Релятивистские волновые уравнения

«Релятивистские квантовые уравнения поля» перенаправляются сюда. Связанные концепции см. в разделе «Релятивистская квантовая механика и поле Шрёдингера» .

В физике , особенно в релятивистской квантовой механике (РКМ) и ее приложениях к физике элементарных частиц , релятивистские волновые уравнения предсказывают поведение частиц при высоких энергиях и скоростях, сравнимых со скоростью света . В контексте квантовой теории поля (КТП) уравнения определяют динамику квантовых полей .Решения уравнений, обычно обозначаемые как ψ или Ψ ( греческий psi ), называются « волновыми функциями » в контексте RQM и « полями » в контексте QFT. Сами уравнения называются «волновыми уравнениями» или «уравнениями поля», потому что они имеют математическую форму волнового уравнения или генерируются из лагранжевой плотности и теоретико-полевых уравнений Эйлера – Лагранжа ( см. в классической теории поля предысторию ).

В картине Шредингера волновая функция или поле является решением уравнения Шрёдингера ;

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi$$

один из постулатов квантовой механики . Все релятивистские волновые уравнения можно построить, задав различные формы гамильтонова оператора Ĥ, описывающего квантовую систему . Альтернативно, использует Фейнмана формулировка интеграла по траекториям лагранжиан, а не гамильтонов оператор.

В более общем смысле – современный формализм, лежащий в основе релятивистских волновых уравнений, – это теория групп Лоренца , в которой спин частицы соответствует представлениям группы Лоренца .

История

-х: Классическая и квантовая

Неудача классической механики применительно к молекулярным , атомным , ядерным системам и более мелким системам вызвала необходимость в новой механике: квантовой механике . Математическая формулировка была разработана Де Бройлем , Бором , Шрёдингером , Паули , Гейзенбергом и другими примерно в середине 1920-х годов и в то время была аналогична формулировке классической механики. и Уравнение Шрёдингера картина Гейзенберга напоминают классические уравнения движения в пределе больших квантовых чисел , а поскольку приведенная постоянная Планка ħ , квант действия , стремится к нулю. Это принцип соответствия . На тот момент специальная теория относительности не была полностью объединена с квантовой механикой, поэтому формулировки Шредингера и Гейзенберга, как первоначально предлагалось, не могли использоваться в ситуациях, когда частицы движутся со скоростью, близкой к скорости света , или когда число частиц каждого типа изменения (это происходит при реальных взаимодействиях частиц ; многочисленные формы распада частиц , аннигиляции , создания материи , рождения пар , и так далее).

Конец 1920-х годов: релятивистская квантовая механика спина 0 и спина ¹ / ₂ частицы

Описание квантово-механических систем, которое могло бы объяснить релятивистские эффекты, искали многие физики-теоретики с конца 1920-х до середины 1940-х годов. Первая основа релятивистской квантовой механики , то есть специальной теории относительности, применяемой вместе с квантовой механикой, была найдена всеми теми, кто открыл то, что часто называют уравнением Клейна-Гордона :

$$-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+(\hbar c)^{2}\nabla ^{2}\psi =(mc^{2})^{2}\psi \,,$$

( 1 )

вставив оператор энергии и оператор импульса в релятивистское соотношение энергия-импульс :

$$E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\,,$$

( 2 )

Решениями ( 1 ) являются скалярные поля . Уравнение КГ нежелательно из-за его предсказания отрицательных энергий и вероятностей в результате квадратичного характера ( 2 ) – неизбежного в релятивистской теории. Первоначально это уравнение было предложено Шредингером, и он отказался от него по таким причинам только для того, чтобы через несколько месяцев понять, что его нерелятивистский предел (то, что сейчас называется уравнением Шредингера ) все еще имеет значение. Тем не менее ( 1 ) применимо к бозонам со спином 0 .

Ни нерелятивистские, ни релятивистские уравнения, найденные Шредингером, не могли предсказать тонкую структуру спектрального ряда водорода . Загадочным основным свойством было вращение . Первые двумерные спиновые матрицы (более известные как матрицы Паули ) были введены Паули в уравнение Паули ; уравнение Шредингера с нерелятивистским гамильтонианом, включающим дополнительный член для частиц в магнитных полях , но это было феноменологически . Вейль нашел релятивистское уравнение в терминах матриц Паули; уравнение Вейля для безмассового спин- 1/2 ​ фермиона . Проблема была решена Дираком в конце 1920-х годов, когда он добился дальнейшего применения уравнения ( 2 ) к электрону – путем различных манипуляций он факторизовал уравнение к виду:

$$\left({\frac {E}{c}}-{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\left({\frac {E}{c}}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta mc\right)\psi =0\,,$$

( 3А )

и одним из этих факторов является уравнение Дирака (см. ниже) после добавления операторов энергии и импульса. Впервые это ввело новые четырехмерные спиновые матрицы α и β в релятивистское волновое уравнение и объяснило тонкую структуру водорода. Решениями ( 3А ) являются многокомпонентные спинорные поля , и каждая компонента удовлетворяет ( 1 ). Замечательным результатом спинорных решений является то, что половина компонентов описывает частицу, а другая половина — античастицу ; в данном случае электрон и позитрон . Теперь известно, что уравнение Дирака применимо ко всем массивным спиновым 1/2 ​ ​ фермиона . В нерелятивистском пределе уравнение Паули восстанавливается, тогда как в безмассовом случае получается уравнение Вейля.

Хотя уравнение Дирака является важной вехой в квантовой теории, оно справедливо только для спин- 1/2 фермионов, и до сих пор предсказывает решения с отрицательной энергией, что вызвало в то время споры (в частности, не всех физиков устраивало « море Дирака » состояний с отрицательной энергией).

-е годы: релятивистская квантовая механика частиц с более

Стала ясна естественная задача: обобщить уравнение Дирака на частицы любого спина ; как фермионы, так и бозоны, и в тех же уравнениях их античастицы (возможно, из-за спинорного формализма, введенного Дираком в его уравнение, а также недавних на тот момент разработок спинорного исчисления Ван дер Вардена в 1929 году), и в идеале с решениями с положительной энергией.

Эта проблема была введена и решена Майораной в 1932 году путем отклонения от Дирака. Майорана считал один «корень» ( 3А ):

$$\left({\frac {E}{c}}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\psi =0\,,$$

( 3Б )

где ψ — теперь спинорное поле с бесконечным числом компонент, несводимое к конечному числу тензоров или спиноров, чтобы устранить неопределенность в знаке. Матрицы преобразованиями α и β являются бесконечномерными матрицами, связанными с бесконечно малыми Лоренца . Он не требовал, чтобы каждый компонент 3B удовлетворял уравнению ( 2 ); вместо этого он восстановил уравнение, используя лоренц-инвариантное действие , принцип наименьшего действия и применение теории групп Лоренца .

Майорана сделал и другие важные работы, которые не были опубликованы, включая волновые уравнения различных размерностей (5, 6 и 16). Позднее они были предвосхищены (более сложным образом) де Бройлем (1934), а Даффином, Кеммером и Петио (около 1938–1939) (см. «Алгебра Даффина – Кеммера – Петио» ) . Формализм Дирака-Фирца-Паули был более сложным, чем формализм Майораны, поскольку спиноры были новыми математическими инструментами в начале двадцатого века, хотя статью Майораны 1932 года было трудно полностью понять; Паули и Вигнеру потребовалось некоторое время, чтобы понять это, примерно в 1940 году.

Дирак в 1936 году, а также Фирц и Паули в 1939 году построили уравнения из неприводимых спиноров A и B , симметричных по всем индексам, для массивной частицы со спином n + 1 ⁄ 2 для целого числа n ( Ван дер Вардена значение пунктирных индексов см. в обозначениях ):

$$p_{\gamma {\dot {\alpha }}}A_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcB_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}$$

( 4А )

$$p^{\gamma {\dot {\alpha }}}B_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcA_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}$$

( 4Б )

где p — импульс как ковариантный спинорный оператор. При n = 0 уравнения сводятся к связанным уравнениям Дирака, а A и B вместе преобразуются в исходный спинор Дирака . Исключение A или B показывает, что A и B удовлетворяют ( 1 ). Прямой вывод уравнений Дирака-Паули-Фирца с использованием операторов Баргмана-Вигнера приведен в .

В 1941 году Рарита и Швингер сосредоточились на спиннинге. 3 ⁄ 2 частиц и вывел уравнение Рариты-Швингера , включая лагранжиан для его генерации, а позже обобщил уравнения, аналогичные спину n + 1 ⁄ 2 для целого числа n . статью Майораны 1932 года В 1945 году Паули предложил Бхабхе , который вернулся к общим идеям, введенным Майораной в 1932 году. Бхабха и Любански предложили совершенно общую систему уравнений, заменив массовые члены в ( 3A ) и ( 3B ) произвольной константой. , при соблюдении ряда условий, которым должны подчиняться волновые функции.

Наконец, в 1948 году (в том же году, когда была сформулирована формулировка Фейнмана для интеграла по траекториям ) Баргманн и Вигнер сформулировали общее уравнение для массивных частиц, которые могли иметь любой спин, рассмотрев уравнение Дирака с полностью симметричным спинором с конечными компонентами. и используя теорию групп Лоренца (как это сделал Майорана): уравнения Баргмана-Вигнера . была сделана переформулировка уравнений Баргмана-Вигнера В начале 1960-х годов Х. Йосом и Стивеном Вайнбергом — уравнение Йоса-Вайнберга . Различные теоретики в это время проводили дальнейшие исследования релятивистских гамильтонианов для частиц с более высоким спином.

1960-е – настоящее время

Релятивистское описание спиновых частиц было сложной проблемой в квантовой теории. Это все еще остается областью современных исследований, поскольку проблема решена лишь частично; включение взаимодействий в уравнения проблематично, и парадоксальные предсказания (даже из уравнения Дирака) все еще присутствуют.

Линейные уравнения

Дополнительная информация: Линейное дифференциальное уравнение.

Следующие уравнения имеют решения, которые удовлетворяют принципу суперпозиции , то есть волновые функции аддитивны .

Повсюду используются стандартные обозначения тензорных индексов и косой черты Фейнмана , включая греческие индексы, которые принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов и 0 для времениподобных компонентов индексированных величин. Волновые функции обозначаются ψ , а ∂ _µ — компоненты четырехградиентного оператора.

В матричных уравнениях матрицы Паули обозначаются σ ^м в котором µ = 0, 1, 2, 3 , где σ ⁰ — размера 2 × 2 единичная матрица :

$$\sigma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$$

а остальные матрицы имеют свои обычные представления. Выражение

$$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\equiv \sigma ^{0}\partial _{0}+\sigma ^{1}\partial _{1}+\sigma ^{2}\partial _{2}+\sigma ^{3}\partial _{3}$$

— размера 2 × 2 матричный оператор , действующий на 2-компонентные спинорные поля .

Гамма -матрицы обозначаются γ ^м , в котором снова µ = 0, 1, 2, 3 и есть несколько представлений для выбора. Матрица γ ⁰ является не обязательно 4 × 4 единичной матрицей . Выражение

$$i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc\equiv i\hbar (\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma ^{1}\partial _{1}+\gamma ^{2}\partial _{2}+\gamma ^{3}\partial _{3})+mc{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$$

— размера 4 × 4 матричный оператор , действующий на 4-компонентные спинорные поля .

Обратите внимание, что такие термины, как скаляр « mc », умножают единичную матрицу соответствующего измерения , общие размеры — 2 × 2 или 4 × 4 , и обычно для простоты их не пишут.

частицы Квантовое число спина s	Имя	Уравнение	Типичные частицы, которые описывает уравнение
0	Уравнение Клейна – Гордона	$(\hbar \partial _{\mu }+imc)(\hbar \partial ^{\mu }-imc)\psi =0$	Безмассовая или массивная частица со спином 0 (например, бозон Хиггса ).
1/2	Уравнение Вейля	$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$	Безмассовые частицы со спином 1/2.
	Уравнение Дирака	$\left(i\hbar \partial \!\!\!/-mc\right)\psi =0$	Массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны ).
	Уравнения Дирака двух тел	$[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tilde {S}}_{1}]\Psi =0,$ $[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}+{\tilde {S}}_{2}]\Psi =0.$	Массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны ).
	Уравнение Майораны	$i\hbar \partial \!\!\!/\psi -mc\psi _{c}=0$	Массивные майорановские частицы .
	Широкое уравнение	$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{D}(i)+\sum _{i>j}{\frac {1}{r_{ij}}}-\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi$	Две массивные частицы со спином 1/2 (такие как электроны ), взаимодействующие электромагнитно в первом порядке теории возмущений.
1	Уравнения Максвелла (в КЭД с использованием калибровки Лоренца )	$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=e{\overline {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi$	Фотоны , безмассовые частицы со спином 1.
	Уравнение Прока	$\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0$	Массивная частица со спином 1 (например, W- и Z-бозоны ).
3/2	Уравнение Рариты – Швингера	$\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }\psi _{\sigma }+m\psi ^{\mu }=0$	Массивные частицы со спином 3/2.
с	Уравнения Баргмана – Вигнера.	${\begin{aligned}(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}&=0\\(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}&=0\\&\;\;\vdots \\(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2s}\alpha '_{2s}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2s}}&=0\end{aligned}}$ где ψ ранга 2 — 4 -компонентный спинор .	Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).
	Уравнение Йооса – Вайнберга	$[(i\hbar )^{2s}\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2s}}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{2s}}+(mc)^{2s}]\psi =0$	Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).

Поля линейных датчиков

Уравнение Даффина -Кеммера-Петио представляет собой альтернативное уравнение для частиц со спином 0 и спином 1:

$$(i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0$$

Построение RWE

энергия

Основные статьи: Четыре вектора и соотношение энергии и импульса.

Начните со стандартной 4-векторной специальной теории относительности (СТО).

• 4-позиционный $X^{\mu }=\mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})$
• 4-скоростной $U^{\mu }=\mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})$
• 4-импульс $P^{\mu }=\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)$
• 4-волновой вектор $K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)$
• 4-градиент $\partial ^{\mu }=\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)$

Обратите внимание, что каждый 4-вектор связан с другим скаляром Лоренца :

• $\mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X}$, где $\tau$ самое подходящее время
• $\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U}$, где $m_{0}$ это масса покоя
• $\mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P}$, который представляет собой 4-векторную версию соотношения Планка–Эйнштейна и де Бройля . материи волнового соотношения
• $\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}$, который представляет собой 4-градиентную версию комплексных плоских волн

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

• $\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}$
• $\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}$
• $\mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}$
• $\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}$

Последнее уравнение представляет собой фундаментальное квантовое соотношение.

Применительно к скалярному полю Лоренца $\psi$, получаем уравнение Клейна-Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений.

• $\left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0$: в 4-векторном формате
• $\left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0$: в тензорном формате
• $\left[(\hbar \partial _{\mu }+im_{0}c)(\hbar \partial ^{\mu }-im_{0}c)\right]\psi =0$: в факторизованном тензорном формате

Уравнение Шрёдингера малых скоростей — это предельный случай ( v ≪ c ) уравнения Клейна–Гордона .

Когда соотношение применяется к четырехвекторному полю $A^{\mu }$ вместо скалярного поля Лоренца $\psi$, то получаем уравнение Прока (в калибровке Лоренца ):

$$\left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0$$

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободное уравнение Максвелла (в калибровке Лоренца )

$$[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0$$

Представления группы Лоренца

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца x → Λ x в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ ^дж _σ спина j с z-компонентой спина σ локально преобразуется при некотором представлении D группы Лоренца :

$$\psi (x)\rightarrow D(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x)$$

где D (Λ) — некоторое конечномерное представление, т. е. матрица. Здесь ψ рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с разрешенными значениями σ . Квантовые числа j и σ, а также другие метки, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение σ может встречаться более одного раза в зависимости от представления. представления с несколькими возможными значениями j Ниже рассматриваются .

Неприводимые представления помечены парой полуцелых или целых чисел ( A , B ) . Из них все остальные представления могут быть построены с использованием различных стандартных методов, таких как взятие тензорных произведений и прямых сумм . В частности, пространство-время само представляет собой 4-векторное представление ( 1 / 2 , 1/2 что Λ ) так, ∈ D ^{(1/2, 1/2)} . Чтобы поместить это в контекст; Спиноры Дирака преобразуются под действием ( 1 / 2 , 0) ⊕ (0, 1/2 ​ представительство ) . В общем, пространство представления ( A , B ) имеет подпространства которые под подгруппой пространственных вращений , SO(3) преобразуются неприводимо, как объекты спина j , где каждое допустимое значение:

$$j=A+B,A+B-1,\dots ,|A-B|,$$

происходит ровно один раз. В общем, тензорные произведения неприводимых представлений приводимы; они разлагаются как прямые суммы неприводимых представлений.

Представления D ^{( Дж , 0)} и Д ^{(0, Дж )} может каждая по отдельности представлять частицы спина j . Состояние или квантовое поле в таком представлении не будет удовлетворять никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.

Нелинейные уравнения

Дополнительная информация: Нелинейное дифференциальное уравнение.

Существуют уравнения, решения которых не удовлетворяют принципу суперпозиции.

Нелинейные измерительные поля

• Уравнение Янга – Миллса : описывает неабелевое калибровочное поле.
• Уравнения Янга – Миллса – Хиггса : описывают неабелевое калибровочное поле, связанное с массивной частицей со спином 0.

Вращение 2

• Уравнения поля Эйнштейна : описывают взаимодействие материи с гравитационным полем (безмассовое поле со спином 2):
  $$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$$
  Решением является метрическое тензорное поле , а не волновая функция.

См. также

• Список уравнений ядерной физики и физики элементарных частиц
• Список уравнений квантовой механики
• Преобразование Лоренца
• Математические описания электромагнитного поля
  • Квантование электромагнитного поля
• Минимальная связь
• Скалярная теория поля
• Статус специальной теории относительности

Дальнейшее чтение

• Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN  0-89573-752-3 .
• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-051400-3 .
• Г. Воан, Издательство Кембриджского университета (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Д. МакМахон (2006). Демистифицированная теория относительности . МакГроу Хилл (США). ISBN  0-07-145545-0 .
• Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . У. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0344-0 .
• Б. Р. Мартин; Г. Шоу (2008). Физика элементарных частиц (Манчестерская серия) (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-470-03294-7 .
• П. Лабелль, Демистификация (2010). Суперсимметрия . МакГроу-Хилл (США). ISBN  978-0-07-163641-4 .
• Б. Х. Брансден; Си Джей Хоахейн (1983). Физика атомов и молекул . Лонгман. ISBN  0-582-44401-2 .
• Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-13-146100-0 .
• Д. МакМахон (2008). Квантовая теория поля . МакГроу Хилл (США). ISBN  978-0-07-154382-8 .
• М. Пиллин (1994). «q-деформированные релятивистские волновые уравнения». Журнал математической физики . 35 (6): 2804–2817. arXiv : hep-th/9310097 . Бибкод : 1994JMP....35.2804P . дои : 10.1063/1.530487 . S2CID   5919588 .