Модуляционная нестабильность

В области нелинейной оптики и гидродинамики — это модуляционная нестабильность или нестабильность боковой полосы явление, при котором отклонения от периодической формы сигнала усиливаются нелинейностью, что приводит к генерации боковых спектральных полос и возможному распаду формы сигнала на последовательность импульсов .

Широко распространено мнение, что это явление было впервые обнаружено и смоделировано для периодических поверхностных гравитационных волн ( волн Стокса ) на глубокой воде Т. Бруком Бенджамином и Джимом Э. Фейром в 1967 году. Поэтому она также известна как неустойчивость Бенджамина-Фейра . Однако пространственная модуляционная неустойчивость мощных лазеров в органических растворителях была обнаружена русскими учеными Н. Ф. Пилиптецким и А. Р. Рустамовым в 1965 г. а математический вывод модуляционной неустойчивости был опубликован В. И. Беспаловым и В. И. Талановым в 1966 году. Модуляционная нестабильность является возможным механизмом генерации волн-убийц .

Начальная нестабильность и выигрыш

Нестабильность модуляции возникает только при определенных обстоятельствах. Наиболее важным условием является групповой скорости аномальная дисперсия , при которой импульсы с более короткими длинами волн распространяются с более высокой групповой скоростью , чем импульсы с большей длиной волны. (Это условие предполагает наличие фокусирующей керровской нелинейности , при которой показатель преломления увеличивается с увеличением оптической интенсивности.)

Неустойчивость сильно зависит от частоты возмущения. На определенных частотах возмущение будет иметь незначительный эффект, тогда как на других частотах возмущение будет расти экспоненциально . Общий спектр усиления можно получить аналитически , как показано ниже. Случайные возмущения обычно содержат широкий диапазон частотных составляющих и поэтому вызывают появление боковых спектральных полос, которые отражают основной спектр усиления.

Тенденция возмущающего сигнала к росту превращает нестабильность модуляции в форму усиления . Настраивая входной сигнал на пик спектра усиления, можно создать оптический усилитель .

Математический вывод спектра усиления

Спектр усиления можно получить начав с модели нестабильности модуляции, основанной на нелинейном уравнении Шредингера

${\frac {\partial A}{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=i\gamma |A|^{2}A,$

который описывает эволюцию комплекснозначной медленно меняющейся огибающей $A$ со временем $t$ и расстояние распространения $z$. Воображаемая единица $i$ удовлетворяет $i^{2}=-1.$ В модель включена дисперсия групповой скорости , описываемая параметром $\beta _{2}$и нелинейность Керра с величиной $\gamma .$ Периодический сигнал постоянной мощности $P$ предполагается. Это дает решение

$A={\sqrt {P}}e^{i\gamma Pz},$

где колебательный $e^{i\gamma Pz}$ Фазовый коэффициент учитывает разницу между линейным показателем преломления и модифицированным показателем преломления , возникающую в результате эффекта Керра. Начало неустойчивости можно исследовать, возмущая это решение как

$A=\left({\sqrt {P}}+\varepsilon (t,z)\right)e^{i\gamma Pz},$

где $\varepsilon (t,z)$ — член возмущения (который для математического удобства умножен на тот же фазовый коэффициент, что и $A$). Подстановка этого обратного значения в нелинейное уравнение Шредингера дает уравнение возмущения вида

${\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial t^{2}}}=i\gamma P\left(\varepsilon +\varepsilon ^{*}\right),$

где возмущение предполагается малым, так что $|\varepsilon |^{2}\ll P.$ Комплексное сопряжение ​ $\varepsilon$ обозначается как $\varepsilon ^{*}.$ Неустойчивость теперь можно обнаружить путем поиска решений уравнения возмущений, которые растут экспоненциально. Это можно сделать с помощью пробной функции общего вида

$\varepsilon =c_{1}e^{ik_{m}z-i\omega _{m}t}+c_{2}e^{-ik_{m}^{*}z+i\omega _{m}t},$

где $k_{m}$ и $\omega _{m}$ и волновое число (действительная) угловая частота возмущения, а $c_{1}$ и $c_{2}$ являются константами. Нелинейное уравнение Шредингера строится путем исключения несущей волны моделируемого света, поэтому частота возмущенного света формально равна нулю. Поэтому, $\omega _{m}$ и $k_{m}$ представляют собой не абсолютные частоты и волновые числа, а разницу между ними и таковыми исходного луча света. Можно показать, что пробная функция справедлива, если $c_{2}=c_{1}^{*}$ и при условии

$k_{m}=\pm {\sqrt {\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}+2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}}.$

Это дисперсионное соотношение существенно зависит от знака члена в квадратном корне: если оно положительное, волновое число будет действительным , что соответствует простым колебаниям вокруг невозмущенного решения, а если оно отрицательное, волновое число станет мнимым , что соответствует экспоненциальному росту. и, следовательно, нестабильность. Следовательно, нестабильность будет иметь место, когда

$\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{2}+2\gamma P\beta _{2}<0,$   это для   $\omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}}.$

Это условие описывает требование аномальной дисперсии (такой, что $\gamma \beta _{2}$ является отрицательным). Спектр усиления можно описать, определив параметр усиления как $g\equiv 2|\Im \{k_{m}\}|,$ так что мощность возмущающего сигнала растет с расстоянием как $P\,e^{gz}.$ Таким образом, выигрыш определяется выражением

$g={\begin{cases}2{\sqrt {-\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}-2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}},&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\\[2ex]0,&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}\geq -2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\end{cases}}$

где, как отмечалось выше, $\omega _{m}$ – это разница между частотой возмущения и частотой исходного света. Скорость роста максимальна для $\omega ^{2}=-\gamma P/\beta _{2}.$

Нестабильность модуляции в мягких системах

Модуляционная нестабильность оптических полей наблюдалась в фотохимических системах, а именно в фотополимеризующихся средах. Нестабильность модуляции возникает из-за присущей системам оптической нелинейности из-за фотореакционных изменений показателя преломления. Модуляционная нестабильность пространственно и во времени некогерентного света возможна из-за немгновенного отклика фотореактивных систем, которые, следовательно, реагируют на среднюю по времени интенсивность света, при которой фемтосекундные флуктуации компенсируются.

Дальнейшее чтение

• Захаров В.Е. ; Островский, Л.А. (2009). «Нестабильность модуляции: начало» (PDF) . Физика D: Нелинейные явления . 238 (5): 540–548. Бибкод : 2009PhyD..238..540Z . дои : 10.1016/j.physd.2008.12.002 .