

${\begin{aligned}u_{b}^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{2}}}+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,Q\,u_{b}''+\cdots ,\\u_{b}'&=-{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,\zeta '\,u_{b}''+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}'''+\cdots \qquad {\text{and}}\\\left(u_{b}'\right)^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{4}}}\,\left(\zeta '\right)^{2}-{\tfrac {2}{3}}\,{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '\,u_{b}''+\cdots .\end{aligned}}$

Следовательно, поток импульса S становится, опять же сохраняя лишь члены с точностью до пропорциональных ζ ³ :

$S\approx R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}-{\tfrac {1}{6}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}\,\left(\zeta '\right)^{2}.$

Которое можно непосредственно переписать в виде уравнения ( Е ).

Потенциальная энергия

Потенциальная плотность энергии

$E_{\text{pot}}={\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}(x,t)\;{\text{d}}x$

где ρ — жидкости плотность , является одним из бесконечного числа инвариантов уравнения КдФ. В этом можно убедиться, умножив уравнение КдВ на высоту поверхности η ( x , t ); после многократного использования правила цепочки результат:

$\partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\right)+\partial _{x}\left\{{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {g\,h}}\,\eta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta ^{3}+{\tfrac {1}{12}}\,h^{2}{\sqrt {g\,h}}\,\left[\partial _{x}^{2}\left(\eta ^{2}\right)-3\left(\partial _{x}\eta \right)^{2}\right]\right\}=0,$

которая находится в форме сохранения и является инвариантом после интегрирования по интервалу периодичности - длине волны кноидальной волны. Потенциальная энергия не является инвариантом уравнения ББМ, а ⁠ 1 / 2 ⁠ ρg [ ч ²  +  ⁠ 1 / 6 ⁠  h ²  ( ∂ _x  η ) ² ] является.

Сначала дисперсия вычисляется высоты поверхности в кноидальной волне. Заметим, что η ₂ = −(1/ λ ) ₀ ∫ ^л  Ч сп ² ( ξ / Δ |m) d x , cn( ξ / Δ |m) = cos ψ ( ξ ) и λ = 2 Δ   K ( m ), поэтому

${\begin{aligned}{\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }\eta ^{2}\;{\text{d}}x&={\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right\}^{2}\;{\text{d}}\xi ={\frac {H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\operatorname {cn} ^{4}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\;{\text{d}}\xi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {\Delta \,H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\pi }\cos ^{4}\,\psi \,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}={\frac {H^{2}}{2\,K(m)}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos ^{4}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {1}{3}}\,{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left[\left(2-5\,m+3\,m^{2}\right)+\left(4\,m-2\right)\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]-{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\end{aligned}}$

Впоследствии оказывается, что потенциальная энергия как для уравнения КдВ, так и для уравнения ББМ равна

$E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,H^{2}\,\left[-{\frac {1}{3\,m}}+{\frac {2}{3\,m}}\,\left(1+{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)-{\frac {1}{m^{2}}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\right].$

Предел бесконечно малой высоты волны ( m → 0) потенциальной энергии равен E _pot = ⁠ 1 / 16 ⁠  ρ  g  H ² , что согласуется с волновой теорией Эйри . Высота волны в два раза превышает амплитуду H = 2 a в пределе бесконечно малых волн.

См. также

• Солитон
• Волны и мелководье

Примечания и ссылки

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 16. Эллиптические функции Якоби и тэта-функции» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. стр. 567, 587. ISBN.  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 . См. также главу 17. Эллиптические интегралы .
• Бенджамин, ТБ ; Бона, JL ; Махони, Дж. Дж. (1972), «Модельные уравнения для длинных волн в нелинейных дисперсионных системах», «Философские труды Лондонского королевского общества». Серия A, Математические и физические науки , 272 (1220): 47–78, Бибкод : 1972RSPTA.272...47B , doi : 10.1098/rsta.1972.0032 , JSTOR   74079 , S2CID   120673596
• Дингеманс, М.В. (1997), Распространение волн по неровному дну , Расширенная серия по океанской инженерии 13 , World Scientific, Сингапур, ISBN  978-981-02-0427-3 , заархивировано из оригинала 08 февраля 2012 г. , получено 18 апреля 2009 г. См. Часть 2, Главу 6 .
• Кортевег, диджей ; де Врис, Г. (1895), «Об изменении формы длинных волн, продвигающихся в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн» , Philosophical Magazine , 39 (240): 422–443, doi : 10.1080 /14786449508620739

Дальнейшее чтение

• Бенджамин, ТБ ; Лайтхилл, MJ (1954), «О кноидальных волнах и бурах», Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки , 224 (1159): 448–460, Bibcode : 1954RSPSA.224..448B , doi : 10.1098/rspa.1954.0172 , S2CID   119869484
• де Ягер, EM (2006). «О происхождении уравнения Кортевега – де Фриза». arXiv : math/0602661v1 .
• Дразин, П.Г. Джонсон, RS (1996), Солитоны: введение , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-33655-0
• Фентон, JD (1979), «Теория кноидальных волн высокого порядка», Journal of Fluid Mechanics , 94 (1): 129–161, Bibcode : 1979JFM....94..129F , doi : 10.1017/S0022112079000975 , S2CID   123177506
• Кьюлеган, GH; Паттерсон, Г.В. (1940), «Математическая теория безвихревых волн поступательного движения» , Исследовательский журнал Национального бюро стандартов , 24 (январь): 47–101, doi : 10.6028/jres.024.027
• Майлз, JW (1981), «Уравнение Кортевега-де Фриза: исторический очерк», Journal of Fluid Mechanics , 106 : 131–147, Bibcode : 1981JFM...106..131M , doi : 10.1017/S0022112081001559 , S2CID   122811526
• Вехаузен, СП ; Лайтоне, Э.В. (1960), «Поверхностные волны», во Флюгге, С .; Трусделл, К. (ред.), Энциклопедия физики , том. IX, Springer Verlag, стр. 446–778, заархивировано из оригинала 5 января 2009 г. , получено 18 апреля 2009 г. , информацию о кноидальных волнах см. на стр. 702–714.
• Вигель, Р.Л. (1960), «Презентация теории кноидальных волн для практического применения», Journal of Fluid Mechanics , 7 (2): 273–286, Bibcode : 1960JFM.....7..273W , doi : 10.1017/ С0022112060001481 , С2КИД   30587200