Теория волн Эйри

В гидродинамике теория волн Эйри (часто называемая теорией линейных волн ) дает линеаризованное описание распространения гравитационных волн на поверхности однородного слоя жидкости . Теория предполагает, что слой жидкости имеет одинаковую среднюю глубину и что жидкости невязкий поток , несжимаемый и безвихревой . Эта теория была впервые опубликована в правильной форме Джорджем Бидделлом Эйри в XIX веке.

Теория волн Эйри часто применяется в океанической и береговой инженерии для моделирования случайных состояний моря , давая описание кинематики и динамики волн с достаточно высокой точностью для многих целей. Кроме того, на основе его результатов можно оценить некоторые второго порядка и их распространение. нелинейные свойства поверхностных гравитационных волн Теория волн Эйри также является хорошим приближением волн цунами в океане до того, как они станут крутыми у побережья.

Эта линейная теория часто используется для быстрой и грубой оценки характеристик волн и их последствий. Это приближение является точным для небольших отношений высоты волны к глубине воды (для волн на мелкой воде ) и высоты волны к длине волны (для волн на глубокой воде).

Описание

Волновые характеристики.

Дисперсия гравитационных волн на поверхности жидкости. Фазовая и групповая скорость, деленная на √ gh, как функция ⁠ час / λ ⁠ . A : фазовая скорость, B : групповая скорость, C : фазовая и групповая скорость √ gh, действует на мелководье. Нарисованные линии: на основе дисперсионного соотношения, действующего на произвольной глубине. Пунктирные линии: на основе соотношения дисперсии, действующего на глубокой воде.

Теория волн Эйри использует подход потенциального потока (или потенциала скорости ) для описания движения гравитационных волн на поверхности жидкости. Использование потенциального потока (невязкого и безвихревого) в водных волнах чрезвычайно успешно, учитывая его неспособность описать многие другие потоки жидкости, где часто необходимо принимать вязкость , завихренность , турбулентность или отрыв потока во внимание . Это связано с тем, что в колебательной части движения жидкости волновая завихренность ограничена некоторыми тонкими колебательными стоксовыми пограничными слоями на границах области жидкости.

Теория волн Эйри часто используется в океанической и береговой инженерии . Особенно для случайных волн, иногда называемых волновой турбулентностью , эволюция статистики волн, включая спектр волн , хорошо прогнозируется на не слишком больших расстояниях (в терминах длин волн) и на не слишком мелкой воде. Дифракция — один из волновых эффектов, который можно описать волновой теорией Эйри. Кроме того, используя приближение WKBJ , волн . обмеление и преломление можно предсказать

Более ранние попытки описать поверхностные гравитационные волны с использованием потенциального потока были предприняты, в частности, Лапласом , Пуассоном , Коши и Келландом . Но Эйри был первым, кто опубликовал правильный вывод и формулировку в 1841 году. Вскоре после этого, в 1847 году, линейная теория Эйри была расширена Стоксом для нелинейного волнового движения, известного как волновая теория Стокса , с точностью до третьего порядка по крутизне волны. Еще до появления линейной теории Эйри Герстнер вывел нелинейную теорию трохоидальных волн в 1802 году , которая, однако, не является безвихревой .

Теория волн Эйри — линейная теория распространения волн на поверхности потенциального потока и над горизонтальным дном. Высота свободной поверхности η ( x , t ) одного компонента волны является синусоидальной и зависит от горизонтального положения x и времени t :

$\eta (x,t)=a\cos \left(kx-\omega t\right)$

где

• а волны — амплитуда в метрах,
• cos — функция косинуса ,
• k - угловое волновое число в радианах на метр, связанное с длиной волны λ соотношением k = ⁠ 2 π / λ ⁠ ,
• ω — угловая частота в радианах в секунду, связанная с периодом T и частотой f соотношением ω = ⁠ 2 π / Т ⁠ знак равно 2 πf .

Волны распространяются вдоль водной поверхности с фазовой скоростью c _p :

$c_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\lambda }{T}}.$

Угловое волновое число k и частота ω не являются независимыми параметрами (и, следовательно, длина волны λ и период T не являются независимыми), но связаны. Поверхностные гравитационные волны в жидкости представляют собой дисперсионные волны, демонстрирующие частотную дисперсию, что означает, что каждое волновое число имеет свою собственную частоту и фазовую скорость.

Обратите внимание, что в технике высота волны H – разница высот между гребнем и впадиной часто используется :

$H=2a\quad {\text{and}}\quad a={\tfrac {1}{2}}H,$

справедливо в данном случае линейных периодических волн.

Орбитальное движение под действием линейных волн. Желтые точки указывают мгновенное положение частиц жидкости на их (оранжевых) орбитах. Черные точки — центры орбит.

Движение частиц в океанской волне на большой (А) и малой (Б) глубинах. 1) Направление распространения. 2) Гребень волны. 3) Волновое дно.

Под поверхностью существует движение жидкости, связанное с движением свободной поверхности. В то время как на возвышении поверхности видна распространяющаяся волна, частицы жидкости находятся в орбитальном движении. В рамках теории волн Эйри орбиты представляют собой замкнутые кривые: круги на глубокой воде и эллипсы на конечной глубине, причем круги затухают, не достигнув дна слоя жидкости, а эллипсы становятся более плоскими вблизи дна слоя жидкости. . Таким образом, пока волна распространяется, частицы жидкости просто вращаются (колеблются) вокруг своего среднего положения. При движении распространяющейся волны частицы жидкости передают энергию в направлении распространения волны, не имея средней скорости. Диаметр орбит уменьшается с глубиной под свободной поверхностью. В глубокой воде диаметр орбиты уменьшается до 4% от значения ее свободной поверхности на глубине в половину длины волны.

Аналогичным образом существуют колебания давления под свободной поверхностью, причем вызванные волнами колебания давления уменьшаются с глубиной под свободной поверхностью – так же, как и при орбитальном движении жидких частиц.

Математическая формулировка волнового движения

Формулировка задачи потока

Волны распространяются в горизонтальном направлении с координатой x и областью жидкости, ограниченной сверху свободной поверхностью в точке z = η ( x , t ) , где z - вертикальная координата (положительная в направлении вверх), а t - время. Уровень z = 0 соответствует средней высоте поверхности. Непроницаемый − слой под слоем жидкости находится в точке z = h . Кроме того, поток предполагается несжимаемым и безвихревым – хорошее приближение потока внутри жидкости для волн на поверхности жидкости – и теорию потенциала для описания потока можно использовать . Потенциал скорости Φ( x , z , t ) связан с скорости потока компонентами u _x и u _z в горизонтальном ( x ) и вертикальном ( z ) направлениях соотношением:

$u_{x}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad u_{z}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}.$

Тогда в силу уравнения неразрывности несжимаемого потока потенциал Φ должен удовлетворять уравнению Лапласа :

$${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}=0.$$ ( 1 )

Граничные условия необходимы на дне и на свободной поверхности, чтобы замкнуть систему уравнений. Для их формулировки в рамках линейной теории необходимо уточнить, что является основным состоянием (или решением нулевого порядка ) течения. Здесь мы предполагаем, что базовым состоянием является покой, подразумевая, что средние скорости потока равны нулю.

Непроницаемость пласта приводит к кинематическому граничному условию пласта:

$${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\quad {\text{ at }}z=-h.$$ ( 2 )

В случае глубокой воды – под которой подразумевается бесконечная с математической точки зрения глубина воды – скорости потока должны стремиться к нулю в пределе , когда вертикальная координата стремится к минус бесконечности: z → −∞ .

На свободной поверхности для бесконечно малых волн вертикальное движение потока должно быть равно вертикальной скорости свободной поверхности. Это приводит к кинематическому граничному условию свободной поверхности:

$${\frac {\partial \eta }{\partial t}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\quad {\text{ at }}z=\eta (x,t).$$ ( 3 )

Если бы высота свободной поверхности η ( x , t ) была известной функцией, этого было бы достаточно для решения проблемы потока. Однако высота поверхности является дополнительным неизвестным, для которого необходимо дополнительное граничное условие. Это обеспечивает уравнение Бернулли для нестационарного потенциального течения. Давление над свободной поверхностью предполагается постоянным. Это постоянное давление принимается равным нулю без ограничения общности, так как уровень такого постоянного давления не изменяет расход. После линеаризации это дает динамическое граничное условие для свободной поверхности:

$${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+g\eta =0\quad {\text{ at }}z=\eta (x,t).$$ ( 4 )

Поскольку это линейная теория, в обоих граничных условиях свободной поверхности – кинематическом и динамическом – уравнения ( 3 ) и ( 4 ) – значения Φ и ⁠ ∂Φ / ∂ z ⁠ на фиксированном среднем уровне z = 0 используется .

Решение для прогрессивной монохроматической волны

См. Также: Дисперсия (волны на воде).

Для распространяющейся волны одной частоты – монохроматической волны – возвышение поверхности имеет вид:

$\eta =a\cos(kx-\omega t).$

Соответствующий потенциал скорости, удовлетворяющий уравнению Лапласа (1) внутри жидкости, а также кинематическим граничным условиям на свободной поверхности (2) и слое (3), равен:

$\Phi ={\frac {\omega }{k}}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin(kx-\omega t),$

с sinh и cosh - функции гиперболического синуса и гиперболического косинуса соответственно. Но η и Φ также должны удовлетворять динамическому граничному условию, что приводит к нетривиальным (отличным от нуля) значениям амплитуды волны a уравнение линейной дисперсии только в том случае, если выполняется :

$\omega ^{2}=gk\tanh kh,$

с tanh гиперболический тангенс . Таким образом, угловая частота ω и волновое число k – или, что эквивалентно, период T и длина волны λ – не могут быть выбраны независимо, но связаны между собой. Это означает, что распространение волн на поверхности жидкости является собственной задачей . Когда ω и k удовлетворяют дисперсионному соотношению, амплитуду волны a можно выбирать свободно (но достаточно малой, чтобы теория волн Эйри была допустимым приближением).

Таблица волновых величин

В таблице ниже приведены несколько величин и параметров потока в соответствии с волновой теорией Эйри. Данные величины относятся к несколько более общей ситуации, чем решение, приведенное выше. Во-первых, волны могут распространяться в произвольном горизонтальном направлении в плоскости x = ( x , y ) . Вектор волнового числа равен k и перпендикулярен кулачкам гребней волн . Во-вторых, учитывается средняя скорость потока U в горизонтальном направлении, равномерная по глубине z (независимо от нее) . Это вносит доплеровский сдвиг в дисперсионные соотношения. В точке, фиксированной на Земле, наблюдаемая угловая частота (или абсолютная угловая частота ) равна ω . С другой стороны, в системе отсчета, движущейся со средней скоростью U (поэтому средняя скорость, наблюдаемая из этой системы отсчета, равна нулю), угловая частота другая. Ее называют собственной угловой частотой (или относительной угловой частотой ), обозначают σ . Таким образом, при чисто волновом движении при U = 0 обе частоты ω и σ равны. Волновое число k (и длина волны λ ) не зависят от системы отсчета и не имеют доплеровского сдвига (для монохроматических волн).

В таблице приведены только колебательные части величин потока – скорости, отклонения частиц и давление – а не их среднее значение или дрейф.Колебательные отклонения частиц ξ _x и ξ _z по времени представляют собой интегралы от колебательных скоростей потока u _x и u _z соответственно.

Глубина воды подразделяется на три режима:

Визуализация волн на глубокой и мелкой воде путем соотнесения длины волны с глубиной и дном.

• глубокая вода больше половины длины волны – для глубины воды h > ⁠ 1/2 на волн глубина практически не влияет ( ⁠ λ , фазовую скорость это относится к большинству ветровых волн на поверхности моря и океана),
• мелководье – для глубины воды менее 5% длины волны, h < ⁠ 1/20 или периода ⁠ λ , фазовая скорость волн зависит только от глубины воды и больше не является функцией длины волны; и
• промежуточная глубина – все остальные случаи, ⁠ 1/20 ​ ​ ⁠ λ < ч < ⁠ 1 / 2 ⁠ λ , где глубина воды и период (или длина волны) оказывают существенное влияние на решение теории волн Эйри.

В предельных случаях глубокой и мелкой воды можно сделать упрощающие приближения к решению. А для промежуточной глубины необходимо использовать полные составы.

Свойства гравитационных волн на поверхности глубокой воды, мелкой воды и на средней глубине согласно теории волн Эйри
количество	символ	единицы	глубокая вода ( ч > ⁠ 1 / 2 ⁠ λ )	мелководье ( ч < ⁠ 1 / 20 ⁠ λ )	промежуточная глубина (все λ и h )
высота поверхности	$\eta (\mathbf {x} ,t)$	м	$a\cos \theta (\mathbf {x} ,t)$
фаза волны	$\theta (\mathbf {x} ,t)$	рад	$\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t$
наблюдаемая угловая частота	$\omega$	колесо с −1	$\left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {U} \right)^{2}={\bigl (}\Omega (k){\bigr )}^{2}\quad {\text{ with }}\quad k=|\mathbf {k} |$
собственная угловая частота	$\sigma$	колесо с −1	$\quad \sigma ^{2}={\bigl (}\Omega (k){\bigr )}^{2}\quad {\text{ with }}\quad \sigma =\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {U}$
единичный вектор в направлении распространения волны	$\mathbf {e} _{k}$	–	${\frac {\mathbf {k} }{k}}$
дисперсионное соотношение	$\Omega (k)$	колесо с −1	$\Omega (k)={\sqrt {gk}}$	$\Omega (k)=k{\sqrt {gh}}$	$\Omega (k)={\sqrt {gk\tanh kh}}$
фазовая скорость	$c_{p}={\frac {\Omega (k)}{k}}$	РС −1	${\sqrt {\frac {g}{k}}}={\frac {g}{\sigma }}$	${\sqrt {gh}}$	${\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh kh}}$
групповая скорость	$c_{g}={\frac {\partial \Omega }{\partial k}}$	РС −1	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{k}}}={\tfrac {1}{2}}{\frac {g}{\sigma }}$	${\sqrt {gh}}$	${\tfrac {1}{2}}c_{p}\left(1+kh{\frac {1-\tanh ^{2}kh}{\tanh kh}}\right)$
соотношение	${\frac {c_{g}}{c_{p}}}$	–	${\tfrac {1}{2}}$	$1$	${\tfrac {1}{2}}\left(1+kh{\frac {1-\tanh ^{2}kh}{\tanh kh}}\right)$
горизонтальная скорость	$\mathbf {u} _{x}(\mathbf {x} ,z,t)$	РС −1	$\mathbf {e} _{k}\sigma a\,e^{kz}\cos \theta$	$\mathbf {e} _{k}{\sqrt {\frac {g}{h}}}a\cos \theta$	$\mathbf {e} _{k}\sigma a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\cos \theta$
вертикальная скорость	$u_{z}(\mathbf {x} ,z,t)$	РС −1	$\sigma a\,e^{kz}\sin \theta$	$\sigma a{\frac {z+h}{h}}\sin \theta$	$\sigma a{\frac {\sinh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin \theta$
горизонтальное перемещение частиц	${\boldsymbol {\xi }}_{x}(\mathbf {x} ,z,t)$	м	$-\mathbf {e} _{k}a\,e^{kz}\sin \theta$	$-\mathbf {e} _{k}{\frac {1}{kh}}a\sin \theta$	$-\mathbf {e} _{k}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin \theta$
вертикальное путешествие частиц	$\xi _{z}(\mathbf {x} ,z,t)$	м	$a\,e^{kz}\cos \theta$	$a{\frac {z+h}{h}}\cos \theta$	$a{\frac {\sinh k(z+h)}{\sinh kh}}\cos \theta$
давления колебание	$p(\mathbf {x} ,z,t)$	Н ·м −2	$\rho ga\,e^{kz}\cos \theta$	$\rho ga\cos \theta$	$\rho ga{\frac {\cosh k(z+h)}{\cosh kh}}\cos \theta$

Эффекты поверхностного натяжения

Дисперсия гравитационно-капиллярных волн на поверхности глубокой воды. Фазовая и групповая скорость, разделенная на ⁴ √ gσ / ρ как функция обратной относительной длины волны ⁠ 1 / λ ⁠ √ σ / ρg .
Синие линии (A): фазовая скорость c _p , красные линии (B ): групповая скорость c _g .
Нарисованные линии: гравитационно-капиллярные волны.
Пунктирные линии: гравитационные волны.
Штрихпунктирные линии: чистые капиллярные волны.
Примечание. На этом графике σ — поверхностное натяжение.

Основная статья: Капиллярная волна

Из-за поверхностного натяжения дисперсионное соотношение меняется на:

$\Omega ^{2}(k)=\left(g+{\frac {\gamma }{\rho }}k^{2}\right)k\,\tanh kh,$

где γ - поверхностное натяжение в ньютонах на метр. Все приведенные выше уравнения для линейных волн останутся прежними, если гравитационное ускорение g заменить на

${\tilde {g}}=g+{\frac {\gamma }{\rho }}k^{2}.$

В результате поверхностного натяжения волны распространяются быстрее. Поверхностное натяжение оказывает влияние только на короткие волны с длиной волны менее нескольких дециметров в случае границы вода-воздух. Для очень коротких волн – 2 мм и менее, на границе раздела воздуха и воды – гравитационные эффекты незначительны. могут изменить поверхностное натяжение Обратите внимание, что поверхностно-активные вещества .

Групповая скорость ⁠ ∂Ω / ∂ k ⁠ капиллярных волн, в которых преобладают эффекты поверхностного натяжения, больше, чем фазовая скорость ⁠ Ω / k ⁠ . Это противоположно ситуации с поверхностными гравитационными волнами (с поверхностным натяжением, незначительным по сравнению с действием силы тяжести), где фазовая скорость превышает групповую скорость.

Межфазные волны

Поверхностные волны — это частный случай межфазных волн на границе раздела двух жидкостей разной плотности .

Два слоя бесконечной глубины

Рассмотрим две жидкости, разделенные границей раздела и не имеющие дополнительных границ. Тогда их дисперсионное соотношение ω ² = Ох ² ( k ) задается через

$\Omega ^{2}(k)=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\gamma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),$

где ρ и ρ ′ — плотности двух жидкостей ниже ( ρ ) и выше ( ρ ′ ) границы раздела соответственно. Далее γ – поверхностное натяжение на границе раздела.

Для существования межфазных волн нижний слой должен быть тяжелее верхнего, ρ > ρ ′ . В противном случае интерфейс неустойчив и неустойчивость Рэлея-Тейлора развивается .

Два слоя между горизонтальными жесткими плоскостями

Волновое движение на границе раздела двух слоев невязкой однородной жидкости различной плотности, заключенных между горизонтальными жесткими границами (сверху и снизу). Движение происходит под действием силы тяжести. Верхний слой имеет среднюю глубину h ′ и плотность ρ ′ , а нижний слой имеет среднюю глубину h и плотность ρ . Амплитуда волны равна a , длина волны обозначается λ (относится к волновому числу k через k = ⁠ 2 π / λ ⁠ ), гравитационное ускорение по g и фазовая скорость по c _p (при c _p = ⁠ Ω( k ) / k ⁠ ).

Для двух однородных слоев жидкости средней толщины h ниже границы раздела и h ′ выше – под действием силы тяжести и ограниченных сверху и снизу горизонтальными жесткими стенками – дисперсионное соотношение ω ² = Ох ² ( k ) для гравитационных волн определяется выражением:

$\Omega ^{2}(k)={\frac {gk(\rho -\rho ')}{\rho \coth kh+\rho '\coth kh'}},$

где снова ρ и ρ ′ — плотности ниже и выше границы раздела, а coth — гиперболическая функция котангенса . Для случая, когда ρ ′ равно нулю, это сводится к закону дисперсии поверхностных гравитационных волн на воде конечной глубины h .

Два слоя, ограниченные сверху свободной поверхностью

В этом случае дисперсионное уравнение допускает два режима: баротропный свободной поверхности режим, когда амплитуда велика по сравнению с амплитудой межфазной волны, и бароклинный режим, когда дело обстоит наоборот - межфазная волна выше и находится в противофазе. со свободной поверхностной волной. Дисперсионное уравнение в этом случае имеет более сложный вид.

Волновые свойства второго порядка

Некоторые второго порядка волновые свойства , квадратичные по амплитуде волны a , могут быть получены непосредственно из теории волн Эйри. Они имеют важное значение во многих практических приложениях, таких как прогнозы волновых условий. Используя приближение WKBJ , волновые свойства второго порядка также находят свое применение при описании волн в случае медленно меняющейся батиметрии , а также изменений среднего расхода течений и высоты поверхности. А также при описании взаимодействия волн и средних потоков вследствие временных и пространственных изменений амплитуды, частоты, длины волны и направления самого волнового поля.

Таблица свойств волн второго порядка

В таблице ниже приведены несколько свойств волн второго порядка, а также динамические уравнения, которым они удовлетворяют в случае медленно меняющихся условий в пространстве и времени. Более подробную информацию об этом можно найти ниже. В таблице приведены результаты для распространения волн в одном горизонтальном пространственном измерении. Далее в этом разделе приведены более подробные описания и результаты для общего случая распространения в двумерном горизонтальном пространстве.

Величины второго порядка и их динамика с использованием результатов волновой теории Эйри
количество	символ	единицы	формула
средняя плотность волновой энергии на единицу горизонтальной площади	$E$	Дж ·м −2	$E={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}$
радиационное напряжение или избыточный горизонтального импульса поток из-за волнового движения	$S_{xx}$	Н·м −1	$S_{xx}=\left(2{\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\tfrac {1}{2}}\right)E$
волновое действие	${\mathcal {A}}$	Дж·с·м −2	${\mathcal {A}}={\frac {E}{\sigma }}={\frac {E}{\omega -kU}}$
средний поток массы, обусловленный волновым движением или волновым псевдоимпульсом	$M$	кг·м −1 ·с −1	$M={\frac {E}{c_{p}}}=k{\frac {E}{\sigma }}$
средняя горизонтальная скорость массопереноса	${\tilde {U}}$	РС −1	${\tilde {U}}=U+{\frac {M}{\rho h}}=U+{\frac {E}{\rho hc_{p}}}$
Стокса дрейф	${\bar {u}}_{S}$	РС −1	${\bar {u}}_{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}$
распространение волновой энергии		Дж·м −2 ·с −1	${\frac {\partial E}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigl (}(U+c_{g})E{\bigr )}+S_{xx}{\frac {\partial U}{\partial x}}=0$
сохранение волнового действия		Дж·м −2	${\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigl (}(U+c_{g}){\mathcal {A}}{\bigr )}=0$
волн гребней сохранение		рад·м −1 ·с −1	${\frac {\partial k}{\partial t}}+{\frac {\partial \omega }{\partial x}}=0\quad {\text{with}}\quad \omega =\Omega (k)+kU$
среднее сохранение массы		кг·м −2 ·с −1	${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho h)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho h{\tilde {U}}\right)=0$
средняя эволюция горизонтального импульса		Н·м −2	${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h{\tilde {U}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho h{\tilde {U}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho gh^{2}+S_{xx}\right)=\rho gh{\frac {\partial d}{\partial x}}$

Последние четыре уравнения описывают эволюцию медленно меняющихся волновых цепочек по батиметрии при взаимодействии со средним потоком и могут быть выведены на основе вариационного принципа: Уизема метода усредненного лагранжевого . В уравнении среднего горизонтального импульса d ( x ) — это глубина стоячей воды, то есть слой под слоем жидкости расположен в точке z = − d . Обратите внимание, что средняя скорость потока в уравнениях массы и импульса представляет собой скорость массопереноса Ũ , включая влияние зоны заплеска волн на горизонтальный массоперенос, а не среднюю эйлерову скорость (например, измеренную при фиксированном потоке). метр).

Плотность волновой энергии

Волновая энергия представляет собой величину, представляющую первостепенный интерес, поскольку она является основной величиной, которая переносится волновыми последовательностями. Как видно выше, многие волновые величины, такие как высота поверхности и орбитальная скорость, носят колебательный характер с нулевым средним значением (в рамках линейной теории). В волнах на воде наиболее используемой мерой энергии является средняя плотность энергии волны на единицу горизонтальной площади. Это сумма плотности кинетической и потенциальной энергии , проинтегрированная по глубине слоя жидкости и усредненная по фазе волны. Проще всего вывести среднюю плотность потенциальной энергии на единицу горизонтальной площади E _pot поверхностных гравитационных волн, которая представляет собой отклонение потенциальной энергии из-за присутствия волн:

${\begin{aligned}E_{\text{pot}}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho gz\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho gz\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\overline {{\tfrac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.\end{aligned}}$

Верхняя черта обозначает среднее значение (которое в данном случае периодических волн можно принять либо как среднее по времени, либо как среднее по одной длине волны в пространстве).

средняя плотность кинетической энергии волнового движения на единицу горизонтальной площади E _{kin :} Аналогично находится

${\begin{aligned}E_{\text{kin}}&={\overline {\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left[\left|\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right|^{2}+u_{z}^{2}\right]\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left|\mathbf {U} \right|^{2}\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\tfrac {1}{4}}\rho {\frac {\sigma ^{2}}{k\tanh kh}}a^{2},\end{aligned}}$

где σ — собственная частота, см. таблицу волновых величин . Используя уравнение дисперсии, результат для поверхностных гравитационных волн:

$E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.$

Как видно, средние плотности кинетической и потенциальной энергии равны. Это общее свойство плотностей энергии прогрессивных линейных волн в консервативной системе . Складывая потенциальный и кинетический вклады E _pot и E _kin , средняя плотность энергии на единицу горизонтальной площади E волнового движения равна:

$E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}.$

Если эффектами поверхностного натяжения можно пренебречь, их вклад также добавляется к плотности потенциальной и кинетической энергии, что дает

$E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},$

так

$E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},$

с γ поверхностное натяжение .

Волновое воздействие, поток волновой энергии и радиационный стресс

В общем, между волновым движением и средним движением жидкости может происходить передача энергии. Это означает, что плотность энергии волны не во всех случаях является сохраняющейся величиной (пренебрегая диссипативными эффектами ), а полная плотность энергии – сумма плотности энергии на единицу площади волнового движения и среднего движения потока – сохраняется. существует Однако для медленно меняющихся волновых цугов, распространяющихся в медленно меняющихся полях батиметрии и среднего течения, аналогичная и сохраняющаяся волновая величина, волновое действие A = ⁠ E / σ ⁠ :

${\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\mathcal {A}}\right]=0,$

где ( U + c _g ) A действия — поток , а c _g = c _g e _k — вектор групповой скорости . Сохранение действия лежит в основе многих моделей ветровых волн и волновой турбулентности . моделей Это также основа прибрежных инженерных моделей для расчета обмеления волн . Расширение приведенного выше уравнения сохранения волнового действия приводит к следующему уравнению эволюции плотности волновой энергии:

${\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right)E\right]+{\boldsymbol {S}}:\left(\nabla \mathbf {U} \right)=0,$

с:

• ( U + c _g ) E — средний поток плотности волновой энергии,
• S — радиационного напряжения тензор ,
• ∇ U средней скорости — тензор скорости сдвига .

В этом уравнении в несохраняющейся форме скалярное произведение Фробениуса S : (∇ U ) является исходным членом, описывающим обмен энергией волнового движения со средним потоком. Только в случае, когда средняя скорость сдвига равна нулю, ∇ U = 0 , средняя плотность энергии волны E сохраняется. Два тензора S и ∇ U находятся в декартовой системе координат вида:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {I}}\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E+{\frac {1}{k^{2}}}{\begin{pmatrix}k_{x}k_{x}&k_{x}k_{y}\\[2ex]k_{y}k_{x}&k_{y}k_{y}\end{pmatrix}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}E,\\[6px]{\boldsymbol {I}}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\\[6px]\nabla \mathbf {U} &={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial x}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial y}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

где k _x и k _y являются компонентами вектора волнового числа k , а U _x и U _y - компонентами вектора средней скорости U .

Волновой поток массы и волновой импульс

Средний горизонтальный импульс на единицу площади M, вызванный волновым движением, а также вызванный волной поток массы или перенос массы , равен:

${\begin{aligned}\mathbf {M} &={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \left(\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right)\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho \mathbf {U} \,\mathrm {d} z\\[6px]&={\frac {E}{c_{p}}}\mathbf {e} _{k},\end{aligned}}$

что является точным результатом для периодических прогрессивных волн на воде, справедливым и для нелинейных волн. Однако его обоснованность сильно зависит от того, как определяются волновой импульс и поток массы. Стоукс уже определил два возможных определения фазовой скорости периодических нелинейных волн:

• Первое определение скорости волны Стокса (S1) – со средней эйлеровой скоростью потока, равной нулю для всех высот z волны ' ниже впадин , и
• Второе определение Стокса скорости волны (S2) – со средним массопереносом, равным нулю.

Приведенная выше связь между импульсом волны M и плотностью энергии волны E справедлива в рамках первого определения Стокса.

Однако для волн, перпендикулярных береговой линии или в закрытом лабораторном волновом канале , более подходящим является второе определение (S2). Эти волновые системы имеют нулевой поток массы и импульс при использовании второго определения. Напротив, согласно первому определению Стокса (S1), существует поток массы, индуцированный волной в направлении распространения волны, который должен быть уравновешен средним потоком U в противоположном направлении, называемым откатом течения .

В общем, здесь есть свои тонкости. Поэтому вместо волнового импульса также используется термин псевдоимпульс волн.

Уравнения эволюции массы и импульса

Для медленно меняющихся полей батиметрии , волн и среднего потока эволюцию среднего потока можно описать в терминах средней скорости массопереноса , определяемой как:

${\tilde {\mathbf {U} }}=\mathbf {U} +{\frac {\mathbf {M} }{\rho h}}.$

Обратите внимание, что для глубокой воды, когда средняя глубина h стремится к бесконечности, средняя эйлерова скорость U и средняя скорость переноса Ũ становятся равными.

Уравнение сохранения массы:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\right)=0,$

где h ( x , t ) — средняя глубина воды, медленно меняющаяся в пространстве и времени.

Аналогично, средний горизонтальный импульс развивается как:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}+{\tfrac {1}{2}}\rho gh^{2}{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {S}}\right)=\rho gh\nabla d,$

где d — глубина стоячей воды (морское дно находится на уровне z = – d ), S волнового радиационного напряжения — тензор , I — единичная матрица и ⊗ — двоичное произведение :

${\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}={\begin{pmatrix}{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{y}\\{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{y}\end{pmatrix}}.$

Обратите внимание, что средний горизонтальный импульс сохраняется только в том случае, если морское дно горизонтально (глубина стоячей воды d является постоянной), что соответствует теореме Нётер .

Система уравнений замыкается на описании волн. Распространение энергии волн описывается уравнением сохранения волнового действия (без учета диссипации и нелинейных волновых взаимодействий):

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {E}{\sigma }}\right)+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\frac {E}{\sigma }}\right]=0.$

Кинематика волны описывается уравнением сохранения гребня волны:

${\frac {\partial \mathbf {k} }{\partial t}}+\nabla \omega =\mathbf {0} ,$

с угловой частотой ω, являющейся функцией (углового) волнового числа k , связанной дисперсионным соотношением . Чтобы это было возможно, волновое поле должно быть когерентным . Взяв закон сохранения волнового гребня, можно увидеть, что изначально безвихревое поле волновых чисел остается безвихревым.

Стокса дрейф

Основная статья: Дрифт Стокса

При следовании за отдельной частицей в чисто волновом движении ( U = 0 ), согласно линейной волновой теории Эйри, первое приближение дает замкнутые эллиптические орбиты для частиц воды. Однако для нелинейных волн частицы демонстрируют стоксов дрейф , для которого выражение второго порядка может быть получено из результатов теории волн Эйри (см. Таблицу свойств волн второго порядка выше ). Скорость стоксова дрейфа ū _S , которая представляет собой дрейф частицы после одного волнового цикла, деленную на период , можно оценить, используя результаты линейной теории:

${\bar {\mathbf {u} }}_{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}\mathbf {e} _{k},$

поэтому оно меняется в зависимости от высоты. Данная формула представляет собой первое определение Стокса скорости волны. При ρ ū _S интегрировании M. выражение для среднего волнового импульса по глубине восстанавливается

См. также

• Приближение Буссинеска (волны на воде) — нелинейная теория волн на мелкой воде .
• Капиллярная волна – поверхностные волны под действием поверхностного натяжения.
• Кноидальная волна – нелинейные периодические волны на мелкой воде, решения уравнения Кортевега – де Фриза.
• Уравнение умеренного наклона - преломление и дифракция поверхностных волн на различной глубине.
• Поверхностная волна океана – настоящие водные волны, видимые в океане и море.
• Волна Стокса - нелинейные периодические волны на мелководье.
• Волновая энергия – использование океанских и морских волн для производства электроэнергии.

Ссылки

Исторический

• Эйри, Великобритания (1841 г.). «Приливы и волны». У Хью Джеймса Роуза ; и др. (ред.). Энциклопедия Метрополитана . Смешанные науки. Том. 3 (опубликовано в 1817–1845 гг.). Также: «Тригонометрия. О фигуре Земли, приливах и волнах», 396 стр.
• Стоукс, Г.Г. (1847). «К теории колебательных волн». Труды Кембриджского философского общества . 8 : 441–455.
  Перепечатано в: Стоукс, Г.Г. (1880). Математические и физические статьи, том I. Издательство Кембриджского университета. стр. 197–229 .

Дальнейшее чтение

• Крейк, ДОБАВИТЬ (2004). «Истоки теории волн на воде». Ежегодный обзор механики жидкости . 36 : 1–28. Бибкод : 2004АнРФМ..36....1С . doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118 .
• Дин, Р.Г.; Далримпл, РА (1991). Механика волн на воде для инженеров и ученых . Расширенная серия по океанской инженерии. Том. 2. Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-02-0420-4 . ОСЛК   22907242 .
• Дингеманс, М.В. (1997). Распространение волн воды по неровному дну . Расширенная серия по океанской инженерии. Том. 13. Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-02-0427-3 . OCLC   36126836 . Две части, 967 страниц.
• Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-45868-9 . ОСЛК   30070401 . Первоначально опубликованное в 1879 году, шестое расширенное издание появилось впервые в 1932 году.
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1986). Механика жидкости . Курс теоретической физики. Том. 6 (2-е исправленное изд.). Пергамон Пресс. ISBN  978-0-08-033932-0 . ОСЛК   15017127 .
• Лайтхилл, MJ (1978). Волны в жидкостях . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-29233-7 . OCLC   2966533 . 504 стр.
• Филлипс, О.М. (1977). Динамика верхних слоев океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-29801-8 . OCLC   7319931 .
• Вехаузен, Дж. В. и Лайтон, Э. В. (1960), Флюгге, С. и Трусделл, К. (ред.), «Поверхностные волны» , Энциклопедия физики , 9 , Springer Verlag: 653–667, §27, OCLC   612422741 , в архиве. из оригинала 21 мая 2013 г. , получено 5 мая 2013 г.

Внешние ссылки

• Линейная теория поверхностных волн океана на WikiWaves.
• Волны на воде в Массачусетском технологическом институте .