Четырехградиентный

В дифференциальной геометрии четырехградиент градиент (или 4- ) ${\boldsymbol {\partial }}$ — четырехвекторный градиента аналог ${\vec {\boldsymbol {\nabla }}}$ из векторного исчисления .

В специальной теории относительности и в квантовой механике четырёхградиент используется для определения свойств и отношений между различными физическими четырёхвекторами и тензорами .

Обозначения

В этой статье используется (+ − − −) метрическая сигнатура .

СР и ОТО — это аббревиатуры специальной теории относительности и общей теории относительности соответственно.

$c$ указывает скорость света в вакууме.

$\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ — плоская пространства-времени метрика SR.

В физике существуют альтернативные способы записи четырехвекторных выражений:

• четырехвекторный стиль : Можно использовать $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$, который обычно более компактен и может использовать векторную нотацию (например, «точку» внутреннего произведения), всегда используя жирный верхний регистр для обозначения четырехвектора и жирный нижний регистр для обозначения трехмерных векторов, например ${\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}$. Большинство правил трехмерных векторов имеют аналоги в четырехвекторной математике.
• Стиль исчисления Риччи можно использовать: $A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }$, который использует обозначение тензорного индекса и полезен для более сложных выражений, особенно тех, которые включают тензоры с более чем одним индексом, например $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$.

Индекс латинского тензора варьируется в пределах {1, 2, 3} и представляет собой трехмерный вектор, например $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$.

Индекс греческого тензора варьируется в пределах {0, 1, 2, 3} и представляет собой 4-вектор, например $A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A}$.

В физике СИ обычно используют краткую смесь, например $\mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)$, где $a^{0}$ представляет временной компонент и ${\vec {\mathbf {a} }}$ представляет пространственную 3-компоненту.

Тензоры в SR обычно четырехмерные. $(m,n)$-тензоры, с $m$ верхние индексы и $n$ нижние индексы, при этом 4D указывает на 4 измерения = количество значений, которые может принимать каждый индекс.

Тензорное сжатие, используемое в метрике Минковского, может идти в любую сторону (см. обозначения Эйнштейна ):

$$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}$$

Определение

4-градиентные ковариантные компоненты, компактно записанные в четырехвекторных обозначениях и обозначениях исчисления Риччи :

$${\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }$$

Запятая в последней части выше ${}_{,\mu }$ подразумевает частное дифференцирование по 4-позиции $X^{\mu }$.

Контравариантными компонентами являются:

$${\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)$$

Альтернативные символы $\partial _{\alpha }$ являются $\Box$ и Д (хотя $\Box$ также может означать $\partial ^{\mu }\partial _{\mu }$ как оператор Даламбера ).

В ОТО необходимо использовать более общий метрический тензор $g^{\alpha \beta }$ и тензорная ковариантная производная $\nabla _{\mu }={}_{;\mu }$ (не путать с векторным 3-градиентом ${\vec {\nabla }}$).

Ковариантная производная $\nabla _{\nu }$ включает в себя 4-градиент $\partial _{\nu }$ плюс пространства-времени эффекты кривизны через символы Кристоффеля $\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }$

Строгий принцип эквивалентности можно сформулировать так:

«Любой физический закон, который может быть выражен в тензорной записи в СТО, имеет точно такую ​​же форму в локально инерциальной системе отсчета искривленного пространства-времени». Запятые с 4 градиентами (,) в SR просто заменяются на ковариантные производные точки с запятой (;) в GR, причем связь между ними осуществляется с помощью символов Кристоффеля . В физике относительности это известно как «правило от запятой до точки с запятой».

Так, например, если $T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ в СР, тогда $T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0$ в ГР.

На (1,0)-тензоре или 4-векторе это будет:

$${\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}$$

На (2,0)-тензоре это будет:

$${\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}$$

Использование

(СТО) по-разному 4-градиент используется в специальной теории относительности :

В этой статье все формулы верны для плоских координат Минковского СТО, но их необходимо изменить для более общих координат искривленного пространства общей теории относительности (ОТО).

законов

Дивергенция — это векторный оператор , который создает скалярное поле со знаком, указывающее количество векторного поля в источника каждой точке. Обратите внимание, что в этой метрической сигнатуре [+,−,−,−] 4-градиент имеет отрицательный пространственный компонент. Он отменяется при скалярном произведении 4D, поскольку метрика Минковского является диагональной [+1,−1,−1,−1].

4-расхождение 4-позиции $X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$ дает размерность пространства -времени :

$${\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4$$

4-дивергенция 4-плотности тока

$$J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)$$

дает закон сохранения – сохранение заряда :

$${\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0$$

Это означает, что скорость изменения плотности заряда во времени должна равняться отрицательной пространственной дивергенции плотности тока $\partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}$.

Другими словами, заряд внутри ящика не может произвольно меняться, он должен входить в ящик и выходить из него посредством тока. Это уравнение непрерывности .

4-расхождение 4-х числового флюса (4-пыль) $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ используется для сохранения частиц:

$${\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0$$

Это закон сохранения плотности числа частиц, обычно что-то вроде плотности барионов.

4-дивергенция электромагнитного 4-потенциала ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ используется в условиях калибровки Лоренца :

$${\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0$$

Это эквивалент закона сохранения ЭМ 4-потенциала.

4-дивергенция поперечного бесследового 4D (2,0)-тензора $h_{TT}^{\mu \nu }$ представляющее гравитационное излучение в пределе слабого поля (т.е. свободно распространяющееся вдали от источника).

Поперечное состояние

$${\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0$$

является эквивалентом уравнения сохранения для свободно распространяющихся гравитационных волн.

4-дивергенция тензора энергии-импульса $T^{\mu \nu }$ поскольку сохраняющийся Нётеровский ток , связанный с пространства-времени перемещениями , дает четыре закона сохранения в СТО:

Сохранение энергии (временное направление) и сохранение импульса (3 отдельных пространственных направления).

$${\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)$$

Часто пишут так:

$$\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0$$

где подразумевается, что одиночный ноль на самом деле является 4-векторным нулем $0^{\mu }=(0,0,0,0)$.

При сохранении тензора энергии-импульса ( $\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }$) для идеальной жидкости сочетается с сохранением плотности числа частиц ( ${\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0$), оба используют 4-градиент, можно вывести релятивистские уравнения Эйлера , которые в механике жидкости и астрофизике являются обобщением уравнений Эйлера , которые учитывают эффекты специальной теории относительности .Эти уравнения сводятся к классическим уравнениям Эйлера, если скорость жидкости в трехмерном пространстве намного меньше скорости света, давление намного меньше плотности энергии , а в последней доминирует плотность массы покоя.

В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент ( релятивистский угловой момент ) также сохраняется:

$$\partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }$$

где этот ноль на самом деле является (2,0)-тензорным нулем.

метрического тензора С.Р.

Матрица Якобиана — это матрица всех частных производных первого порядка вектор -функции .

4-градиент $\partial ^{\mu }$ действует на 4-й позиции $X^{\nu }$ пространства С.Р. Минковского дает метрику $\eta ^{\mu \nu }$:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}$$

Для метрики Минковского компоненты $\left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]$ ( $\mu$ не суммируются), при этом все недиагональные компоненты равны нулю.

Для декартовой метрики Минковского это дает $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$.

В целом, $\eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]$, где $\delta _{\mu }^{\nu }$ это 4D дельта Кронекера .

Как способ определения преобразований Лоренца

Преобразование Лоренца записывается в тензорной форме как

$$X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }$$

и поскольку $\Lambda _{\nu }^{\mu '}$ являются просто константами, то

$${\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}$$

Таким образом, по определению 4-градиента

$$\partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}$$

Эта идентичность является фундаментальной. Компоненты 4-градиента преобразуются согласно инверсии компонентов 4-векторов. Таким образом, 4-градиент — это «архетипическая» форма.

Как часть полной

Скалярное произведение 4-скоростей $U^{\mu }$ с 4-градиентом дает полную производную по собственному времени ${\frac {d}{d\tau }}$:

$${\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}$$

Тот факт, что $\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}$ является скалярным инвариантом Лоренца, показывает, что полная производная по собственному времени ${\frac {d}{d\tau }}$ также является скалярным инвариантом Лоренца.

Так, например, 4-скоростной $U^{\mu }$ является производной 4-й позиции $X^{\mu }$ относительно собственного времени:

$${\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U}$$

или

$${\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U}$$

Другой пример, 4-ускорение $A^{\mu }$ является производной по собственному времени 4-скорости $U^{\mu }$:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}$$

или

$${\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A}$$

Как способ определения электромагнитного тензора Фарадея и

Фарадея Электромагнитный тензор $F^{\mu \nu }$ — математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени физической системы.

Применяя 4-градиент для создания антисимметричного тензора, получаем:

$$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}$$

где:

• Электромагнитный 4-потенциальный $A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)$, не путать с 4-ускорением $\mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)$
• Электрический ​ скалярный потенциал $\phi$
• Магнитный векторный потенциал в трехмерном пространстве равен ${\vec {\mathbf {a} }}$

Снова применив 4-градиент и определив плотность 4-тока как $J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)$ можно вывести тензорную форму уравнений Максвелла :

$$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }$$

$$\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }$$

где вторая строка — вариант тождества Бьянки ( тождества Якоби ).

Как способ определения 4-волнового вектора

— Волновой вектор это вектор , который помогает описать волну . Как и любой вектор, он имеет величину и направление , оба из которых важны: его величина — это либо волновое число , либо угловое волновое число волны (обратно пропорционально длине волны ), а его направление обычно является направлением распространения волны.

вектор 4-волновой $K^{\mu }$ - 4-градиент отрицательной фазы $\Phi$ (или отрицательный 4-градиент фазы) волны в пространстве Минковского:

$$K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]$$

Это математически эквивалентно определению фазы волны ( или , точнее, плоской волны ):

$$\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi$$

где 4-позиция $\mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$, $\omega$ - временная угловая частота, ${\vec {\mathbf {k} }}$ - пространственный трехмерный волновой вектор, и $\Phi$ – скалярно-инвариантная фаза Лоренца.

$$\partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K}$$

в предположении, что плоская волна $\omega$ и ${\vec {\mathbf {k} }}$ не являются явными функциями $t$ или ${\vec {\mathbf {x} }}$.

Явный вид плоской волны СИ $\Psi _{n}(\mathbf {X} )$ можно записать как:

$$\Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}$$

где $A_{n}$ представляет собой (возможно, комплексную ) амплитуду.

Общая волна $\Psi (\mathbf {X} )$ будет суперпозицией нескольких плоских волн:

$$\Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]$$

Снова используя 4-градиент,

$$\partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]$$

или

$${\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K}$$

что представляет собой 4-градиентную версию комплексных плоских волн

Как оператор Даламбера

В специальной теории относительности, электромагнетизме и волновой теории оператор Даламбера, также называемый даламберианом или волновым оператором, является оператором Лапласа пространства Минковского. Оператор назван в честь французского математика и физика Жана ле Рона Даламбера.

Площадь ${\boldsymbol {\partial }}$ есть 4- лапласиан , который называется оператором Даламбера :

$${\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.$$

представляет собой скалярное произведение Поскольку даламбериан двух 4-векторов, он является лоренц-инвариантным скаляром.

Иногда, по аналогии с трехмерными обозначениями, символы $\Box$ и $\Box ^{2}$ используются для 4-градиента и даламбериана соответственно. Однако чаще всего символ $\Box$ зарезервирован для Даламбера.

Ниже приведены некоторые примеры 4-градиента, используемого в даламбериане:

В релятивистском квантовом волновом уравнении Клейна-Гордона для частиц со спином 0 (например, бозона Хиггса ):

$$\left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0$$

В волновом уравнении электромагнитного поля (с использованием калибровки Лоренца $({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0$):

• В вакууме:
  $$({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }$$
• С 4-х токовым источником, не считая эффектов вращения:
  $$({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }$$
• С источником квантовой электродинамики , включая эффекты спина:
  $$({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi$$

где:

• Электромагнитный 4-потенциальный $\mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)$ представляет собой электромагнитный векторный потенциал
• 4-плотность тока $\mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)$ - плотность электромагнитного тока
• Дирака Гамма-матрицы $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ обеспечить эффекты вращения

В волновом уравнении ( гравитационной волны с использованием аналогичной лоренцевской калибровки $\left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0$)

$$({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0$$

где $h_{TT}^{\mu \nu }$ — поперечный бесследовый 2-тензор, представляющий гравитационное излучение в пределе слабого поля (т.е. свободно распространяющееся вдали от источника).

Дополнительные условия по $h_{TT}^{\mu \nu }$ являются:

• Чисто пространственный:
  $$\mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0$$
• Бесследно:
  $$\eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0$$
• Поперечный:
  $${\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0$$

В 4-мерной версии функции Грина :

$$({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]$$

где функция 4D Delta :

$$\delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}$$

Как компонент 4D-теоремы Гаусса/теоремы Стокса/

В векторном исчислении теорема о дивергенции , также известная как теорема Гаусса или теорема Остроградского, является результатом, который связывает поток (то есть поток ) векторного поля через поверхность с поведением векторного поля внутри поверхности. Точнее, теорема о дивергенции утверждает, что внешний поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции по области внутри поверхности. Интуитивно понятно, что сумма всех источников минус сумма всех поглотителей дает чистый поток из региона . В векторном исчислении и, в более общем смысле, в дифференциальной геометрии, теорема Стокса (также называемая обобщенной теоремой Стокса) представляет собой утверждение об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях, которое одновременно упрощает и обобщает несколько теорем векторного исчисления.

$$\int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)$$

или

$$\int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)$$

где

• $\mathbf {V} =V^{\mu }$ представляет собой 4-векторное поле, определенное в $\Omega$
• ${\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }$ это 4-дивергенция $V$
• $\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }$ является компонентом $V$ вдоль направления $N$
• $\Omega$ представляет собой четырехмерную односвязную область пространства-времени Минковского.
• $\partial \Omega =S$ это его трехмерная граница с собственным элементом трехмерного объема $dS$
• $\mathbf {N} =N^{\mu }$ это норма, направленная наружу
• $d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)$ — элемент дифференциального объема 4D

Как компонент уравнения С.Р. Гамильтона – Якоби в релятивистской

Уравнение Гамильтона-Якоби (HJE) представляет собой формулировку классической механики, эквивалентную другим формулировкам, таким как законы движения Ньютона , механика Лагранжа и механика Гамильтона . Уравнение Гамильтона-Якоби особенно полезно для определения сохраняющихся величин для механических систем, что может быть возможно, даже если сама механическая проблема не может быть решена полностью. ГЭЭ также является единственной формулировкой механики, в которой движение частицы можно представить в виде волны. В этом смысле HJE выполнил давнюю цель теоретической физики (по крайней мере, Иоганна Бернулли в 18 веке) найти аналогию между распространением света и движением частицы.

Обобщенный релятивистский импульс $\mathbf {P_{T}}$ частицы можно записать как

$$\mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A}$$

где $\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)$ и $\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)$

По сути, это 4-общий импульс $\mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)$ системы; пробная частица в поле с использованием правила минимальной связи . Существует собственный импульс частицы $\mathbf {P}$, плюс импульс за счет взаимодействия с ЭМ 4-векторным потенциалом $\mathbf {A}$ через заряд частицы $q$.

Релятивистское уравнение Гамильтона–Якоби получается, если положить полный импульс равным отрицательному 4-градиенту действия $S$.

$$\mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]$$

Временная составляющая дает: $E_{T}=H=-\partial _{t}[S]$

Пространственные компоненты дают: ${\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]$

где $H$ является гамильтонианом.

На самом деле это связано с тем, что 4-волновой вектор равен отрицательному 4-градиенту фазы сверху. $K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]$

Чтобы получить HJE, сначала используется правило скалярного инварианта Лоренца для 4-импульса:

$$\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}$$

Но из правила минимальной связи :

$$\mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A}$$

Так:

$${\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}$$

Разбивка на временную и пространственную составляющие:

$${\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}$$

где финалом является релятивистское уравнение Гамильтона–Якоби .

Как компонент соотношений Шрёдингера в квантовой механике

4-градиент связан с квантовой механикой .

Связь между 4-импульсом $\mathbf {P}$ и 4-градиент ${\boldsymbol {\partial }}$ дает КМ-соотношения Шредингера .

$$\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)$$

Временная составляющая дает: $E=i\hbar \partial _{t}$

Пространственные компоненты дают: ${\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$

На самом деле это может состоять из двух отдельных этапов.

Первый:

$$\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)$$

это полная 4-векторная версия:

(Временная компонента) Отношение Планка – Эйнштейна $E=\hbar \omega$

(пространственные компоненты) де Бройля материи Волновое соотношение ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$

Второй:

$$\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i{\boldsymbol {\partial }}=i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)$$

что представляет собой всего лишь 4-градиентную версию волнового уравнения для комплексных плоских волн

Временная составляющая дает: $\omega =i\partial _{t}$

Пространственные компоненты дают: ${\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}$

формы квантового коммутационного

В квантовой механике (физике) каноническое коммутационное соотношение является фундаментальным соотношением между каноническими сопряженными величинами (количествами, которые по определению связаны так, что одно является преобразованием Фурье другого).

• В соответствии с:
  $$\left[P^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \left[\partial ^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }\left[X^{\nu }\right]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }$$
• Беря пространственные компоненты,
  $$\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}$$
• С $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$,
  $$\left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}$$
• С $[a,b]=-[b,a]$,
  $$\left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}$$
• А перемаркировка индексов дает обычные правила квантовой коммутации:
  $$\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}$$

волновых уравнений и токов вероятности в релятивистской

4-градиент является компонентом нескольких релятивистских волновых уравнений:

В релятивистском квантовом волновом уравнении Клейна-Гордона для частиц со спином 0 (например, бозона Хиггса ):

$$\left[\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0$$

В релятивистском квантовом волновом уравнении Дирака для частиц со спином 1/2 (например, электронов ):

$$\left[i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\psi =0$$

где $\gamma ^{\mu }$ являются гамма-матрицами Дирака и $\psi$ является релятивистской волновой функцией .

$\psi$ является скаляром Лоренца для уравнения Клейна – Гордона и спинором для уравнения Дирака.

Приятно, что сами гамма-матрицы отсылают к фундаментальному аспекту СТО — метрике Минковского:

$$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$$

Сохранение плотности тока 4-вероятности следует из уравнения неразрывности:

$${\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0$$

Плотность тока 4-вероятности имеет релятивистски-ковариантное выражение:

$$J_{\text{prob}}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)$$

Плотность тока с 4 зарядами равна заряду ( q ), умноженному на плотность тока с 4 вероятностями:

$$J_{\text{charge}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)$$

Как ключевой компонент в выводе квантовой механики и релятивистских квантовых волновых уравнений из

Релятивистские волновые уравнения используют 4-векторы, чтобы быть ковариантными.

Начнем со стандартных SR 4-векторов:

• 4-позиционный $\mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$
• 4-скоростной $\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)$
• 4-импульс $\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)$
• 4-волновой вектор $\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)$
• 4-градиент ${\boldsymbol {\partial }}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)$

Обратите внимание на следующие простые соотношения из предыдущих разделов, где каждый 4-вектор связан с другим скаляром Лоренца :

• 4-скоростной $\mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X}$, где $\tau$ самое подходящее время
• 4-импульс $\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U}$, где $m_{0}$ это масса покоя
• 4-волновой вектор $\mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P}$, который представляет собой 4-векторную версию соотношения Планка–Эйнштейна и де Бройля . материи волнового соотношения
• 4-градиент ${\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K}$, который представляет собой 4-градиентную версию комплексных плоских волн

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

$${\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} &=c^{2}\\\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} &=(m_{0}c)^{2}\\\mathbf {K} \cdot \mathbf {K} &=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\\{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\end{aligned}}$$

Последнее уравнение (с 4-градиентным скалярным произведением) представляет собой фундаментальное квантовое соотношение.

Применительно к скалярному полю Лоренца $\psi$, получаем уравнение Клейна-Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений :

$$\left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0$$

Уравнение Шредингера малых скоростей представляет собой предельный случай ( | v | ≪ c ) уравнения Клейна – Гордона .

Если применить квантовое соотношение к 4-векторному полю $A^{\mu }$ вместо скалярного поля Лоренца $\psi$, то получаем уравнение Прока :

$$\left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0^{\mu }$$

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободное уравнение Максвелла :

$$[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}]A^{\mu }=0^{\mu }$$

Более сложные формы и взаимодействия можно получить, используя правило минимальной связи :

Как компонент ковариантной производной RQM (внутренние

В современной элементарных физике частиц можно определить калибровочную ковариантную производную , которая использует дополнительные поля RQM (внутренние пространства частиц), которые, как теперь известно, существуют.

Версия, известная из классической ЭМ (в натуральных единицах):

$$D^{\mu }=\partial ^{\mu }-igA^{\mu }$$

Полная ковариантная производная фундаментальных взаимодействий Стандартной модели , о которых мы сейчас знаем (в натуральных единицах ):

$$D^{\mu }=\partial ^{\mu }-ig_{1}{\frac {1}{2}}YB^{\mu }-ig_{2}{\frac {1}{2}}\tau _{i}\cdot W_{i}^{\mu }-ig_{3}{\frac {1}{2}}\lambda _{a}\cdot G_{a}^{\mu }$$

или

$$\mathbf {D} ={\boldsymbol {\partial }}-ig_{1}{\frac {1}{2}}Y\mathbf {B} -ig_{2}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}_{i}\cdot \mathbf {W} _{i}-ig_{3}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\lambda }}_{a}\cdot \mathbf {G} _{a}$$

где суммы скалярных произведений ( $\cdot$) здесь относятся к внутренним пространствам, а не к тензорным индексам:

• $B^{\mu }$ соответствует U(1) инвариантности = (1) ЭМ силовой калибровочный бозон
• $W_{i}^{\mu }$ соответствует SU(2) -инвариантности = (3) слабые силовые калибровочные бозоны ( i = 1, …, 3)
• $G_{a}^{\mu }$ соответствует SU(3) -инвариантности = (8) цветовые силовые калибровочные бозоны ( a = 1, …, 8)

связи Константы $(g_{1},g_{2},g_{3})$ — это произвольные числа, которые необходимо обнаружить экспериментально. Стоит подчеркнуть, что для неабелевых преобразований, как только $g_{i}$ фиксированы для одного представления, они известны для всех представлений.

Эти внутренние пространства частиц были обнаружены эмпирически.

Вывод

В трех измерениях оператор градиента отображает скалярное поле в векторное поле так, что линейный интеграл между любыми двумя точками векторного поля равен разнице между скалярным полем в этих двух точках. Исходя из этого, может показаться неправильным , что естественное расширение градиента до 4 измерений должно быть:

$$\partial ^{\alpha }{\overset {?}{=}}\left({\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right),$$

что неверно .

Однако линейный интеграл предполагает применение векторного скалярного произведения, и когда оно распространяется на 4-мерное пространство-время, вводится изменение знака либо пространственных координат, либо временной координаты в зависимости от используемого соглашения. Это связано с неевклидовой природой пространства-времени. В этой статье мы ставим отрицательный знак пространственным координатам (соглашение о положительной по времени метрике $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$). Коэффициент (1/ c ) необходим для сохранения правильной размерности единицы измерения , [длина] ⁻¹ , для всех компонентов 4-вектора и (−1) необходимо сохранить лоренц-ковариант 4-градиента . Добавление этих двух поправок к приведенному выше выражению дает правильное определение 4-градиента:

$$\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)$$

См. также

• Четырехвекторный
• Четырехпозиционный
• Четырехскоростной
• Четырехскоростной
• Четырехимпульсный
• Четыре силы
• Четырехточечный
• Четырехпотенциальный
• Четырехчастотный
• Четырехволновой вектор
• Четырехспиновый
• Фигурное исчисление
• Обозначение индекса
• Тензор
• Антисимметричный тензор
• Обозначение Эйнштейна
• Повышение и понижение индексов
• Обозначение абстрактного индекса
• Ковариантность и контравариантность векторов

Ссылки

Примечание о ссылках

Что касается использования скаляров, 4-векторов и тензоров в физике, разные авторы используют несколько разные обозначения для одних и тех же уравнений. Например, некоторые используют $m$ для инвариантной массы покоя другие используют $m_{0}$ для неизменной массы покоя и использования $m$ для релятивистской массы. Многие авторы устанавливают факторы $c$ и $\hbar$ и $G$ к безразмерному единству. Другие показывают некоторые или все константы. Некоторые авторы используют $v$ для скорости другие используют $u$. Некоторые используют $K$ как 4-волновой вектор (на произвольном примере). Другие используют $k$ или $\mathbf {K}$ или $k^{\mu }$ или $k_{\mu }$ или $K^{\nu }$ или $N$и т. д. Некоторые пишут 4-волновой вектор как $\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)$, некоторые как $\left(\mathbf {k} ,{\frac {\omega }{c}}\right)$ или $\left(k^{0},\mathbf {k} \right)$ или $\left(k^{0},k^{1},k^{2},k^{3}\right)$ или $\left(k^{1},k^{2},k^{3},k^{4}\right)$ или $\left(k_{t},k_{x},k_{y},k_{z}\right)$ или $\left(k^{1},k^{2},k^{3},ik^{4}\right)$. Некоторые будут следить за тем, чтобы единицы измерения совпадали по всему 4-вектору, другие — нет. Некоторые ссылаются на временную составляющую в названии 4-вектора, другие — на пространственную составляющую в имени 4-вектора. Некоторые смешивают их на протяжении всей книги, иногда используя одно, а затем другое. Некоторые используют метрику (+ − − −) , другие используют метрику (− + + +) . Некоторые не используют 4-векторы, а делают все как в старом стиле E и 3-мерный вектор p . Дело в том, что все это всего лишь стили обозначений, некоторые из которых более ясные и краткие, чем другие. Физика та же самая, если на протяжении всего вывода используется единый стиль.

Дальнейшее чтение

• С. Хильдебрандт, «Анализ II» (Исчисление II), ISBN   3-540-43970-6 , 2003 г.
• Л. К. Эванс, «Уравнения в частных производных», AMSociety, Grad.Studies Vol.19, 1988 г.
• Дж. Д. Джексон, «Классическая электродинамика», глава 11, Wiley ISBN   0-471-30932-X