Нелинейное уравнение Шрёдингера

В теоретической физике (одномерное) нелинейное уравнение Шредингера ( НУШ ) представляет собой нелинейную вариацию уравнения Шредингера . Это классическое уравнение поля , основные приложения которого связаны с распространением света в нелинейных оптических волокнах и плоских волноводах. ^{[ 2 ]} и конденсатам Бозе-Эйнштейна, заключенным в сильно анизотропные сигарообразные ловушки в режиме среднего поля . ^{[ 3 ]} Кроме того, уравнение появляется при исследовании гравитационных волн малой амплитуды на поверхности глубокой невязкой (нулевой вязкости) воды; ^{[ 2 ]} волны Ленгмюра в горячей плазме ; ^{[ 2 ]} распространение плоскодифрагированных волновых пучков в фокусирующих областях ионосферы; ^{[ 4 ]} распространение солитонов альфа-спирали Давыдова , отвечающих за перенос энергии вдоль молекулярных цепей; ^{[ 5 ]} и многие другие. В более общем смысле NLSE выглядит как одно из универсальных уравнений, описывающих эволюцию медленно меняющихся пакетов. квазимонохроматических волн в слабонелинейных средах, имеющих дисперсию . ^{[ 2 ]} В отличие от линейного уравнения Шрёдингера , NLSE никогда не описывает эволюцию квантового состояния во времени. ^{[ нужна ссылка ]} 1D NLSE является примером интегрируемой модели .

В квантовой механике 1D НУШ является частным случаем классического нелинейного поля Шредингера , которое, в свою очередь, является классическим пределом квантового поля Шредингера. И наоборот, когда классическое поле Шредингера канонически квантовано , оно становится квантовой теорией поля (которая является линейной, несмотря на то, что она называется «квантовым нелинейным уравнением Шредингера»), которая описывает бозонные точечные частицы с взаимодействиями с дельта-функцией - частицы либо отталкивать или притягивать, когда они находятся в одной точке. Фактически, когда число частиц конечно, эта квантовая теория поля эквивалентна модели Либа–Линигера . Как квантовые, так и классические одномерные нелинейные уравнения Шредингера интегрируемы. Особый интерес представляет предел бесконечной силы отталкивания, и в этом случае модель Либа-Линигера становится газом Тонкса-Жирардо (также называемым твердым бозе-газом или непроницаемым бозе-газом). В этом пределе бозоны могут, благодаря замене переменных, которая является континуальным обобщением теории Преобразование Жордана–Вигнера , преобразоваться в систему одномерных невзаимодействующих бесспиновых ^{[ номер 1 ]} фермионы. ^{[ 6 ]}

Нелинейное уравнение Шрёдингера представляет собой упрощенную 1+1-мерную форму уравнения Гинзбурга–Ландау, введенного в 1950 году в их работе по сверхпроводимости, и было явно записано Р.И. Чиао, Э. Гармиром и К. Х. Таунсом ( 1964 ), уравнение (5 )) при изучении оптических лучей.

Многомерная версия заменяет вторую пространственную производную лапласианом. В более чем одном измерении уравнение неинтегрируемо, оно допускает коллапс и волновую турбулентность. ^{[ 7 ]}

Уравнение

Нелинейное уравнение Шрёдингера — нелинейное уравнение в частных производных , применимое к классической и квантовой механике .

Классическое уравнение

Классическое уравнение поля (в безразмерной форме): ^{[ 8 ]}

Нелинейное уравнение Шредингера (Классическая теория поля)

$i\partial _{t}\psi =-{1 \over 2}\partial _{x}^{2}\psi +\kappa |\psi |^{2}\psi$

для комплексного поля ψ ( x , t ).

Это уравнение возникает из гамильтониана ^{[ 8 ]}

H=\int \mathrm {d} x\left[{1 \over 2}|\partial _{x}\psi |^{2}+{\kappa  \over 2}|\psi |^{4}\right]

со скобками Пуассона

\{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)\}=0\,

\{\psi ^{*}(x),\psi (y)\}=i\delta (x-y).\,

В отличие от своего линейного аналога, он никогда не описывает эволюцию квантового состояния во времени. ^{[ нужна ссылка ]}

Случай с отрицательным κ называется фокусирующим и допускает яркие солитонные решения (локализованные в пространстве и имеющие пространственное затухание к бесконечности), а также бризерные решения. Ее можно точно решить, используя преобразование обратного рассеяния , как показано Захаровым и Шабатом (1972) (см. ниже ). Другой случай, когда κ положительный, представляет собой дефокусирующую НУШ, которая имеет темные солитонные решения (имеющие постоянную амплитуду на бесконечности и локальный пространственный провал по амплитуде). ^{[ 9 ]}

Квантовая механика

Чтобы получить квантованную версию , просто замените скобки Пуассона коммутаторами.

{\begin{aligned}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)]=0\\{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (x-y)\end{aligned}}

и нормального порядка гамильтониан

H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger }\partial _{x}\psi +{\kappa  \over 2}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].

Квантовая версия была решена с помощью анзаца Бете Либом и Линигером . Термодинамику описал Чэнь-Нин Ян . Квантовые корреляционные функции также были оценены Корепиным в 1993 году. ^{[ 6 ]} Модель имеет более высокие законы сохранения — Дэвис и Корепин в 1989 году выразили их через локальные поля. ^{[ 10 ]}

Решение уравнения

Нелинейное уравнение Шрёдингера интегрируется в 1d: Захаров и Шабат ( 1972 ) решили его с помощью обратного преобразования рассеяния . Соответствующая линейная система уравнений известна как система Захарова–Шабата :

{\begin{aligned}\phi _{x}&=J\phi \Lambda +U\phi \\\phi _{t}&=2J\phi \Lambda ^{2}+2U\phi \Lambda +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\phi ,\end{aligned}}

где

\Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\quad J=i\sigma _{z}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad U=i{\begin{pmatrix}0&q\\r&0\end{pmatrix}}.

Нелинейное уравнение Шрёдингера возникает как условие совместности системы Захарова–Шабата:

\phi _{xt}=\phi _{tx}\quad \Rightarrow \quad U_{t}=-JU_{xx}+2JU^{2}U\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}iq_{t}=q_{xx}+2qrq\\ir_{t}=-r_{xx}-2qrr.\end{cases}}

Полагая q = r * или q = − r *, получаем нелинейное уравнение Шредингера с притягивающим или отталкивающим взаимодействием.

Альтернативный подход напрямую использует систему Захарова – Шабата и следующее преобразование Дарбу :

{\begin{aligned}\phi \to \phi [1]&=\phi \Lambda -\sigma \phi \\U\to U[1]&=U+[J,\sigma ]\\\sigma &=\varphi \Omega \varphi ^{-1}\end{aligned}}

что оставляет систему инвариантной.

Здесь φ — другое обратимое матричное решение (отличное от φ ) системы Захарова–Шабата со спектральным параметром Ω:

{\begin{aligned}\varphi _{x}&=J\varphi \Omega +U\varphi \\\varphi _{t}&=2J\varphi \Omega ^{2}+2U\varphi \Omega +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\varphi .\end{aligned}}

Начиная с тривиального решения U = 0 и повторяя его, можно получить решения с n солитонами .

Уравнение НУШ представляет собой уравнение в частных производных, подобное уравнению Гросса – Питаевского . Обычно оно не имеет аналитического решения и использует те же численные методы, которые используются для решения уравнения Гросса – Питаевского, такие как расщепленный метод Кранка – Николсона. ^{[ 11 ]} и спектр Фурье ^{[ 12 ]} методы, используемые для ее решения. Для ее решения существуют различные программы на языках Fortran и C. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Галилеева инвариантность

Нелинейное уравнение Шрёдингера инвариантно Галилея в следующем смысле:

Учитывая решение ψ ( x, t ), новое решение можно получить, заменив x на x + vt всюду в ψ( x, t ) и добавив фазовый множитель $e^{-iv(x+vt/2)}\,$ :

\psi (x,t)\mapsto \psi _{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.

Нелинейное уравнение Шредингера в волоконной оптике

В оптике нелинейное уравнение Шредингера встречается в системе Манакова — модели распространения волн в волоконной оптике. Функция ψ представляет собой волну, а нелинейное уравнение Шредингера описывает распространение волны через нелинейную среду. Производная второго порядка представляет собой дисперсию, а член κ представляет нелинейность. Уравнение моделирует множество эффектов нелинейности в волокне, включая, помимо прочего, автомодуляцию , четырехволновое смешение , генерацию второй гармоники , вынужденное комбинационное рассеяние , оптические солитоны , сверхкороткие импульсы и т. д.

Нелинейное уравнение Шредингера в волнах на воде

Гиперболический секущий (sech) огибающий солитон для поверхностных волн на глубокой воде.
Синяя линия: волны на воде.
Красная линия: солитон огибающей.

Для волн на воде уравнение Шредингера описывает эволюцию огибающей модулированных групп нелинейное волн. В статье 1968 года Владимир Захаров описывает гамильтонову структуру водных волн. волны В той же статье Захаров показывает, что для медленно модулированных групп волн амплитуда приближенно удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера. ^{[ 15 ]} Значение параметра нелинейности к зависит от относительной глубины воды. Для глубокой воды, когда глубина воды велика по сравнению с длиной волны водных волн, к отрицательное и огибающей могут возникать солитоны . Кроме того, групповая скорость этих солитонов огибающей может быть увеличена за счет ускорения, вызванного внешним зависящим от времени потоком воды. ^{[ 16 ]}

Для мелкой воды с длинами волн, превышающими глубину воды в 4,6 раза, параметр нелинейности к положителен и группы волн с солитонами огибающей не существуют. На мелководье существуют солитоны возвышения поверхности или волны поступательного движения , но они не подчиняются нелинейному уравнению Шредингера.

Нелинейное уравнение Шрёдингера считается важным для объяснения образования волн-убийц . ^{[ 17 ]}

Комплексное . поле ψ , появляющееся в нелинейном уравнении Шрёдингера, связано с амплитудой и фазой волн на воде Рассмотрим медленно модулированную несущую волну с возвышением водной поверхности η вида:

\eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\theta (x_{0},t_{0})\right],

где a ( x0 _, x0 t0 _θ ) и ( — , _. t0 ) _и амплитуда фаза медленно модулированные Далее ω ₀ и k ₀ — (постоянные) угловая частота и волновое число несущих волн, которые должны удовлетворять дисперсионному соотношению ω ₀ = Ω( k ₀ ). Затем

\psi =a\;\exp \left(i\theta \right).

Итак, его модуль | ψ | – амплитуда волны a , а ее аргумент arg( ψ ) – фаза θ .

Связь между физическими координатами ( x ₀ , t ₀ ) и координатами ( x, t ), используемыми в приведенном выше нелинейном уравнении Шредингера , определяется выражением:

x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left[-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}

( x, t ) — преобразованная система координат, движущаяся с групповой скоростью Ω'( k0 _{Таким образом ,} ) несущих волн: дисперсионного соотношения Кривизна Ω"( k ₀ ), представляющая собой дисперсию групповой скорости , всегда отрицательна для волн на воде под действием силы тяжести при любой глубине воды.

Для волн на водной поверхности глубокой воды коэффициенты важности нелинейного уравнения Шрёдингера составляют:

\kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!

так

\Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_{0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!

где g — ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

В исходных координатах ( x ₀ , t ₀ ) нелинейное уравнение Шрёдингера для волн на воде имеет вид: ^{[ 18 ]}

i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,

с $A=\psi ^{*}$ (т.е. сопряженное комплексно - $\psi$ ) и $\nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).$ Так $\nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}$ для глубоких волн.

Эквивалентный аналог манометра

NLSE (1) калибровочно эквивалентен следующему изотропному уравнению Ландау-Лифшица (LLE) или ферромагнетика Гейзенберга уравнению

{\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.\qquad

Обратите внимание, что это уравнение допускает несколько интегрируемых и неинтегрируемых обобщений в 2 + 1 измерениях, таких как уравнение Ишимори и так далее.

Формулировка нулевой кривизны

NLSE эквивалентен кривизне конкретного ${\mathfrak {su}}(2)$ - подключение включено $\mathbb {R} ^{2}$ быть равным нулю. ^{[ 19 ]}

Явно, с координатами $(x,t)$ на $\mathbb {R} ^{2}$ , компоненты соединения $A_{\mu }$ даны $A_{x}={\begin{pmatrix}i\lambda &i\varphi ^{*}\\i\varphi &-i\lambda \end{pmatrix}}$ $A_{t}={\begin{pmatrix}2i\lambda ^{2}-i|\varphi |^{2}&2i\lambda \varphi ^{*}+\varphi _{x}^{*}\\2i\lambda \varphi -\varphi _{x}&-2i\lambda ^{2}+i|\varphi |^{2}\end{pmatrix}}$ где $\sigma _{i}$ — матрицы Паули . Тогда уравнение нулевой кривизны $\partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0$

эквивалентно NLSE $i\varphi _{t}+\varphi _{xx}+2|\varphi |^{2}\varphi =0$ . Уравнение нулевой кривизны названо так, поскольку оно соответствует кривизне, равной нулю, если она определена $F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]$ .

Пара матриц $A_{x}$ и $A_{t}$ также известны как пара Лакса для NLSE в том смысле, что уравнение нулевой кривизны восстанавливает УЧП, а не удовлетворяет уравнению Лакса.

Связь с вихрями

Хасимото (1972) показал, что работа да Риоса ( 1906 ) по вихревым нитям тесно связана с нелинейным уравнением Шрёдингера. Впоследствии Салман (2013) использовал это соответствие, чтобы показать, что бризерные решения могут возникать и для вихревой нити.

См. также

Система АКНС
Уравнение углового дома
Кварцевое взаимодействие для родственной модели квантовой теории поля
Солитон (оптика)
Логарифмическое уравнение Шрёдингера

Примечания

^ Возможным источником путаницы здесь является теорема о статистике спина , которая требует, чтобы фермионы имели полуцелый спин; однако это теорема релятивистских 3+1-мерных квантовых теорий поля и, следовательно, неприменима в этом одномерном, нерелятивистском случае.

Ссылки

Примечания

^ Рисунок 1 из: Онорато, М.; Промент, Д.; Клаусс, Г .; Кляйн, М. (2013), «Боевые волны: от нелинейных бризеров Шрёдингера к испытаниям на мореходность», PLOS ONE , 8 (2): e54629, Bibcode : 2013PLoSO...854629O , doi : 10.1371/journal.pone. 0054629 , ЧВК 3566097 , ПМИД 23405086
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Маломед, Борис (2005), «Нелинейные уравнения Шрёдингера», Скотт, Олвин (ред.), Энциклопедия нелинейной науки , Нью-Йорк: Routledge, стр. 639–643.
^ Питаевский Л.; Стрингари, С. (2003), Конденсация Бозе-Эйнштейна , Оксфорд, Великобритания: Кларендон
^ Гуревич А.В. (1978), Нелинейные явления в ионосфере , Берлин: Springer.
^ Балакришнан, Р. (1985). «Распространение солитона в неоднородных средах». Физический обзор А. 32 (2): 1144–1149. Бибкод : 1985PhRvA..32.1144B . дои : 10.1103/PhysRevA.32.1144 . ПМИД 9896172 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Корепин В.Е.; Боголюбов, Н.М.; Изергин, А.Г. (1993). Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-58646-7 .
^ Г. Фалькович (2011). Механика жидкости (Краткий курс для физиков) . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00575-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б В.Е. Захаров ; С.В. Манаков (1974). «О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шрёдингера». Журнал теоретической и математической физики . 19 (3): 551–559. Бибкод : 1974TMP....19..551Z . дои : 10.1007/BF01035568 . S2CID 121253212 . Первоначально в: Теоретическая и математическая физика 19 (3): 332–343. Июнь 1974 года.
^ Абловиц, М.Дж. (2011), Нелинейные дисперсионные волны. Асимптотический анализ и солитоны , Cambridge University Press, стр. 152–156, ISBN 978-1-107-01254-7
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 мая 2012 г. Проверено 4 сентября 2011 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ П. Муруганандам и С.К. Адхикари (2009). «Программы на Фортране для нестационарного уравнения Гросса – Питаевского в полностью анизотропной ловушке». Вычислить. Физ. Коммун . 180 (3): 1888–1912. arXiv : 0904.3131 . Бибкод : 2009CoPhC.180.1888M . дои : 10.1016/j.cpc.2009.04.015 . S2CID 7403553 .
^ П. Муруганандам и С.К. Адхикари (2003). «Динамика бозе-эйнштейновской конденсации в трех измерениях псевдоспектральными и конечно-разностными методами». Дж. Физ. Б. 36 (12): 2501–2514. arXiv : cond-mat/0210177 . Бибкод : 2003JPhB...36.2501M . дои : 10.1088/0953-4075/36/12/310 . S2CID 13180020 .
^ Д. Вудрагович; и др. (2012). «Программы на языке C для нестационарного уравнения Гросса – Питаевского в полностью анизотропной ловушке». Вычислить. Физ. Коммун . 183 (9): 2021–2025. arXiv : 1206.1361 . Бибкод : 2012CoPhC.183.2021V . дои : 10.1016/j.cpc.2012.03.022 . S2CID 12031850 .
^ Л.Е. Янг-С.; и др. (2016). «Программы OpenMP на Фортране и C для нестационарного уравнения Гросса – Питаевского в полностью анизотропной ловушке». Вычислить. Физ. Коммун . 204 (9): 209–213. arXiv : 1605.03958 . Бибкод : 2016CoPhC.204..209Y . дои : 10.1016/j.cpc.2016.03.015 . S2CID 206999817 .
^ В.Е. Захаров (1968). «Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости». Журнал прикладной механики и технической физики . 9 (2): 190–194. Бибкод : 1968JAMTP...9..190Z . дои : 10.1007/BF00913182 . S2CID 55755251 . Первоначально в: Журнал Прикладной Механики и Технической Физики 9 (2): 86–94, 1968.]
^ Г.Г. Розенман, А. Арье, Л. Шемер (2019). «Наблюдение ускоряющихся одиночных волновых пакетов». Физ. Преподобный Е. 101 (5): 050201. doi : 10.1103/PhysRevE.101.050201 . ПМИД 32575227 . S2CID 219506298 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Дист, К.; Крогстад, HE; Мюллер, П. (2008). «Океанские волны-убийцы». Ежегодный обзор механики жидкости . 40 (1): 287–310. Бибкод : 2008AnRFM..40..287D . doi : 10.1146/annurev.fluid.40.111406.102203 .
^ Уизем, Великобритания (1974). Линейные и нелинейные волны . Уайли-Интерсайенс. стр. 601–606 и 489–491. ISBN 0-471-94090-9 .
^ Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 49. ИСБН 978-0-19-857063-9 .

Другой

Цзяо, Республика Корея; Гармир, Э.; Таунс, CH (1964), "Самозахват оптических лучей", Phys. Преподобный Летт. , 13 (15): 479–482, Бибкод : 1964PhRvL..13..479C , doi : 10.1103/PhysRevLett.13.479
да Риос, Луиджи Санте (1906), «О движении неопределенной жидкости с вихревой нитью любой формы» , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке), 22 : 117–135, doi : 10.1007/BF03018608 , JFM 37.0764.01 , S2CID 120549348
Хасимото, Хиденори (1972), «Солитон на вихревой нити», Journal of Fluid Mechanics , 51 (3): 477–485, Bibcode : 1972JFM....51..477H , doi : 10.1017/S0022112072002307 , S2CID 123315958
Салман, Хайдер (2013), «Бризеры на квантованных сверхтекучих вихрях», Phys. Преподобный Летт. , 111 (16): 165301, arXiv : 1307.7531 , Bibcode : 2013PhRvL.111p5301S , doi : 10.1103/PhysRevLett.111.165301 , PMID 24182275 , S2CID 25062555
Захаров В.Е.; Шабат, AB (1972), «Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуляции волн в нелинейных средах» , Журнал экспериментальной и теоретической физики , 34 (1): 62–69, Бибкод : 1972JETP ...34...62Z , MR 0406174 , заархивировано из оригинала 07 марта 2016 г. , получено 11 мая 2013 г.

Внешние ссылки

«Нелинейные системы Шрёдингера» . Схоларпедия .
Учебная лекция по нелинейному уравнению Шредингера (видео) .
Нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью в EqWorld: мир математических уравнений.
Нелинейное уравнение Шредингера со степенной нелинейностью в EqWorld: мир математических уравнений.
Нелинейное уравнение Шредингера общего вида в EqWorld: мир математических уравнений.
Математические аспекты нелинейного уравнения Шредингера в Dispersive Wiki

[6] Возможным источником путаницы здесь является теорема о статистике спина , которая требует, чтобы фермионы имели полуцелый спин; однако это теорема релятивистских 3+1-мерных квантовых теорий поля и, следовательно, неприменима в этом одномерном, нерелятивистском случае.

[1] Рисунок 1 из: Онорато, М.; Промент, Д.; Клаусс, Г .; Кляйн, М. (2013), «Боевые волны: от нелинейных бризеров Шрёдингера к испытаниям на мореходность», PLOS ONE , 8 (2): e54629, Bibcode : 2013PLoSO...854629O , doi : 10.1371/journal.pone. 0054629 , ЧВК 3566097 , ПМИД 23405086

[Enc_Nonlin_Sci-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Маломед, Борис (2005), «Нелинейные уравнения Шрёдингера», Скотт, Олвин (ред.), Энциклопедия нелинейной науки , Нью-Йорк: Routledge, стр. 639–643.

[Pitaevskii_and_Stringari-3] Питаевский Л.; Стрингари, С. (2003), Конденсация Бозе-Эйнштейна , Оксфорд, Великобритания: Кларендон

[Gurevich-4] Гуревич А.В. (1978), Нелинейные явления в ионосфере , Берлин: Springer.

[Balakrishnan_1985-5] Балакришнан, Р. (1985). «Распространение солитона в неоднородных средах». Физический обзор А. 32 (2): 1144–1149. Бибкод : 1985PhRvA..32.1144B . дои : 10.1103/PhysRevA.32.1144 . ПМИД 9896172 .

[Korepin_1993-7] Перейти обратно: ^а ^б Корепин В.Е.; Боголюбов, Н.М.; Изергин, А.Г. (1993). Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-58646-7 .

[Falkovich-8] Г. Фалькович (2011). Механика жидкости (Краткий курс для физиков) . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00575-4 .

[Zakharov_Manakov-9] Перейти обратно: ^а ^б В.Е. Захаров ; С.В. Манаков (1974). «О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шрёдингера». Журнал теоретической и математической физики . 19 (3): 551–559. Бибкод : 1974TMP....19..551Z . дои : 10.1007/BF01035568 . S2CID 121253212 . Первоначально в: Теоретическая и математическая физика 19 (3): 332–343. Июнь 1974 года.

[10] Абловиц, М.Дж. (2011), Нелинейные дисперсионные волны. Асимптотический анализ и солитоны , Cambridge University Press, стр. 152–156, ISBN 978-1-107-01254-7

[11] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 мая 2012 г. Проверено 4 сентября 2011 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[12] П. Муруганандам и С.К. Адхикари (2009). «Программы на Фортране для нестационарного уравнения Гросса – Питаевского в полностью анизотропной ловушке». Вычислить. Физ. Коммун . 180 (3): 1888–1912. arXiv : 0904.3131 . Бибкод : 2009CoPhC.180.1888M . дои : 10.1016/j.cpc.2009.04.015 . S2CID 7403553 .

[13] П. Муруганандам и С.К. Адхикари (2003). «Динамика бозе-эйнштейновской конденсации в трех измерениях псевдоспектральными и конечно-разностными методами». Дж. Физ. Б. 36 (12): 2501–2514. arXiv : cond-mat/0210177 . Бибкод : 2003JPhB...36.2501M . дои : 10.1088/0953-4075/36/12/310 . S2CID 13180020 .

[14] Д. Вудрагович; и др. (2012). «Программы на языке C для нестационарного уравнения Гросса – Питаевского в полностью анизотропной ловушке». Вычислить. Физ. Коммун . 183 (9): 2021–2025. arXiv : 1206.1361 . Бибкод : 2012CoPhC.183.2021V . дои : 10.1016/j.cpc.2012.03.022 . S2CID 12031850 .

[15] Л.Е. Янг-С.; и др. (2016). «Программы OpenMP на Фортране и C для нестационарного уравнения Гросса – Питаевского в полностью анизотропной ловушке». Вычислить. Физ. Коммун . 204 (9): 209–213. arXiv : 1605.03958 . Бибкод : 2016CoPhC.204..209Y . дои : 10.1016/j.cpc.2016.03.015 . S2CID 206999817 .

[16] В.Е. Захаров (1968). «Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости». Журнал прикладной механики и технической физики . 9 (2): 190–194. Бибкод : 1968JAMTP...9..190Z . дои : 10.1007/BF00913182 . S2CID 55755251 . Первоначально в: Журнал Прикладной Механики и Технической Физики 9 (2): 86–94, 1968.]

[17] Г.Г. Розенман, А. Арье, Л. Шемер (2019). «Наблюдение ускоряющихся одиночных волновых пакетов». Физ. Преподобный Е. 101 (5): 050201. doi : 10.1103/PhysRevE.101.050201 . ПМИД 32575227 . S2CID 219506298 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[18] Дист, К.; Крогстад, HE; Мюллер, П. (2008). «Океанские волны-убийцы». Ежегодный обзор механики жидкости . 40 (1): 287–310. Бибкод : 2008AnRFM..40..287D . doi : 10.1146/annurev.fluid.40.111406.102203 .

[19] Уизем, Великобритания (1974). Линейные и нелинейные волны . Уайли-Интерсайенс. стр. 601–606 и 489–491. ISBN 0-471-94090-9 .

[SIT-20] Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 49. ИСБН 978-0-19-857063-9 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ номер 1 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]