Уравнение Уиллера – ДеВитта

Уравнение Уиллера – ДеВитта для теоретической физики и прикладной математики это уравнение поля, приписываемое Джону Арчибальду Уилеру и Брайсу ДеВитту . Уравнение пытается математически объединить идеи квантовой механики и общей теории относительности , что является шагом к теории квантовой гравитации .

В этом подходе время играет роль, отличную от той, которую оно играет в нерелятивистской квантовой механике, что приводит к так называемой « проблеме времени ». Более конкретно, уравнение описывает квантовую версию ограничения Гамильтона с использованием метрических переменных. Его коммутационные отношения с ограничениями диффеоморфизма порождают «группу» Бергмана – Комара (которая является на группой диффеоморфизмов оболочке ).

Мотивация и предыстория

В канонической гравитации пространство-время расслоено на пространственноподобные подмногообразия. Три-метрика (т. е. метрика на гиперповерхности) равна $\gamma _{ij}$ и предоставлено

$g_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\,\mathrm {d} x^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})\,\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{k}\,\mathrm {d} x^{k}\,\mathrm {d} t+\gamma _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x^{j}.$

В этом уравнении латинские индексы переходят значения 1, 2, 3, а греческие индексы — значения 1, 2, 3, 4. Трехметрический $\gamma _{ij}$ – поле, и мы обозначим его сопряженные импульсы как $\pi ^{ij}$. Гамильтониан является ограничением (характерным для большинства релятивистских систем).

${\mathcal {H}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}G_{ijkl}\pi ^{ij}\pi ^{kl}-{\sqrt {\gamma }}\,{}^{(3)}\!R=0$

где $\gamma =\det(\gamma _{ij})$ и $G_{ijkl}=(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})$ – метрика Уиллера–ДеВитта. В безиндексных обозначениях метрика Уиллера – ДеВитта в пространстве положительно определенных квадратичных форм g в трех измерениях равна

$\operatorname {tr} ((g^{-1}dg)^{2})-(\operatorname {tr} (g^{-1}dg))^{2}.$

Квантование «надевает шляпу» на импульсы и переменные поля; то есть функции чисел в классическом случае становятся операторами, модифицирующими функцию состояния в квантовом случае. Таким образом, мы получаем оператор

${\widehat {\mathcal {H}}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\widehat {G}}_{ijkl}{\widehat {\pi }}^{ij}{\widehat {\pi }}^{kl}-{\sqrt {\gamma }}\,{}^{(3)}\!{\widehat {R}}.$

Работая в «позиционном пространстве», эти операторы

${\hat {\gamma }}_{ij}(t,x^{k})\to \gamma _{ij}(t,x^{k})$

${\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\to -i{\frac {\delta }{\delta \gamma _{ij}(t,x^{k})}}.$

Оператор можно применить к общему волновому функционалу метрики ${\widehat {\mathcal {H}}}\Psi [\gamma ]=0$ где:

$\Psi [\gamma ]=a+\int \psi (x)\gamma (x)dx^{3}+\int \int \psi (x,y)\gamma (x)\gamma (y)dx^{3}dy^{3}+...$

что дало бы набор ограничений среди коэффициентов $\psi (x,y,...)$. Это означает, что амплитуды для $N$ гравитонов в определенных позициях связана с амплитудами для разного количества гравитонов в разных позициях. Или можно использовать формализм двух полей, рассматривая $\omega (g)$ как независимое поле, так что волновая функция равна $\Psi [\gamma ,\omega ]$.

Математический формализм

Уравнение Уиллера – ДеВитта является функционально-дифференциальным уравнением. В общем случае оно нечетко определено, но очень важно в теоретической физике , особенно в квантовой гравитации . Это функционально-дифференциальное уравнение в пространстве трехмерных пространственных метрик. Уравнение Уиллера-ДеВитта имеет вид оператора, действующего на волновой функционал; функционал сводится к функции в космологии. В отличие от общего случая, уравнение Уиллера – ДеВитта хорошо определено в минисуперпространствах, таких как конфигурационное пространство космологических теорий. Примером такой волновой функции является состояние Хартла-Хокинга . Брайс ДеВитт впервые опубликовал это уравнение в 1967 году под названием «Уравнение Эйнштейна – Шредингера»; позже оно было переименовано в «уравнение Уиллера – ДеВитта».

гамильтоново ограничение

Проще говоря, уравнение Уиллера – ДеВитта гласит:

${\hat {H}}(x)|\psi \rangle =0$

где ${\hat {H}}(x)$ является гамильтоновым ограничением в квантовой общей теории относительности и $|\psi \rangle$ обозначает волновую функцию Вселенной . В отличие от обычной квантовой теории поля или квантовой механики, гамильтониан является ограничением первого класса для физических состояний. У нас также есть независимое ограничение для каждой точки пространства.

Хотя символы ${\hat {H}}$ и $|\psi \rangle$ могут показаться знакомыми, их интерпретация в уравнении Уиллера-ДеВитта существенно отличается от нерелятивистской квантовой механики. $|\psi \rangle$ больше не является пространственной волновой функцией в традиционном смысле комплексной функции, которая определена на трехмерной пространственноподобной поверхности и нормирована к единице. Вместо этого это функционал конфигураций полей во всем пространстве-времени. Эта волновая функция содержит всю информацию о геометрии и материальном составе Вселенной. ${\hat {H}}$ по-прежнему является оператором, действующим в гильбертовом пространстве волновых функций, но это не то же самое гильбертово пространство, что и в нерелятивистском случае, и гамильтониан больше не определяет эволюцию системы, поэтому уравнение Шредингера ${\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar \partial /\partial t|\psi \rangle$ больше не применяется. Это свойство известно как безвременье. Были предприняты различные попытки включить время в полностью квантовую структуру, начиная с «механизма Пейджа и Вуттерса» и других последующих предложений. Было также предложено, что возрождение времени возникает в результате квантовых корреляций между развивающейся системой и эталонной системой квантовых часов. Концепция запутанности системного времени введена как квантификатор фактической различимой эволюции, которую претерпевает система.

Ограничение импульса

Нам также необходимо дополнить гамильтоново ограничение ограничениями по импульсу.

${\vec {\mathcal {P}}}(x)\left|\psi \right\rangle =0$

связанный с пространственной инвариантностью диффеоморфизма.

В приближениях минисуперпространства у нас есть только одно гамильтоново ограничение (вместо бесконечного их числа).

Фактически, принцип общей ковариантности в общей теории относительности подразумевает, что глобальной эволюции как таковой не существует; время $t$ — это просто метка, которую мы присваиваем одной из осей координат. Таким образом, то, что мы считаем эволюцией во времени любой физической системы, — это всего лишь калибровочное преобразование , подобное преобразованию в КЭД, индуцированному локальным калибровочным преобразованием U(1). $\psi \rightarrow e^{i\theta ({\vec {r}})}\psi$ где $\theta ({\vec {r}})$ играет роль местного времени. Роль гамильтониана состоит в том, чтобы просто ограничить пространство «кинематических» состояний Вселенной пространством «физических» состояний — тех, которые следуют калибровочным орбитам. По этой причине мы называем это «гамильтоновым ограничением». При квантовании физические состояния становятся волновыми функциями, лежащими в ядре оператора Гамильтона.

В общем случае гамильтониан исчезает для теории с общей ковариантностью или инвариантностью во времени.

См. также

• формализм АДМ
• Ограничение диффеоморфизма
• Евклидова квантовая гравитация
• Вмещает исчисление
• Каноническая квантовая гравитация
• Метрика Переса
• Петлевая квантовая гравитация

Ссылки

• Хамбер, Герберт В.; Уильямс, Рут М. (18 ноября 2011 г.). «Дискретное уравнение Уиллера-ДеВитта» . Физический обзор D . 84 (10): 104033. arXiv : 1109.2530 . Бибкод : 2011PhRvD..84j4033H . дои : 10.1103/PhysRevD.84.104033 . ISSN   1550-7998 . S2CID   4812404 . {{cite journal}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
• Хамбер, Герберт В.; Ториуми, Рэйко; Уильямс, Рут М. (2 октября 2012 г.). «Уравнение Уиллера-ДеВитта в измерениях 2+1» . Физический обзор D . 86 (8): 084010. arXiv : 1207.3759 . Бибкод : 2012PhRvD..86h4010H . дои : 10.1103/PhysRevD.86.084010 . ISSN   1550-7998 . S2CID   119229306 . {{cite journal}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )