Теория поля Лиувилля

В физике ( теория поля Лиувилля или просто теория Лиувилля ) — это двумерная конформная теория поля , классическое уравнение движения которой является обобщением уравнения Лиувилля .

Теория Лиувилля определена для всех комплексных значений центрального заряда. $c$ ее алгебры симметрии Вирасоро , но она унитарна только тогда, когда

$c\in (1,+\infty ),$

и его классический предел

$c\to +\infty .$

Хотя это взаимодействующая теория с непрерывным спектром , теория Лиувилля была решена. его трехточечная функция на сфере В частности, аналитически определена .

Введение

Теория Лиувилля описывает динамику поля. $\varphi$ называемое полем Лиувилля, которое определено в двумерном пространстве. Это поле не является свободным полем из-за наличия экспоненциального потенциала.

$V(\varphi )=e^{2b\varphi }\ ,$

где параметр $b$ называется константой связи . В теории свободного поля собственные векторы энергии $e^{2\alpha \varphi }$ линейно независимы, а импульс $\alpha$ сохраняется во взаимодействиях. В теории Лиувилля импульс не сохраняется.

Отражение собственного вектора энергии с импульсом $\alpha$ от экспоненциального потенциала теории Лиувилля

Более того, потенциал отражает собственные векторы энергии до того, как они достигнут $\varphi =+\infty$, а два собственных вектора линейно зависимы, если их импульсы связаны отражением

$\alpha \to Q-\alpha \ ,$

где фоновый заряд

$Q=b+{\frac {1}{b}}\ .$

Хотя экспоненциальный потенциал нарушает сохранение импульса, он не нарушает конформную симметрию, а теория Лиувилля представляет собой конформную теорию поля с центральным зарядом.

$c=1+6Q^{2}\ .$

При конформных преобразованиях собственный вектор энергии с импульсом $\alpha$ преобразуется как первичное поле с конформной размерностью $\Delta$ к

$\Delta =\alpha (Q-\alpha )\ .$

Центральный заряд и конформные измерения инвариантны относительно дуальности.

$b\to {\frac {1}{b}}\ ,$

Корреляционные функции теории Лиувилля ковариантны относительно этой двойственности и отражения импульсов. Однако эти квантовые симметрии теории Лиувилля не проявляются в лагранжевой формулировке, в частности, экспоненциальный потенциал не инвариантен относительно двойственности.

Спектр и корреляционные функции

Спектр

Спектр ​ ${\mathcal {S}}$ теории Лиувилля представляет собой диагональную комбинацию модулей Верма Вирасоро алгебры ,

${\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,$

где ${\mathcal {V}}_{\Delta }$ и ${\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }$ обозначают один и тот же модуль Вермы, рассматриваемый как представление лево- и праводвижущей алгебры Вирасоро соответственно. Что касается импульсов ,

$\Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}$

соответствует

$\alpha \in {\frac {Q}{2}}+i\mathbb {R} _{+}.$

Отношение отражения отвечает за то, что импульс принимает значения на полупрямой, а не на полной линии для свободной теории.

Теория Лиувилля унитарна тогда и только тогда, когда $c\in (1,+\infty )$. Спектр теории Лиувилля не включает вакуумное состояние . Состояние вакуума можно определить, но оно не способствует расширению продукта оператора .

Поля и отношение отражения

В теории Лиувилля первичные поля обычно параметризуются их импульсом, а не конформным измерением , и обозначаются $V_{\alpha }(z)$.Оба поля $V_{\alpha }(z)$ и $V_{Q-\alpha }(z)$ соответствуют первичному состоянию представления ${\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }$, и связаны соотношением отражения

$V_{\alpha }(z)=R(\alpha )V_{Q-\alpha }(z)\ ,$

где коэффициент отражения

$R(\alpha )=\pm \lambda ^{Q-2\alpha }{\frac {\Gamma (b(2\alpha -Q))\Gamma ({\frac {1}{b}}(2\alpha -Q))}{\Gamma (b(Q-2\alpha ))\Gamma ({\frac {1}{b}}(Q-2\alpha ))}}\ .$

(Знак есть $+1$ если $c\in (-\infty ,1)$ и $-1$ в противном случае и параметр нормализации $\lambda$ произвольно.)

Корреляционные функции и формула DOZZ

Для $c\notin (-\infty ,1)$, трехточечная структурная константа определяется формулой DOZZ (для Дорна–Отто and Zamolodchikov–Zamolodchikov ),

$C_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}\Upsilon _{b}'(0)\Upsilon _{b}(2\alpha _{1})\Upsilon _{b}(2\alpha _{2})\Upsilon _{b}(2\alpha _{3})}{\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q)\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\Upsilon _{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1})\Upsilon _{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,$

где специальная функция $\Upsilon _{b}$ это своего рода множественная гамма-функция .

Для $c\in (-\infty ,1)$, трехточечная структурная константа равна

${\hat {C}}_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[(ib)^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}{\hat {\Upsilon }}_{b}(0){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{2}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{3})}{{\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,$

где

${\hat {\Upsilon }}_{b}(x)={\frac {1}{\Upsilon _{ib}(-ix+ib)}}\ .$

$N$-точечные функции на сфере могут быть выражены через трехточечные структурные константы и конформные блоки . Ан $N$-точечная функция может иметь несколько разных выражений: их согласие эквивалентно перекрестной симметрии четырехточечной функции, которая проверена численно. и доказал аналитически.

Теория Лиувилля существует не только на сфере, но и на любой римановой поверхности рода $g\geq 1$. Технически это эквивалентно модульной инвариантности функции тора одноточечной . Благодаря замечательному тождеству конформных блоков и структурных констант это свойство модульной инвариантности может быть выведено из перекрестной симметрии сферной четырехточечной функции.

Уникальность теории Лиувилля

Используя подход конформного бутстрепа , можно показать, что теория Лиувилля является уникальной конформной теорией поля, такой что

• спектр представляет собой континуум, в котором нет кратностей выше единицы,
• корреляционные функции аналитически зависят от $b$ и импульс,
• существуют вырожденные поля.

Лагранжева формулировка

Действие и уравнение движения

Теория Лиувилля определяется локальным действием

$S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +QR\varphi +\lambda 'e^{2b\varphi })\ ,$

где $g_{\mu \nu }$ — метрика двумерного пространства , на котором формулируется теория, $R$ является скаляром Риччи этого пространства, и $\varphi$ Поле Лиувилля. Параметр $\lambda '$, которую иногда называют космологической постоянной, связана с параметром $\lambda$ которое появляется в корреляционных функциях как

$\lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}.$

Уравнение движения, связанное с этим действием, имеет вид

$\Delta \varphi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\varphi (x)}\ ,$

где $\Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })$ – оператор Лапласа–Бельтрами . Если $g_{\mu \nu }$ является евклидовой метрикой , это уравнение сводится к

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\varphi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\varphi (x_{1},x_{2})}\ ,$

что эквивалентно уравнению Лиувилля .

Конформная симметрия

Использование сложной системы координат $z$ и евклидова метрика

$g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}},$

компоненты тензора энергии -импульса подчиняются

$T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\;,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\;,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .$

Неисчезающие компоненты

$T=T_{zz}=(\partial _{z}\varphi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\varphi \;,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\varphi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\varphi \ .$

Каждая из этих двух компонент порождает алгебру Вирасоро с центральным зарядом

$c=1+6Q^{2}.$

Для обеих этих алгебр Вирасоро поле $e^{2\alpha \varphi }$ – первичное поле конформной размерности

$\Delta =\alpha (Q-\alpha ).$

Чтобы теория имела конформную инвариантность , поле $e^{2b\varphi }$ то, что появляется в действии, должно быть маргинальным , т. е. иметь конформную размерность

$\Delta (b)=1.$

Это приводит к отношению

$Q=b+{\frac {1}{b}}$

между фоновым зарядом и константой связи. Если это соотношение соблюдено, то $e^{2b\varphi }$ на самом деле является в точности маргинальной, и теория конформно инвариантна.

Интеграл по траектории

Интегральное представление по путям $N$-точечная корреляционная функция первичных полей равна

$\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\varphi \ e^{-S[\varphi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\varphi (z_{i})}\ .$

Было трудно определить и вычислить этот интеграл по пути. В представлении интеграла по траекториям не очевидно, что теория Лиувилля обладает точной конформной инвариантностью , и не очевидно, что корреляционные функции инвариантны относительно $b\to b^{-1}$ и подчиняться отношению отражения. Тем не менее, представление интеграла по путям можно использовать для вычисления вычетов корреляционных функций в некоторых их полюсах как интегралов Доценко–Фатеева в формализме кулоновского газа , и именно так формула DOZZ была впервые догадана в 1990-х годах. Лишь в 2010-е годы была найдена строгая вероятностная конструкция интеграла по путям, которая привела к доказательству формулы ДОЦЦ. и конформный бутстрап.

Отношения с другими конформными теориями поля

Некоторые ограничения теории Лиувилля

Когда центральный заряд и конформные измерения приводятся к соответствующим дискретным значениям, корреляционные функции теории Лиувилля сводятся к корреляционным функциям диагональных (А-серии) минимальных моделей Вирасоро .

С другой стороны, когда центральный заряд передается единице, в то время как конформные измерения остаются непрерывными, теория Лиувилля стремится к теории Ранкеля-Уоттса, нетривиальной конформной теории поля (КТП) с непрерывным спектром, трехточечная функция которой не является аналитической как функция импульсов. Обобщения теории Ранкеля-Уоттса получаются из теории Лиувилля путем установления пределов типа $b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}$. Итак, для $b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}$известны две различные КТМ с одним и тем же спектром: теория Лиувилля, трехточечная функция которой является аналитической, и другая КТФ с неаналитической трехточечной функцией.

Модели гепатита

Теорию Лиувилля можно получить из $SL_{2}(\mathbb {R} )$ Модель Весса–Зумино–Виттена посредством квантовой редукции Дринфельда–Соколова . Более того, корреляционные функции $H_{3}^{+}$ модель (евклидова версия $SL_{2}(\mathbb {R} )$ модель WZW) можно выразить через корреляционные функции теории Лиувилля. Это справедливо и для корреляционных функций 2d-черной дыры. $SL_{2}/U_{1}$ модель класса. Более того, существуют теории, которые постоянно интерполируют теорию Лиувилля и теорию $H_{3}^{+}$ модель.

Конформная теория Тоды

Теория Лиувилля — простейший пример теории поля Тоды , связанной с $A_{1}$ Матрица Картана . Более общие конформные теории Тоды можно рассматривать как обобщение теории Лиувилля, лагранжианы которой включают несколько бозонов, а не один бозон. $\varphi$и чьи алгебры симметрии являются W-алгебрами, а не алгеброй Вирасоро.

Суперсимметричная теория Лиувилля

Теория Лиувилля допускает два различных суперсимметричных расширения, называемых ${\mathcal {N}}=1$ суперсимметричная теория Лиувилля и ${\mathcal {N}}=2$ суперсимметричная теория Лиувилля.

Отношения с интегрируемыми моделями

Модель Синха-Гордона

В плоском пространстве модель Синха-Гордона определяется локальным действием:

$S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi +\lambda \cosh(2b\varphi )\right).$

Соответствующим классическим уравнением движения является уравнение Синха-Гордона .Модель можно рассматривать как искажение теории Лиувилля. модели Точная S-матрица известна в режиме слабой связи. $0<b<1$, и он формально инвариантен относительно $b\to b^{-1}$. Однако утверждалось, что сама модель не является инвариантной.

Приложения

Гравитация Лиувилля

В двух измерениях уравнения Эйнштейна сводятся к уравнению Лиувилля , поэтому теория Лиувилля обеспечивает квантовую теорию гравитации , которая называется гравитацией Лиувилля. Не следует путать с моделью CGHS или гравитацией Джекива – Тейтельбойма .

Теория струн

Теория Лиувилля появляется в контексте теории струн при попытке сформулировать некритическую версию теории в формулировке интеграла по траекториям . Теория также появляется как описание теории бозонных струн в двух измерениях пространства-времени с линейным дилатоном и тахионным фоном. Уравнение движения тахионного поля на фоне линейных дилатонов требует экспоненциального решения. Действие Полякова на этом фоне тогда идентично теории поля Лиувилля, при этом линейный дилатон отвечает за член фонового заряда, а тахион - за экспоненциальный потенциал.

Случайные энергетические модели

Существует точное отображение между теорией Лиувилля с $c\geq 25$и некоторые логарифмически коррелированные модели случайной энергии . Эти модели описывают тепловую частицу в случайном потенциале, который логарифмически коррелирован. В двух измерениях такой потенциал совпадает с гауссовым свободным полем . В этом случае определенные корреляционные функции между первичными полями в теории Лиувилля отображаются в корреляционные функции меры Гиббса частицы. Это имеет применение к статистике экстремальных значений двумерного гауссова свободного поля и позволяет предсказывать некоторые универсальные свойства логарифмически-коррелированных моделей случайной энергии (в двух измерениях и за его пределами).

Другие приложения

Теория Лиувилля связана с другими предметами физики и математики, такими как трехмерная общая теория относительности в пространствах отрицательной кривизны , проблема униформизации римановых поверхностей и другие проблемы конформного отображения . Это также связано со в статистическими суммами инстантонов некоторых четырехмерных суперконформных калибровочных теориях соответствием AGT .

Путаница в именах для c ≤ 1

Теория Лиувилля с $c\leq 1$ впервые появилась как модель нестационарной теории струн под названием времяподобная теория Лиувилля . Ее также называют обобщенной минимальной моделью . Впервые ее назвали теорией Лиувилля, когда было обнаружено, что она действительно существует и является пространственноподобной, а не времениподобной. По состоянию на 2022 год ни одно из этих трех имен не является общепринятым.

Внешние ссылки

• Математики доказывают, что двумерная версия квантовой гравитации действительно работает , статья Чарли Вуда в журнале Quanta , июнь 2021 г.
• Введение в теорию Лиувилля в Институте перспективных исследований , доклад Антти Купиайнена , май 2018 г.