Поле Шрёдингера

В квантовой механике и квантовой теории поля поле Шредингера , названное в честь Эрвина Шредингера , представляет собой квантовое поле , которое подчиняется уравнению Шрёдингера . Хотя любая ситуация, описываемая полем Шредингера, также может быть описана уравнением Шредингера для многих тел для идентичных частиц, теория поля больше подходит для ситуаций, когда число частиц изменяется.

Поле Шредингера также является классическим пределом квантового поля Шредингера, классической волны, удовлетворяющей уравнению Шредингера. В отличие от квантово-механической волновой функции, если между частицами существует взаимодействие, уравнение будет нелинейным . Эти нелинейные уравнения описывают классический волновой предел системы взаимодействующих одинаковых частиц.

Интеграл по путям поля Шредингера также известен как интеграл по путям когерентного состояния, поскольку само поле представляет собой оператор уничтожения, собственные состояния которого можно рассматривать как когерентные состояния гармонических колебаний мод поля.

Поля Шрёдингера полезны для описания конденсации Бозе-Эйнштейна , Боголюбова - де Жена уравнения сверхпроводимости , сверхтекучести и теории многих тел в целом. Они также являются полезным альтернативным формализмом нерелятивистской квантовой механики.

Поле Шрёдингера — это нерелятивистский предел поля Клейна–Гордона .

Краткое содержание

Поле Шрёдингера — это квантовое поле которого , кванты подчиняются уравнению Шрёдингера . В классическом пределе его можно понимать как квантованное волновое уравнение бозе -эйнштейновского конденсата или сверхтекучей жидкости .

Свободное поле

Поле Шрёдингера имеет лагранжиан свободного поля.

$L=\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi .$

Когда $\psi$ представляет собой комплексное поле в интеграле по путям или, что то же самое, оператор с каноническими коммутационными соотношениями. Оно описывает набор идентичных нерелятивистских бозонов. Когда $\psi$ является полем со значениями Грассмана или, что то же самое, оператором с каноническими антикоммутационными соотношениями, поле описывает идентичные фермионы.

Внешний потенциал

Если частицы взаимодействуют с внешним потенциалом $V(x)$, взаимодействие вносит локальный вклад в действие:

$S=\int _{xt}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi -\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)V(x).$

Операторы поля подчиняются уравнениям движения Эйлера – Лагранжа, соответствующим плотности лагранжиана поля Шрёдингера:

${\mathcal {L}}=i\psi ^{\dagger }\partial _{o}\psi -{\frac {1}{2m}}(\partial _{i}\psi ^{\dagger }\partial ^{i}\psi )-V\psi ^{\dagger }\psi$

Получение уравнений движения Шрёдингера:

$\,\,i\partial _{o}\psi (x^{\mu })=\left({\frac {-\Delta }{2m}}+V({\vec {x}})\right)\psi (x^{\mu })$

$-i\partial _{o}\psi ^{\dagger }(x^{\mu })=\left({\frac {-\Delta }{2m}}+V({\vec {x}})\right)\psi ^{\dagger }(x^{\mu })$

Если обычное уравнение Шредингера для V имеет известные собственные состояния энергии $\phi _{i}(x)$ с энергиями $E_{i}$, то поле в действии можно повернуть в диагональную основу путем расширения мод:

$\psi (x)=\sum _{i}\psi _{i}\phi _{i}(x).\,$

Действие становится:

$S=\int _{t}\sum _{i}\psi _{i}^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}-E_{i}\right)\psi _{i}\,$

который представляет собой интеграл по траектории положения-импульса для набора независимых гармонических осцилляторов.

Чтобы увидеть эквивалентность, обратите внимание, что разложенное на действительную и мнимую части действие выглядит так:

$S=\int _{t}\sum _{i}2\psi _{r}{d\psi _{i} \over dt}-E_{i}(\psi _{r}^{2}+\psi _{i}^{2})$

после интегрирования по частям. Интеграция более $\psi _{r}$ дает действие

$S=\int _{t}\sum _{i}{1 \over E_{i}}\left({\frac {d\psi _{i}}{dt}}\right)^{2}-E_{i}\psi _{i}^{2}$

который, изменяя масштаб ${\textstyle \psi _{i}}$, представляет собой действие гармонического осциллятора с частотой $E_{i}$.

Парный потенциал

При взаимодействии частиц с парным потенциалом $V(x_{1},x_{2})$, взаимодействие является нелокальным вкладом в действие:

$S=\int _{xt}\psi ^{\dagger }\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi -\int _{xy}\psi ^{\dagger }(y)\psi ^{\dagger }(x)V(x,y)\psi (x)\psi (y).$

Парный потенциал — это нерелятивистский предел релятивистского поля, связанного с электродинамикой. Если пренебречь распространяющимися степенями свободы, то взаимодействие между нерелятивистскими электронами представляет собой кулоновское отталкивание. В измерениях 2+1 это:

$V(x,y)={j^{2} \over |y-x|}.$

В сочетании с внешним потенциалом для моделирования классических положений ядер поле Шредингера с этим парным потенциалом описывает почти всю физику конденсированного состояния. Исключением являются такие эффекты, как сверхтекучесть, где важна квантовомеханическая интерференция ядер, и электроны внутренней оболочки, где движение электронов может быть релятивистским.

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Частный случай взаимодействия дельта-функции $V(x_{1},x_{2})=\lambda \delta (x_{1}-x_{2})$ широко изучено и известно как нелинейное уравнение Шрёдингера . Поскольку взаимодействия всегда происходят, когда две частицы занимают одну и ту же точку, действие нелинейного уравнения Шредингера является локальным:

$S=\int _{x}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi +\lambda \int _{x}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi$

Сила взаимодействия $\lambda$ требует перенормировки в размерностях выше 2, а в двух измерениях имеет логарифмическую расходимость. В любых измерениях и даже при степенной расходимости теория четко определена. Если частицы являются фермионами, взаимодействие исчезает.

Многочастичные потенциалы

Потенциалы могут включать в себя вклады многих тел. Взаимодействующий лагранжиан тогда:

$L_{i}=\int _{x}\psi ^{\dagger }(x_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2})\cdots \psi ^{\dagger }(x_{n})V(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\psi (x_{1})\psi (x_{2})\cdots \psi (x_{n}).\,$

Эти типы потенциалов важны для некоторых эффективных описаний плотноупакованных атомов. Взаимодействия более высокого порядка становятся все менее и менее важными.

Канонический формализм

Связь канонического импульса с полем $\psi$ является

$\Pi (x)=i\psi ^{\dagger }.\,$

Канонические коммутационные соотношения подобны независимому гармоническому осциллятору в каждой точке:

$[\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y).$

Гамильтониан поля

$H=S-\int \Pi (x){d \over dt}\psi =\int {|\nabla \psi |^{2} \over 2m}+\int _{xy}\psi ^{\dagger }(x)\psi ^{\dagger }(y)V(x,y)\psi (x)\psi (y)\,$

а уравнение поля для любого взаимодействия представляет собой нелинейную и нелокальную версию уравнения Шрёдингера. Для парных взаимодействий:

$i{\partial \over \partial t}\psi =-{\nabla ^{2} \over 2m}\psi +\left(\int _{y}V(x,y)\psi ^{\dagger }(y)\psi (y)\right)\psi (x).\,$

Теория возмущений

Разложение в диаграммах Фейнмана называется теорией возмущений многих тел . Распространитель ​ ​

$G(k)={1 \over i\omega -{k^{2} \over 2m}}.\,$

Вершина взаимодействия представляет собой преобразование Фурье парного потенциала. Во всех взаимодействиях количество входящих и исходящих линий одинаково.

Экспозиция

Идентичные частицы

Уравнение Шредингера для многих тел для идентичных частиц описывает эволюцию во времени волновой функции многих тел ψ ( x ₁ , x ₂ ... x _N ), которая представляет собой амплитуду вероятности для N частиц иметь перечисленные положения. Уравнение Шредингера для ψ :

$i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =\left({\frac {\nabla _{1}^{2}}{2m}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2m}}+\cdots +{\frac {\nabla _{N}^{2}}{2m}}+V(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})\right)\psi \,$

с гамильтонианом

$H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+\cdots +{\frac {p_{N}^{2}}{2m}}+V(x_{1},\dots ,x_{N}).\,$

Поскольку частицы неразличимы, волновая функция имеет некоторую симметрию при переключении позиции. Или

1. $\psi (x_{1},x_{2},\dots )=\psi (x_{2},x_{1},\dots )\qquad \quad {\text{for bosons}}$,
2. $\psi (x_{1},x_{2},\dots )=-\psi (x_{2},x_{1},\dots )\qquad {\text{for fermions}}$.

Поскольку частицы неразличимы, потенциал V должен оставаться неизменным при перестановках. Если

$V(x_{1},\dots ,x_{N})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+\cdots +V_{N}(x_{N})\,$

тогда должно быть так, что $V_{1}=V_{2}=\cdots =V_{N}$. Если

$V(x_{1}...,x_{N})=V_{1,2}(x_{1},x_{2})+V_{1,3}(x_{2},x_{3})+V_{2,3}(x_{1},x_{2})\,$

затем $V_{1,2}=V_{1,3}=V_{2,3}$ и так далее.

В формализме уравнения Шредингера ограничения на потенциал являются специальными, и классический волновой предел трудно достичь. Он также имеет ограниченную полезность, если система открыта для окружающей среды, поскольку частицы могут согласованно входить и выходить.

Нерелятивистское пространство Фока

Поле Шредингера определяется путем расширения гильбертова пространства состояний за счет включения конфигураций с произвольным числом частиц. Почти полной основой для этого набора состояний является набор:

$|N;x_{1},\ldots ,x_{N}\rangle \,$

помечены общим количеством частиц и их положением. Произвольное состояние с частицами в отдельных позициях описывается суперпозицией состояний такого вида.

$\psi _{0}|0\rangle +\int _{x}\psi _{1}(x)|1;x\rangle +\int _{x_{1}x_{2}}\psi _{2}(x_{1},x_{2})|2;x_{1}x_{2}\rangle +\ldots \,$

В этом формализме имейте в виду, что любые два состояния, позиции которых могут быть переставлены друг в друга, на самом деле одинаковы, поэтому области интеграции должны избегать двойного счета. Также имейте в виду, что состояния с более чем одной частицей в одной и той же точке еще не определены. Количество $\psi _{0}$ – это амплитуда отсутствия частиц, а ее абсолютный квадрат – это вероятность того, что система находится в вакууме.

Чтобы воспроизвести описание Шредингера, внутренний продукт базисных состояний должен быть

$\langle 1;x_{1}|1;y_{1}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\,$

$\langle 2;x_{1}x_{2}|2;y_{1}y_{2}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\delta (x_{2}-y_{2})\pm \delta (x_{1}-y_{2})\delta (x_{2}-y_{1})\,$

и так далее. Поскольку для бозонов и фермионов обсуждение почти одинаково, хотя их физические свойства различны, в дальнейшем частицы будут бозонами.

В этом гильбертовом пространстве существуют естественные операторы. Один оператор по имени ${\textstyle \psi ^{\dagger }(x)}$, — оператор, который вводит дополнительную частицу в точке x. Оно определяется для каждого базового состояния:

$\psi ^{\dagger }(x)\left|N;x_{1},\dots ,x_{n}\right\rangle =\left|N+1;x_{1},\dots ,x_{n},x\right\rangle$

с небольшой двусмысленностью, когда частица уже находится в точке x.

Другой оператор удаляет частицу в точке x и называется $\psi$. Этот оператор является сопряженным оператору $\psi ^{\dagger }$. Потому что ${\textstyle \psi ^{\dagger }}$ не имеет матричных элементов, которые связаны с состояниями без частиц в точке x, $\psi$ должен давать ноль при воздействии на такое состояние.

$\psi (x)\left|N;x_{1},\dots ,x_{N}\right\rangle =\delta (x-x_{1})\left|N-1;x_{2},\dots ,x_{N}\right\rangle +\delta (x-x_{2})\left|N-1;x_{1},x_{3},\dots ,x_{N}\right\rangle +\cdots$

Позиционный базис — неудобный способ понять совпадающие частицы, поскольку состояния с частицей, локализованной в одной точке, имеют бесконечную энергию, поэтому интуиция затруднена. Чтобы увидеть, что происходит, когда две частицы находятся в одной и той же точке, математически проще всего либо превратить пространство в дискретную решетку , либо преобразовать Фурье поле в конечном объеме.

Оператор

$\psi ^{\dagger }(k)=\int _{x}e^{-ikx}\psi ^{\dagger }(x)\,$

создает суперпозицию состояний одной частицы в состоянии плоской волны с импульсом k , другими словами, создает новую частицу с импульсом k . Оператор

$\psi (k)=\int _{x}e^{ikx}\psi (x)\,$

аннигилирует частицу с импульсом k .

Если потенциальная энергия взаимодействия бесконечно удаленных частиц обращается в нуль, операторы преобразования Фурье в бесконечном объеме создают состояния, которые не взаимодействуют. Состояния бесконечно разбросаны, и вероятность того, что частицы находятся рядом, равна нулю.

Матричные элементы для операторов между несовпадающими точками восстанавливают матричные элементы преобразования Фурье между всеми режимами:

1. $\psi ^{\dagger }(k)\psi ^{\dagger }(k')-\psi ^{\dagger }(k')\psi ^{\dagger }(k)=0\,$
2. $\psi (k)\psi (k')-\psi (k')\psi (k)=0\,$
3. $\psi (k)\psi ^{\dagger }(k')-\psi (k')\psi ^{\dagger }(k)=\delta (k-k')\,$

где дельта-функция — это либо дельта-функция Дирака , либо дельта Кронекера , в зависимости от того, бесконечен или конечен объем.

Коммутационные соотношения теперь полностью определяют операторы, и когда пространственный объем конечен, нет концептуальных препятствий для понимания совпадающих импульсов, поскольку импульсы дискретны. В базисе дискретного импульса базисными состояниями являются:

$|n_{1},n_{2},...n_{k}\rangle \,$

где n — число частиц с каждым импульсом. Для фермионов и анионов число частиц при любом импульсе всегда равно нулю или единице. Операторы ${\textstyle \psi _{k}}$ имеют гармонический осциллятор, подобный матричным элементам между состояниями, независимыми от взаимодействия:

$\psi ^{\dagger }(k)|\dots ,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}+1}}\,|\dots ,n_{k}+1,\ldots \rangle$

$\psi (k)\left|\dots ,n_{k},\ldots \right\rangle ={\sqrt {n_{k}}}\left|\dots ,n_{k}-1,\ldots \right\rangle$

Так что оператор

$\sum _{k}\psi ^{\dagger }(k)\psi (k)=\int _{x}\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)$

подсчитывает общее количество частиц.

Теперь легко видеть, что матричные элементы ${\textstyle \psi (x)}$ и ${\textstyle \psi ^{\dagger }(x)}$ также имеют коммутационные соотношения гармонического генератора.

1. $[\psi (x),\psi (y)]=[\psi ^{\dagger }(x),\psi ^{\dagger }(y)]=0$
2. $[\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y)$

Так что с совпадающими частицами в позиционном пространстве действительно нет никаких сложностей.

Оператор ${\textstyle \psi ^{\dagger }(x)\psi (x)}$ который удаляет и заменяет частицу, действует как датчик, определяющий наличие частицы в точке x . Оператор ${\textstyle \psi ^{\dagger }\nabla \psi }$ умножает состояние на градиент волновой функции многих тел. Оператор

$H=-\int _{x}\psi ^{\dagger }(x){\nabla ^{2} \over 2m}\psi (x)\,$

действует для воспроизведения правой части уравнения Шредингера при воздействии на любое базисное состояние, так что

$\psi ^{\dagger }i{d \over dt}\psi =\psi ^{\dagger }{-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,$

выполняется как операторное уравнение. Поскольку это верно для произвольного состояния, это верно и без ${\textstyle \psi ^{\dagger }}$.

$i{\partial \over \partial t}\psi ={-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,$

Чтобы добавить взаимодействия, добавьте нелинейные члены в уравнения поля. Форма поля автоматически обеспечивает соблюдение ограничений симметрии для потенциалов.

Полевой гамильтониан

Гамильтониан поля, воспроизводящий уравнения движения, имеет вид

$H={\nabla \psi ^{\dagger }\nabla \psi \over 2m}$

Уравнения движения Гейзенберга для этого оператора воспроизводят уравнение движения поля.

Чтобы найти классический лагранжиан поля, примените преобразование Лежандра к классическому пределу гамильтониана.

$L=\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi \,$

Хотя с классической точки зрения это верно, квантовомеханическое преобразование не является полностью концептуально простым, поскольку интеграл по путям осуществляется по собственным значениям операторов ψ, которые не являются эрмитовыми и собственные векторы которых не ортогональны. Таким образом, интеграл по путям по состояниям поля кажется наивным пересчетом. Это не так, поскольку член производной по времени в L включает перекрытие между различными состояниями поля.

Связь с полем Клейна – Гордона

Нерелятивистский предел как $c\to \infty$ любого поля Клейна-Гордона есть два поля Шредингера, представляющие частицу и античастицу. Для наглядности при этом выводе сохранены все единицы и константы. Из пространства импульса операторов уничтожения ${\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {b}}_{\mathbf {p} }$ релятивистского поля определяют

${\hat {a}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x},\quad {\hat {b}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x}$,

такой, что ${\hat {\phi }}(x)={\hat {a}}(x)+{\hat {b}}^{\dagger }(x)$. Определение двух «нерелятивистских» полей ${\hat {A}}(x)$ и ${\hat {B}}(x)$,

${\hat {a}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {A}}(x),\quad {\hat {b}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {B}}(x)$,

которые исключают быстро осциллирующую фазу из-за массы покоя плюс остатков релятивистской меры, лагранжевой плотности $L=(\hbar c)^{2}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi ^{\dagger }-(mc^{2})^{2}\phi \phi ^{\dagger }$ становится

${\begin{aligned}L&=\left(\hbar c\right)^{2}\left(\partial _{\mu }{\hat {a}}\partial ^{\mu }{\hat {a}}^{\dagger }+\partial _{\mu }{\hat {b}}\partial ^{\mu }{\hat {b}}^{\dagger }+\cdots \right)-\left(mc^{2}\right)^{2}\left({\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }+\cdots \right)\\&={\frac {1}{2mc^{2}}}\left[\left(\hbar c\right)^{2}\left({\frac {-imc}{\hbar }}{\hat {A}}+\partial _{0}{\hat {A}}\right)\left({\frac {imc}{\hbar }}{\hat {A}}^{\dagger }+\partial ^{0}{\hat {A}}^{\dagger }\right)-\left(\hbar c\right)^{2}\partial _{x}{\hat {A}}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }+(A\Rightarrow B)+\cdots -\left(mc^{2}\right)^{2}\left({\hat {A}}{\hat {A}}^{\dagger }+{\hat {B}}{\hat {B}}^{\dagger }+\cdots \right)\right]\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {imc}{\hbar }}\left(\partial _{0}{\hat {A}}{\hat {A}}^{\dagger }-{\hat {A}}\partial ^{0}{\hat {A}}^{\dagger }\right)+\partial _{\mu }{\hat {A}}\partial ^{\mu }{\hat {A}}^{\dagger }+(A\Rightarrow B)+\cdots \right]\end{aligned}}$

где члены, пропорциональные $e^{\pm 2imc^{2}t/\hbar }$ изображаются эллипсами и исчезают в нерелятивистском пределе. При расширении четырехградиента полная расходимость игнорируется и члены пропорциональны ${\textstyle {1}/{c}}$ также исчезают в нерелятивистском пределе. После интегрирования по частям

${\begin{aligned}L_{A}&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\hat {A}}'{{\hat {A}}'}^{\dagger }-\partial _{x}{\hat {A}}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[-\left(\partial _{x}\left({\hat {A}}\,\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }\right)-{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }\right)\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }.\end{aligned}}$

Окончательный лагранжиан принимает вид

$L={\frac {1}{2}}\left[{\hat {A}}^{\dagger }\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}\right){\hat {A}}+{\hat {B}}^{\dagger }\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}\right){\hat {B}}+{\text{h.c.}}\right].$