Уравнения Дирака двух тел

В квантовой теории поля , а также в важных областях квантовой электродинамики (КЭД) и квантовой хромодинамики (КХД) уравнения Дирака для двух тел (TBDE) динамики ограничений обеспечивают трехмерную, но явно ковариантную переформулировку уравнения Бете-Солпитера. для двух частиц со спином 1/2 . Такая переформулировка необходима, поскольку без нее, как показал Наканиси, Уравнение Бете-Солпитера имеет решения с отрицательной нормой, возникающие из-за наличия существенно релятивистской степени свободы - относительного времени. Эти «призрачные» состояния испортили наивную интерпретацию уравнения Бете-Солпитера как квантово-механического волнового уравнения. Уравнения динамики связей Дирака для двух тел исправляют этот недостаток. Формы этих уравнений могут быть выведены не только из квантовой теории поля. их также можно вывести исключительно в контексте динамики ограничений Дирака. релятивистская механика и квантовая механика. Их структуры, в отличие от более известного уравнения Дирака для двух тел Брейта , которое представляет собой одно уравнение, представляют собой уравнение двух одновременных квантовых релятивистских волновых уравнений . Единственное уравнение Дирака для двух тел, подобное уравнению Брейта, можно вывести из TBDE. В отличие от уравнения Брейта оно явно ковариантно и лишено тех типов особенностей, которые препятствуют строго непертурбативной трактовке уравнения Брейта. В приложениях TBDE к КЭД две частицы взаимодействуют посредством четырехвекторных потенциалов, полученных из теоретико-полевых электромагнитных взаимодействий между двумя частицами. В приложениях к КХД две частицы взаимодействуют посредством четырехвекторных потенциалов и лоренц-инвариантных скалярных взаимодействий, полученных частично из теоретико-полевых хромомагнитных взаимодействий между кварками, а частично из феноменологических соображений. шестнадцатикомпонентный спинор Как и в случае с уравнением Брейта, используется Ψ.

Уравнения

для одного тела Для КЭД каждое уравнение имеет ту же структуру, что и обычное уравнение Дирака в присутствии внешнего электромагнитного поля , заданного 4-потенциалом $A_{\mu }$. Для КХД каждое уравнение имеет ту же структуру, что и обычное одночастичное уравнение Дирака в присутствии внешнего поля, аналогичного электромагнитному полю, и дополнительного внешнего поля, определяемого через лоренц-инвариантный скаляр $S$. В натуральных единицах : эти уравнения двух тел имеют вид.

$${\begin{aligned}\left[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tilde {S}}_{1}\right]\Psi &=0,\\[1ex]\left[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}+{\tilde {S}}_{2}\right]\Psi &=0.\end{aligned}}$$где в координатном пространстве p ^м — 4-импульс , связанный с 4-градиентом соотношением ( метрика здесь используется $\eta _{\mu \nu }=(-1,1,1,1)$) $$p^{\mu }=-i{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}$$и γ ^м являются гамма-матрицами . Уравнения Дирака для двух тел (TBDE) обладают тем свойством, что если одна из масс становится очень большой, скажем, $m_{2}\rightarrow \infty$ тогда 16-компонентное уравнение Дирака сводится к 4-компонентному одночастичному уравнению Дирака для частицы номер один во внешнем потенциале.

В единицах СИ : $${\begin{aligned}\left[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}c+{\tilde {S}}_{1}\right]\Psi &=0,\\[1ex]\left[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}c+{\tilde {S}}_{2}\right]\Psi &=0.\end{aligned}}$$где c - скорость света и $$p^{\mu }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}$$

Ниже будут использоваться натуральные единицы. Символ тильды используется над двумя наборами потенциалов, чтобы указать, что они могут иметь дополнительные зависимости гамма-матрицы, отсутствующие в уравнении Дирака для одного тела. Любые константы связи, такие как заряд электрона , воплощены в векторных потенциалах.

Динамика ограничений и TBDE

Динамика ограничений, применяемая к TBDE, требует особой формы математической согласованности: два оператора Дирака должны коммутировать друг с другом. Это вполне правдоподобно, если рассматривать эти два уравнения как два совместимых ограничения на волновую функцию. (См. обсуждение динамики ограничений ниже.) Если два оператора не коммутируют (как, например, с операторами координаты и импульса $x,p$), то ограничения не были бы совместимыми (например, нельзя было бы иметь волновую функцию, которая удовлетворяла бы обоим $x\Psi =0$ и $p\Psi =0$). Эта математическая последовательность или совместимость приводит к трем важным свойствам TBDE. Первое — это условие, устраняющее зависимость от относительного времени в центре импульса (см) системы координат, определяемую формулой $P=p_{1}+p_{2}=(w,{\vec {0}})$. (Переменная $w$ — полная энергия в см-системе.) Другими словами, относительное время исключается ковариантным способом. В частности, для коммутации двух операторов скалярный и четырехвекторный потенциалы могут зависеть от относительной координаты $x=x_{1}-x_{2}$ только через свой компонент $x_{\perp }$ ортогонально $P$ в котором $$x_{\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }-P^{\mu }P^{\nu }/P^{2})x_{\nu },\,$$$$P_{\mu }x_{\perp }^{\mu }=0.\,$$

Это означает, что в см-системе $x_{\perp }=(0,{\vec {x}}={\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})$, который имеет нулевую временную составляющую.

Во-вторых, условие математической согласованности также исключает относительную энергию в см-системе . Он делает это, навязывая каждому оператору Дирака такую ​​структуру, что в конкретной комбинации они приводят к независимой форме этого взаимодействия, ковариантным образом устраняя относительную энергию. $$P\cdot p\Psi =(-P^{0}p^{0}+{\vec {P}}\cdot p)\Psi =0.\,$$

В этом выражении $p$ – относительный импульс, имеющий вид $(p_{1}-p_{2})/2$ для равных масс. В см-рамке ( $P^{0}=w,{\vec {P}}={\vec {0}}$), временная составляющая $p^{0}$ Таким образом, относительный импульс, то есть относительная энергия, устраняется. в том смысле, что $p^{0}\Psi =0$.

Третье следствие математической непротиворечивости состоит в том, что каждый мировой скаляр ${\tilde {S}}_{i}$ и четыре вектора ${\tilde {A}}_{i}^{\mu }$ потенциалов имеет член с фиксированной зависимостью от $\gamma _{1}$ и $\gamma _{2}$ помимо гамма-матрицы независимые формы $S_{i}$ и $A_{i}^{\mu }$ которые появляются в обычном одночастичном уравнении Дирака для скалярного и векторного потенциалов.Эти дополнительные члены соответствуют дополнительной зависимости от спина отдачи, отсутствующей в уравнении Дирака для одного тела, и исчезают, когда одна из частиц становится очень тяжелой (так называемый статический предел).

Подробнее о динамике ограничений: обобщенные ограничения массовой оболочки

Динамика ограничений возникла из работ Дирака. и Бергманн. В этом разделе показано, как происходит устранение относительного времени и энергии в см-системе для простой системы двух релятивистских бесспиновых частиц. Динамика ограничений была впервые применена к классической релятивистской системе двух частиц Тодоровым: Калб и Ван Альстин, Вернись, и Дроз-Винсент. Используя динамику ограничений, эти авторы нашли последовательный и ковариантный подход к релятивистской канонической гамильтоновой механике, который также обходит теорему Карри-Джордана-Сударшана об отсутствии взаимодействия. Эта теорема утверждает, что без полей не может быть релятивистской гамильтоновой динамики . Таким образом, тот же ковариантный трехмерный подход, который позволяет квантовой версии динамики ограничений удалять квантовые призраки , одновременно обходит на классическом уровне теорему CJS. Рассмотрим ограничение на независимые в противном случае четыре вектора координаты и импульса, записанные в виде $\phi _{i}(p,x)\approx 0$. Символ $\approx 0$ называется слабым равенством и подразумевает, что ограничение должно быть наложено только после того, как будут выполнены все необходимые скобки Пуассона . При наличии таких ограничений общая сумма гамильтониан ${\mathcal {H}}$ получается из лагранжиана ${\mathcal {L}}$ добавив к гамильтониану Лежандра $(p{\dot {x}}-{\mathcal {L}})$ сумма ограничений, умноженная на соответствующий набор множителей Лагранжа $(\lambda _{i})$. $${\mathcal {H}}=p{\dot {x}}-{\mathcal {L}}+\lambda _{i}\phi _{i},$$

Этот полный гамильтониан традиционно называют гамильтонианом Дирака. Ограничения естественным образом возникают из инвариантных по параметрам действий вида $$I=\int d\tau {\mathcal {L}}(\tau )=\int d\tau '{\frac {d\tau }{d\tau '}}{\mathcal {L}}(\tau )=\int d\tau '{\mathcal {L}}(\tau ').$$

В случае четырехвекторного и лоренц-скалярного взаимодействий для одной частицы лагранжиан равен $${\mathcal {L}}(\tau )=-(m+S(x)){\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}+{\dot {x}}\cdot A(x)\,$$

импульс Канонический ​ $$p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {(m+S(x)){\dot {x}}}{\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}}+A(x)$$и возведение в квадрат приводит к обобщенному условию массовой оболочки или обобщенному ограничению массовой оболочки. $$(p-A)^{2}+(m+S)^{2}=0.\,$$

Поскольку в этом случае гамильтониан Лежандра обращается в нуль $$p\cdot {\dot {x}}-{\mathcal {L}}=0,\,$$гамильтониан Дирака — это просто обобщенное ограничение массы (без взаимодействий это было бы просто обычное ограничение массовой оболочки) $${\mathcal {H}}=\lambda \left[\left(p-A\right)^{2}+(m+S)^{2}\right]\equiv \lambda (p^{2}+m^{2}+\Phi (x,p)).$$

Затем постулируется, что для двух тел гамильтониан Дирака представляет собой сумму двух таких ограничений массовой оболочки: $${\mathcal {H}}_{i}=p_{i}^{2}+m_{i}^{2}+\Phi _{i}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\approx 0,\,$$то есть $${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\lambda _{1}[p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]+\lambda _{2}[p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]\\[1ex]&=\lambda _{1}{\mathcal {H}}_{1}+\lambda _{2}{\mathcal {H}}_{2},\end{aligned}}$$и что каждое ограничение ${\mathcal {H}}_{i}$ быть постоянным в соответствующее время, связанное с ${\mathcal {H}}$$${\dot {\mathcal {H}}}_{i}=\{{\mathcal {H}}_{i},{\mathcal {H}}\}\approx 0\,$$

Здесь слабое равенство означает, что скобка Пуассона может привести к пропорциональному одному из ограничений, причем классические скобки Пуассона для релятивистской системы двух тел определяются формулой $$\left\{O_{1},O_{2}\right\}={\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{1\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{1\mu }}}+{\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{2\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{2\mu }}}.$$

Чтобы увидеть последствия того, что каждое ограничение является константой движения, возьмем, например, $${\dot {\mathcal {H}}}_{1}=\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}\}=\lambda _{1}\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}+\{{\mathcal {H}}_{1},\lambda _{1}\}{\mathcal {H}}_{2}+\lambda _{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}+\{\lambda _{2},{\mathcal {H}}_{1}\}{\mathcal {H}}_{2}.$$

С $\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}=0$ и ${\mathcal {H}}_{1}\approx 0$ и ${\mathcal {H}}_{2}\approx 0$ у одного есть $${\dot {\mathcal {H}}}_{1}\approx \lambda _{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}\approx 0.$$

Самое простое решение этой проблемы $$\Phi _{1}=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })$$что приводит к (обратите внимание, что равенство в этом случае не является слабым, поскольку после определения скобки Пуассона не требуется накладывать никаких ограничений) $$\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}=0\,$$(см. Тодоров, и Вонг и Кратер ) с тем же $x_{\perp }$ определено выше.

Квантование

Помимо замены классических динамических переменных их квантовыми аналогами, квантование механики ограничений происходит путем замены ограничения на динамические переменные ограничением на волновую функцию. $${\mathcal {H}}_{i}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0,$$$${\mathcal {H}}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}\Psi =0.$$

Первый набор уравнений для i = 1, 2 играет роль для бесспиновых частиц, которую два уравнения Дирака играют для частиц со спином в половину. Классические скобки Пуассона заменяются коммутаторами. $$\{O_{1},O_{2}\}\rightarrow {\frac {1}{i}}[O_{1},O_{2}].\,$$

Таким образом $$[{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}]=0,\,$$и в этом случае мы видим, что формализм ограничений приводит к исчезающему коммутатору волновых операторов для двух частиц. Это аналог сформулированного ранее утверждения о коммутации двух операторов Дирака друг с другом.

Ковариантное исключение относительной энергии

Обнуление указанного коммутатора обеспечивает независимость динамики от относительного времени в см-системе. Чтобы ковариантно исключить относительную энергию, введем относительный импульс $p$ определяется

$p_{1}={\frac {p_{1}\cdot P}{P^{2}}}P+p\,,$ ( 1 )

$p_{2}={\frac {p_{2}\cdot P}{P^{2}}}P-p\,,$ ( 2 )

Приведенное выше определение относительного импульса приводит к ортогональности полного импульса и относительного импульса: $$P\cdot p=0,$$что следует из скалярного произведения любого уравнения на $P$.Из уравнений ( 1 ) и ( 2 ) этот относительный импульс можно записать через $p_{1}$ и $p_{2}$ как $$p={\frac {\varepsilon _{2}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{1}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{2}$$

где $$\varepsilon _{1}=-{\frac {p_{1}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}$$$$\varepsilon _{2}=-{\frac {p_{2}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{2}^{2}-p_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}$$являются проекциями импульсов $p_{1}$ и $p_{2}$ вдоль направления полного импульса $P$. Вычитание двух ограничений ${\mathcal {H}}_{1}\Psi =0$ и ${\mathcal {H}}_{2}\Psi =0$, дает

$(p_{1}^{2}-p_{2}^{2})\Psi =-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})\Psi$ ( 3 )

Таким образом, в этих состояниях $\Psi$$$\varepsilon _{1}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi$$$$\varepsilon _{2}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi .$$

Уравнение ${\mathcal {H}}\Psi =0$ описывает как см-движение, так и внутреннее относительное движение. Чтобы охарактеризовать первое движение, заметим, что, поскольку потенциал $\Phi$ зависит только от разницы двух координат $$[P,{\mathcal {H}}]\Psi =0.$$

(Этого не требует $[P,\lambda _{i}]=0$ с тех пор как ${\mathcal {H}}_{i}\Psi =0$.) Таким образом, полный импульс $P$ является постоянной движения и $\Psi$ - это собственное состояние, характеризующееся полным импульсом $P'$. В системе см. $P'=(w,{\vec {0}}),$ с $w$ инвариантный центр импульса (см) энергии. Таким образом

$(P^{2}+w^{2})\Psi =0\,,$ ( 4 )

и так $\Psi$ также является собственным состоянием операторов энергии см для каждой из двух частиц, $$\varepsilon _{1}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}}\Psi$$$$\varepsilon _{2}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}}\Psi .$$

Относительный импульс тогда удовлетворяет $$p\Psi ={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}}\Psi ,$$так что $$p_{1}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p\right)\Psi ,$$$$p_{2}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p\right)\Psi ,$$

Приведенная выше система уравнений следует из ограничений ${\mathcal {H}}_{i}\Psi =0$ и определение относительных импульсов, данное в уравнениях ( 1 ) и ( 2 ). Если вместо этого кто-то решит определить (более общий выбор см. в Хорвице), $$\varepsilon _{1}={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}},$$$$\varepsilon _{2}={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}},$$$$p={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}},$$не зависит от волновой функции, то

$p_{1}={\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p,$ ( 5 )

$p_{2}={\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p,$ ( 6 )

и несложно показать, что уравнение ограничения ( 3 ) приводит непосредственно к:

$P\cdot p\Psi =0,$ ( 7 )

вместо $P\cdot p=0$. Это согласуется с более ранним утверждением об исчезновении относительной энергии в см-системе, сделанным в связи с TBDE. Во втором варианте значение относительной энергии cm не определяется как ноль, а исходит из исходных обобщенных ограничений массовой оболочки. Приведенные выше уравнения для относительного и составляющего четырехимпульса являются релятивистскими аналогами нерелятивистских уравнений $${\begin{aligned}{\vec {p}}&={\frac {m_{2}{\vec {p}}_{1}-m_{1}{\vec {p}}_{2}}{M}},\\[1ex]{\vec {p}}_{1}&={\frac {m_{1}}{M}}{\vec {P}}+{\vec {p}},\\[1ex]{\vec {p}}_{2}&={\frac {m_{2}}{M}}{\vec {P}}-{\vec {p}}.\end{aligned}}$$

Ковариантное уравнение собственных значений внутреннего движения

Используя уравнения ( 5 ),( 6 ),( 7 ), можно написать ${\mathcal {H}}$ с точки зрения $P$ и $p$

$${\mathcal {H}}\Psi =\{\lambda _{1}[-\varepsilon _{1}^{2}+m_{1}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]+\lambda _{2}[-\varepsilon _{2}^{2}+m_{2}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\}\Psi$$

$=(\lambda _{1}+\lambda _{2})[-b^{2}(-P^{2};m_{1}^{2},m_{2}^{2})+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\Psi =0\,,$ ( 8 )

где

$$b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})=\varepsilon _{1}^{2}-m_{1}^{2}=\varepsilon _{2}^{2}-m_{2}^{2}\ =-{\frac {1}{4P^{2}}}(P^{4}+2P^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2})\,.$$

Уравнение ( 8 ) содержит как полный импульс $P$ [через $b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})$] и относительный импульс $p$. Используя уравнение ( 4 ), получаем уравнение на собственные значения

$(\lambda _{1}+\lambda _{2})\left\{p^{2}+\Phi (x_{\perp })-b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\right\}\Psi =0\,,$ ( 9 )

так что $b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})$ становится стандартной функцией треугольника, отображающей точную релятивистскую кинематику двух тел:

$$b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})={\frac {1}{4w^{2}}}\left\{w^{4}-2w^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}\right\}\,.$$

С указанными выше ограничениями ( 7 ) на $\Psi$ затем $p^{2}\Psi =p_{\perp }^{2}\Psi$ где $p_{\perp }=p-p\cdot PP/P^{2}$. Это позволяет написать уравнение ( 9 ) в виде уравнения на собственные значения $$\{p_{\perp }^{2}+\Phi (x_{\perp })\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,$$

имеющее структуру, очень похожую на структуру обычного трехмерного нерелятивистского уравнения Шредингера. Это явно ковариантное уравнение, но в то же время его трехмерная структура очевидна. Четыре вектора $p_{\perp }^{\mu }$ и $x_{\perp }^{\mu }$ имеют только три независимых компонента, поскольку $$P\cdot p_{\perp }=P\cdot x_{\perp }=0\,.$$Сходство с трехмерной структурой нерелятивистского уравнения Шредингера можно сделать более явным, если записать уравнение в системе см, в которой $$P=(w,{\vec {0}}),$$$$p_{\perp }=(0,{\vec {p}}),$$$$x_{\perp }=(0,{\vec {x}}).$$

Сравнение полученной формы

$\{{\vec {p}}^{2}+\Phi ({\vec {x}})\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,$ ( 10 )

с независимым от времени уравнением Шредингера

$\left({\vec {p}}^{2}+2\mu V({\vec {x}})\right)\Psi =2\mu E\Psi \,,$ ( 11 )

делает это сходство явным.

Релятивистские уравнения двух тел Клейна – Гордона

Правдоподобная структура квазипотенциала $\Phi$ можно найти, наблюдая, что одночастичное уравнение Клейна – Гордона $(p^{2}+m^{2})\psi =({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2})\psi =0$ принимает форму $({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2}+2mS+S^{2}+2\varepsilon A-A^{2})\psi =0~$ когда вводится скалярное взаимодействие и времяподобное векторное взаимодействие через $m\rightarrow m+S~$и $\varepsilon \rightarrow \varepsilon -A$. В случае двух тел отдельные классические и квантовая теория поля аргументы показывают, что если учесть мировые скалярные и векторные взаимодействия, то $\Phi$ зависит от двух основных инвариантных функций $S(r)$ и $A(r)$ через двухчастичную потенциальную форму, подобную Клейну – Гордону, с той же общей структурой, т.е. $$\Phi =2m_{w}S+S^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2}.$$Эти теории поля дополнительно приводят к формам, зависящим от энергии см. $$m_{w}=m_{1}m_{2}/w,$$и $$\varepsilon _{w}=(w^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2})/2w,$$те, которые Тододов ввел как релятивистскую приведенную массу и эффективную энергию частицы для системы двух тел. Подобно тому, что происходит в нерелятивистской задаче двух тел, в релятивистском случае мы имеем движение этой эффективной частицы, происходящее так, как если бы она находилась во внешнем поле (в данном случае создаваемом $S$ и $A$). Две кинематические переменные $m_{w}$ и $\varepsilon _{w}$ связаны друг с другом условием Эйнштейна $$\varepsilon _{w}^{2}-m_{w}^{2}=b^{2}(w),$$Если ввести четырехвекторы, включая векторное взаимодействие $A^{\mu }$$${\mathfrak {p}}=\varepsilon _{w}{\hat {P}}+p,$$$$A^{\mu }={\hat {P}}^{\mu }A(r)$$$$r={\sqrt {x_{\perp }^{2}}}\,,$$и скалярное взаимодействие $S(r)$, то следующая классическая форма минимального ограничения $${\mathcal {H}}=\left({\mathfrak {p-}}A\right)^{2}+(m_{w}+S)^{2}\approx 0\,,$$воспроизводит

${\mathcal {H}}=p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\approx 0\,.$ ( 12 )

Обратите внимание, что взаимодействие в этом ограничении «редуцированных частиц» зависит от двух инвариантных скаляров: $A(r)$ и $S(r)$, один управляет времениподобным векторным взаимодействием, а другой - скалярным взаимодействием.

Существует ли набор уравнений Клейна – Гордона для двух тел, аналогичный уравнениям Дирака для двух тел? Классические релятивистские ограничения, аналогичные квантовым уравнениям Дирака для двух тел (обсуждаемым во введении), имеют ту же структуру, что и вышеупомянутая одночастичная форма Клейна – Гордона: $${\mathcal {H}}_{1}=(p_{1}-A_{1})^{2}+(m_{1}+S_{1})^{2}=p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}\approx 0$$$${\mathcal {H}}_{2}=(p_{1}-A_{2})^{2}+(m_{2}+S_{2})^{2}=p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}\approx 0,$$$$p_{1}=\varepsilon _{1}{\hat {P}}+p;~~p_{2}=\varepsilon _{2}{\hat {P}}-p~.$$Определение структур, которые отображают времяподобные векторные и скалярные взаимодействия. $$\pi _{1}=p_{1}-A_{1}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1})+p],$$$$\pi _{2}=p_{2}-A_{2}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{1})-p],$$$$M_{1}=m_{1}+S_{1},$$$$M_{2}=m_{2}+S_{2},$$дает $${\mathcal {H}}_{1}=\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2},$$$${\mathcal {H}}_{2}=\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}.$$Внушительный $${\begin{aligned}\Phi _{1}&=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })\\&=-2p_{1}\cdot A_{1}+A_{1}^{2}+2m_{1}S_{1}+S_{1}^{2}\\&=-2p_{2}\cdot A_{2}+A_{2}^{2}+2m_{2}S_{2}+S_{2}^{2}\\&=2\varepsilon _{w}A-A^{2}+2m_{w}S+S^{2},\end{aligned}}$$и используя ограничение $P\cdot p\approx 0$, воспроизводит уравнения ( 12 ) при условии

$$\pi _{1}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1}\right)^{2}=-\varepsilon _{1}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},$$

$$\pi _{2}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{2}\right)^{2}=-\varepsilon _{2}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},$$$$M_{1}{}^{2}=m_{1}^{2}+2m_{w}S+S^{2},$$$$M_{2}^{2}=m_{2}^{2}+2m_{w}S+S^{2}.$$Соответствующие уравнения Клейна – Гордона имеют вид $$\left(\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2}\right)\psi =0,$$$$\left(\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}\right)\psi =0,$$и каждый из-за ограничения $P\cdot p\approx 0,$ эквивалентно $${\mathcal {H}}\psi =\left(p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\right)\psi =0.$$

Гиперболическая форма в сравнении с формой внешнего поля уравнений Дирака для двух тел

Для системы двух тел существуют многочисленные ковариантные формы взаимодействия. Самый простой способ взглянуть на это - с точки зрения структур гамма-матрицы соответствующих вершин взаимодействия диаграмм одночастичного обмена. Для скалярных, псевдоскалярных, векторных, псевдовекторных и тензорных обменов эти матричные структуры соответственно $$1_{1}1_{2};\gamma _{51}\gamma _{52};\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{2\mu };\gamma _{51}\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{52}\gamma _{2\mu };\sigma _{1\mu \nu }\sigma _{2}^{\mu \nu },$$в котором $$\sigma _{i\mu \nu }={\frac {1}{2i}}[\gamma _{i\mu },\gamma _{i\nu }];i=1,2.$$Форма уравнений Дирака для двух тел, которая наиболее легко включает каждое или любое количество этих взаимодействий совместно, представляет собой так называемую гиперболическую форму TBDE. Для комбинированных скалярных и векторных взаимодействий эти формы в конечном итоге сводятся к формам, приведенным в первой системе уравнений этой статьи. Эти уравнения называются формами, подобными внешнему полю, потому что их внешний вид по отдельности такой же, как у обычного уравнения Дирака для одного тела в присутствии внешних векторных и скалярных полей.

Наиболее общая гиперболическая форма совместимого TBDE: $${\mathcal {S}}_{1}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{1}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{2})\psi =0,$$

${\mathcal {S}}_{2}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{2}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{1})\psi =0,$ ( 13 )

где $\Delta$ представляет собой любое инвариантное взаимодействие по отдельности или в комбинации. Помимо координатной зависимости, он имеет матричную структуру. В зависимости от того, что представляет собой матричная структура, существуют скалярные, псевдоскалярные, векторные, псевдовекторные или тензорные взаимодействия. Операторы $\mathbf {S} _{1}$ и $\mathbf {S} _{2}$ являются вспомогательными ограничениями, удовлетворяющими $$\mathbf {S} _{1}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{10}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{20}\sinh(\Delta )~)\psi =0,$$

$\mathbf {S} _{2}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{20}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{10}\sinh(\Delta )~)\psi =0,$ ( 14 )

в котором ${\mathcal {S}}_{i0}$ свободные операторы Дирака

${\mathcal {S}}_{i0}={\frac {i}{\sqrt {2}}}\gamma _{5i}(\gamma _{i}\cdot p_{i}+m_{i})=0,$ ( 15 )

Это, в свою очередь, приводит к двум условиям совместимости. $$\lbrack {\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2}]\psi =0,$$и $$\lbrack \mathbf {S} _{1},\mathbf {S} _{2}]\psi =0,$$при условии, что $\Delta =\Delta (x_{\perp }).$ Эти условия совместимости не ограничивают структуру гамма-матрицы $\Delta$. Эта матричная структура определяется типом структуры вершина-вершина, включенной во взаимодействие. Для двух типов инвариантных взаимодействий $\Delta$ в этой статье подчеркнуто, что они $$\Delta _{\mathcal {L}}(x_{\perp })=-1_{1}1_{2}{\frac {{\mathcal {L}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{scalar}},$$$$\Delta _{\mathcal {G}}(x_{\perp })=\gamma _{1}\cdot \gamma _{2}{\frac {{\mathcal {G}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{vector}},$$$${\mathcal {O}}_{1}=-\gamma _{51}\gamma _{52}.$$

Для общих независимых скалярных и векторных взаимодействий $$\Delta (x_{\perp })=\Delta _{\mathcal {L}}+\Delta _{\mathcal {G}}.$$Векторное взаимодействие, заданное приведенной выше матричной структурой для электромагнитного взаимодействия, будет соответствовать калибровке Фейнмана.

Если подставить уравнение ( 14 ) в ( 13 ), поставить свободный оператор Дирака ( 15 ) справа от матричных гиперболических функций и использовать стандартные гамма-матричные коммутаторы и антикоммутаторы и $\cosh ^{2}\Delta -\sinh ^{2}\Delta =1$ человек приходит в $\left(\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }\right),$$${\big (}G\gamma _{1}\cdot {\mathcal {P}}_{2}-E_{1}\beta _{1}+M_{1}-G{\frac {i}{2}}\Sigma _{2}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{2}-{\mathcal {G}}\beta _{1})\gamma _{52}{\big )}\psi =0,$$

${\big (}-G\gamma _{2}\cdot {\mathcal {P}}_{1}-E_{2}\beta _{2}+M_{2}+G{\frac {i}{2}}\Sigma _{1}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{1}-{\mathcal {G}}\beta _{2})\gamma _{51}{\big )}\psi =0,$ ( 16 )

в котором $$G=\exp {\mathcal {G}},$$$$\beta _{i}=-\gamma _{i}\cdot {\hat {P}},$$$$\gamma _{i\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }+{\hat {P}}^{\mu }{\hat {P}}^{\nu })\gamma _{\nu i},$$$$\Sigma _{i}=\gamma _{5i}\beta _{i}\gamma _{\perp i},$$$${\mathcal {P}}_{i}\equiv p_{\perp }-{\frac {i}{2}}\Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}\,,\quad i=1,2.$$(Ковариантная) структура этих уравнений аналогична структуре уравнения Дирака для каждой из двух частиц, с $M_{i}$ и $E_{i}$ играя роли, которые $m+S$ и $\varepsilon -A$ сделать в одночастичном уравнении Дирака $$(\mathbf {\gamma } \cdot \mathbf {p-} \beta (\varepsilon -A)+m+S)\psi =0.$$Сверх обычной кинетической части $\gamma _{1}\cdot p_{\perp }$ и времяподобные векторные и скалярные потенциальные части, спин-зависимые модификации, включающие $\Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}$ и последний набор производных членов представляет собой эффекты отдачи двух тел, отсутствующие в уравнении Дирака для одного тела, но необходимые для совместимости (непротиворечивости) уравнений двух тел. Связи между тем, что называется вершинными инвариантами. ${\mathcal {L}},{\mathcal {G}}$ а массовый и энергетический потенциалы $M_{i},E_{i}$ являются $$M_{1}=m_{1}\cosh {\mathcal {L}}+m_{2}\sinh {\mathcal {L}},$$$$M_{2}=m_{2}\cosh {\mathcal {L}}+m_{1}\sinh {\mathcal {L}},$$$$E_{1}=\varepsilon _{1}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{2}\sinh {\mathcal {G}},$$$$E_{2}=\varepsilon _{2}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{1}\sinh {\mathcal {G}}.$$Сравнивая уравнение ( 16 ) с первым уравнением этой статьи, можно обнаружить, что векторные взаимодействия, зависящие от спина, имеют вид $${\tilde {A}}_{1}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{1}-E_{1}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }+(1-G)p_{\perp }^{\mu }-{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{2}\gamma _{2}^{\mu },$$$$A_{2}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{2}-E_{2}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }-(1-G)p_{\perp }^{\mu }+{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{1}\gamma _{1}^{\mu },$$Заметим, что первая часть векторных потенциалов времениподобна (параллельна ${\hat {P}}^{\mu })$ а следующая часть пространственноподобна (перпендикулярна ${\hat {P}}^{\mu })$. Спин-зависимые скалярные потенциалы ${\tilde {S}}_{i}$ являются $${\tilde {S}}_{1}=M_{1}-m_{1}-{\frac {i}{2}}G\gamma _{2}\cdot \partial {\mathcal {L}},$$$${\tilde {S}}_{2}=M_{2}-m_{2}+{\frac {i}{2}}G\gamma _{1}\cdot \partial {\mathcal {L}}.$$

Параметризация для ${\mathcal {L}}$ и ${\mathcal {G}}$ использует преимущества эффективных форм внешнего потенциала Тодорова (как видно из приведенного выше раздела, посвященного уравнениям Клейна Гордона для двух тел) и в то же время отображает правильную статическую предельную форму для приведения Паули к форме, подобной Шредингеру. Выбор этих параметризаций (как и в случае с уравнениями Клейна Гордона для двух тел) тесно связан с классической или квантовой теорией поля для отдельных скалярных и векторных взаимодействий. Это равносильно работе в калибровке Фейнмана с простейшим соотношением между пространственно- и времяподобными частями векторного взаимодействия. Массовый и энергетический потенциалы соответственно равны $$M_{i}^{2}=m_{i}^{2}+\exp(2{\mathcal {G}})(2m_{w}S+S^{2}),$$$$E_{i}^{2}=\exp(2{\mathcal {G}}(A))\left(\varepsilon _{i}-A\right)^{2},$$так что $$\exp {\mathcal {L}}=\exp({\mathcal {L}}(S,A))={\frac {M_{1}+M_{2}}{m_{1}+m_{2}}},$$$$G=\exp {\mathcal {G}}=\exp({\mathcal {G}}(A))={\sqrt {\frac {1}{(1-2A/w)}}}.$$

Приложения и ограничения

TBDE можно легко применить к двум системам тел, таким как позитроний , мюоний , водородоподобные атомы, кварконий и двухнуклонная система . Эти приложения включают только две частицы и не предполагают создания или уничтожения частиц, помимо этих двух. В них участвуют только упругие процессы. Из-за связи между потенциалами, используемыми в TBDE, и соответствующей квантовой теорией поля, любая радиационная поправка к взаимодействию низшего порядка может быть включена в эти потенциалы. Чтобы увидеть, как это происходит, рассмотрим для сравнения, как вычисляются амплитуды рассеяния без использования квантовой теории поля. Без квантовой теории поля к потенциалам приходится приходить с помощью классических аргументов или феноменологических соображений. Как только у человека появится потенциал $V$ между двумя частицами, то можно вычислить амплитуду рассеяния $T$ из Липпмана–Швингера уравнения $$T+V+VGT=0,$$в котором $G$ – функция Грина, определяемая из уравнения Шредингера. Из-за сходства уравнения Шредингера (ур. ( 11 ) и уравнение релятивистской связи ( 10 ), можно вывести уравнение того же типа, что и приведенное выше. $${\mathcal {T}}+\Phi +\Phi {\mathcal {G}}{\mathcal {T}}=0,$$называется квазипотенциальным уравнением с ${\mathcal {G}}$ очень похоже на то, что дано в уравнении Липпмана–Швингера. Разница в том, что уравнение квазипотенциала начинается с амплитуд рассеяния ${\mathcal {T}}$ квантовой теории поля, определяемой из диаграмм Фейнмана, и выводит квазипотенциал Φ пертурбативно. Затем можно использовать эту Φ в ( 10 ) для вычисления энергетических уровней двух систем частиц, которые подразумеваются теорией поля. Динамика ограничений представляет собой один из многих, фактически бесконечного числа, различных типов квазипотенциальных уравнений (трехмерных сокращений уравнения Бете – Солпитера), отличающихся друг от друга выбором ${\mathcal {G}}$. Относительно простое решение проблемы относительного времени и энергии, основанное на обобщенном ограничении массовой оболочки для двух частиц, не имеет простого расширения, такого как представленное здесь с помощью $x_{\perp }$ переменная, либо к двум частицам во внешнем поле или к 3 или более частицам. Саздджян представил рецепт такого расширения, когда частицы ограничены и не могут разделиться на кластеры из меньшего числа частиц без межкластерных взаимодействий. Лусанна разработала подход, который не включает обобщенные ограничения массовой оболочки без таких ограничений и распространяется на N тел с полями или без них. Она сформулирована на пространственноподобных гиперповерхностях, и при ограничении семейством гиперплоскостей, ортогональных полному времениподобному импульсу, возникает ковариантная внутренняя одновременная формулировка (без относительных переменных времени), называемая «мгновенной формой системы покоя» динамики.

См. также

• Широкое уравнение
• 4-векторный
• Уравнение Дирака
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства
• Оператор Дирака
• Электромагнетизм
• Кинетический импульс
• Многие проблемы с телом
• Инвариантная масса
• Физика элементарных частиц
• Позитроний
• Фигурное исчисление
• Специальная теория относительности
• Вращаться
• Квантовая запутанность
• Релятивистская квантовая механика

Ссылки

• Чайлдерс, Р. (1982). «Уравнение Дирака двух тел для полурелятивистских кварков». Физический обзор D . 26 (10): 2902–2915. Бибкод : 1982PhRvD..26.2902C . дои : 10.1103/PhysRevD.26.2902 .
• Чайлдерс, Р. (1985). «Ошибка: уравнение Дирака двух тел для полурелятивистских кварков» . Физический обзор D . 32 (12): 3337. Бибкод : 1985PhRvD..32.3337C . дои : 10.1103/PhysRevD.32.3337 . ПМИД   9956143 .
• Феррейра, П. (1988). «Уравнение Дирака двух тел со скалярным линейным потенциалом». Физический обзор D . 38 (8): 2648–2650. Бибкод : 1988PhRvD..38.2648F . дои : 10.1103/PhysRevD.38.2648 . hdl : 11449/34339 . ПМИД   9959432 .
• Скотт, Т.; Шерцер, Дж . ; Мур, Р. (1992). «Точные конечно-элементные решения уравнения Дирака двух тел». Физический обзор А. 45 (7): 4393–4398. Бибкод : 1992PhRvA..45.4393S . дои : 10.1103/PhysRevA.45.4393 . ПМИД   9907514 .
• Паттерсон, Крис В. (2019). «Аномальные состояния позитрония». Физический обзор А. 100 (6): 062128. arXiv : 2004.06108 . Бибкод : 2019PhRvA.100f2128P . дои : 10.1103/PhysRevA.100.062128 . S2CID   214017953 .
• Паттерсон, Крис В. (2023). «Свойства аномальных состояний позитрония». Физический обзор А. 107 (4): 042816. arXiv : 2207.05725 . дои : 10.1103/PhysRevA.107.042816 .
• Различные формы радиальных уравнений задачи двух тел Дирака В. Круликовский (1991), Институт теоретической физики (Варшава, Польша)
• Дувиряк, Аскольд (2008). «Разрешимое двухчастичное уравнение Дирака как потенциальная модель легких мезонов». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 4 : 048. arXiv : 0805.4725 . Бибкод : 2008SIGMA...4..048D . дои : 10.3842/SIGMA.2008.048 . S2CID   15461500 .