4D N = 1 глобальная суперсимметрия

В суперсимметрии 4D ​ ${\mathcal {N}}=1$ глобальная суперсимметрия — это теория глобальной суперсимметрии в четырёх измерениях с одним суперзарядом . Он состоит из произвольного числа киральных и векторных супермультиплетов , возможные взаимодействия которых сильно ограничены суперсимметрией, при этом теория в основном фиксируется тремя функциями: потенциалом Кэлера , суперпотенциалом и калибровочной кинетической матрицей. Многие распространенные модели суперсимметрии являются частными случаями этой общей теории, например модель Весса – Зумино , ${\mathcal {N}}=1$ теория супер Янга–Миллса и минимальная суперсимметричная стандартная модель . Если учитывать гравитацию , результат описывается 4D. ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация .

Фон

Глобальный ${\mathcal {N}}=1$ Суперсимметрия имеет пространства-времени симметрии алгебру , заданную супералгеброй Пуанкаре с одним суперзарядом. В четырех измерениях этот сверхзаряд может быть выражен либо в виде пары спиноров Вейля , либо в виде одного спинора Майораны . Частичное содержание этой теории должно принадлежать представлениям супер-алгебры Пуанкаре, известным как супермультиплеты. Не считая гравитации, существует два типа супермультиплетов: киральный супермультиплет, состоящий из комплексного скалярного поля и его спинорного суперпартнера Майорана, и векторный супермультиплет, состоящий из калибровочного поля вместе со спинорным суперпартнером Майорана.

Общая теория имеет произвольное число киральных мультиплетов. $(\phi ^{n},\chi ^{n})$ индексируется $n$, а также произвольное количество калибровочных мультиплетов $(A_{\mu }^{I},\lambda ^{I})$ индексируется $I$. Здесь $\phi ^{n}$ являются комплексными скалярными полями, $A_{\mu }^{I}$ являются калибровочными полями, а $\chi ^{n}$ и $\lambda ^{I}$ являются майорановскими спинорами, известными как хиралини и гауджини соответственно. Суперсимметрия накладывает строгие условия на то, как супермультиплеты могут комбинироваться в теории. В частности, большая часть структуры фиксируется тремя произвольными функциями скалярных полей. Динамика киральных мультиплетов фиксируется голоморфным суперпотенциалом $W(\phi )$ и потенциал Кэлера $K(\phi ,{\bar {\phi }})$, а смешивание кирального и калибровочного секторов в основном фиксируется голоморфной калибровочной кинетической матрицей $f_{IJ}(\phi )$. При таком смешении калибровочная группа также должна соответствовать структуре кирального сектора.

Скалярная геометрия многообразия

Комплексные скалярные поля в $n_{c}$ можно рассматривать как координаты киральные супермультиплеты $2n_{c}$-мерное многообразие , известное как скалярное многообразие . Это многообразие можно параметризовать с использованием комплексных координат. $(\phi ^{n},\phi ^{\bar {n}})$, где заштрихованный индекс представляет собой комплексно-сопряженное $\phi ^{\bar {n}}=(\phi ^{n})^{*}$. Суперсимметрия гарантирует, что многообразие обязательно является комплексным многообразием , которое представляет собой тип многообразия, локально выглядящий как $\mathbb {C} ^{n_{c}}$ и чьи функции перехода голоморфны. Это связано с тем, что преобразования суперсимметрии отображают $\phi ^{n}$ на левые спиноры Вейля и $\phi ^{\bar {n}}$ на правые спиноры Вейля, поэтому геометрия скалярного многообразия должна отражать киральность фермионного пространства-времени, допуская соответствующее разложение в комплексные координаты.

Для любого комплексного многообразия всегда существует специальная метрика, совместимая с комплексной структурой многообразия, известная как эрмитова метрика . Единственными ненулевыми компонентами этой метрики являются $g_{m{\bar {n}}}$, с линейным элементом, заданным

$ds^{2}=g_{m{\bar {n}}}(d\phi ^{m}\otimes d\phi ^{\bar {n}}+d\phi ^{\bar {n}}\otimes d\phi ^{m}).$

Использование этой метрики на скалярном многообразии делает его эрмитовым многообразием. Свойства киральности, унаследованные от суперсимметрии, означают, что любая замкнутая петля вокруг скалярного многообразия должна поддерживать расщепление между $\phi ^{n}$ и $\phi ^{\bar {n}}$. Это означает, что многообразие имеет ${\text{U}}(N)$ группа голономии . Такие многообразия известны как кэлеровы многообразия и в качестве альтернативы могут быть определены как многообразия, которые допускают двухформу , известную как кэлерова форма, определяемую формулой

$\Omega =ig_{m{\bar {n}}}d\phi ^{m}\wedge d\phi ^{\bar {n}}$

такой, что $d\Omega =0$. Отсюда также следует, что скалярное многообразие является симплектическим многообразием . Эти многообразия обладают тем полезным свойством, что их метрика может быть выражена через функцию, известную как потенциал Кэлера. $K(\phi ,{\bar {\phi }})$ через

$g_{m{\bar {n}}}=\partial _{m}\partial _{\bar {n}}K,$

где эта функция инвариантна с точностью до добавления вещественной части произвольной голоморфной функции

$K(\phi ,{\bar {\phi }})\rightarrow K(\phi ,{\bar {\phi }})+h(\phi )+h^{*}({\bar {\phi }}).$

Такие преобразования известны как преобразования Кэлера , и поскольку они не влияют на геометрию скалярного многообразия, любое суперсимметричное действие должно быть инвариантным относительно этих преобразований.

Соединение кирального и калибровочного секторов

Калибровочная группа общей суперсимметричной теории сильно ограничена взаимодействиями теории. Одно ключевое условие возникает, когда киральные мультиплеты заряжаются под калибровочной группой, и в этом случае калибровочное преобразование должно быть таким, чтобы геометрия скалярного многообразия оставалась неизменной. Точнее, они оставляют скалярную метрику, а также сложную структуру неизменными. Первое условие означает, что калибровочная симметрия принадлежит группе изометрий скалярного многообразия, а второе еще больше ограничивает их голоморфными симметриями Киллинга. Следовательно, калибровочная группа должна быть подгруппой этой группы симметрии, хотя дополнительные условия согласованности могут еще больше ограничить возможные калибровочные группы.

Генераторы , причем это векторы , группы изометрий известны как векторы Киллинга которые сохраняют метрику, условие, математически выраженное уравнением Киллинга. ${\mathcal {L}}_{\xi _{I}}g=0$, где ${\mathcal {L}}_{\xi _{I}}$ являются производными Ли соответствующего вектора. Алгебра изометрий тогда является алгеброй этих векторов Киллинга.

$[\xi _{I},\xi _{J}]=f_{IJ}{}^{K}\xi _{K},$

где $f_{IJ}{}^{K}$ являются структурными константами . Не все из этих векторов Киллинга обязательно можно измерить. Скорее, кэлерова структура скалярных многообразий также требует сохранения комплексной структуры ${\mathcal {L}}_{\xi _{I}}J=0$, при этом предполагается, что векторы Киллинга также должны быть голоморфными функциями $\xi _{I}^{\bar {n}}({\bar {\phi }})=(\xi _{I}^{n}(\phi ))^{*}$. Именно эти голоморфные векторы Киллинга определяют симметрии кэлеровых многообразий, поэтому калибровочную группу можно сформировать только путем калибровки их подмножества.

Последствия ${\mathcal {L}}_{\xi _{I}}J=0$ заключается в том, что существует набор вещественных голоморфных функций, известных как препотенциалы Киллинга. ${\mathcal {P}}_{I}$ которые удовлетворяют $i_{\xi _{I}}J=d{\mathcal {P}}_{I}$, где $i_{\xi _{I}}$ это интерьер продукт . Препотенциалы Киллинга полностью фиксируют голоморфные векторы Киллинга.

$\xi _{I}^{m}=-ig^{m{\bar {n}}}\partial _{\bar {n}}{\mathcal {P}}_{I}.$

И наоборот, если известны голоморфные векторы Киллинга, то препотенциал можно явно записать через потенциал Кэлера как

${\mathcal {P}}_{J}={\frac {i}{2}}[\xi _{I}^{m}\partial _{m}K-\xi _{I}^{\bar {n}}\partial _{\bar {n}}K-(r_{I}-r_{I}^{*})].$

Голоморфные функции $r_{I}(\phi )$ описать, как изменяется потенциал Кэлера при преобразованиях изометрии $\delta _{I}K\equiv r_{I}+r_{I}^{*}$, что позволяет вычислять их с точностью до добавления мнимой константы.

Ключевым условием согласованности препотенциалов является то, что они должны удовлетворять условию эквивалентности.

$\xi _{I}^{m}g_{m{\bar {n}}}\xi _{J}^{\bar {n}}-\xi _{J}^{m}g_{m{\bar {n}}}\xi _{I}^{\bar {n}}=if_{IJ}{}^{K}{\mathcal {P}}_{K}.$

Для неабелевых симметрий это условие фиксирует мнимые константы, связанные с голоморфными функциями $r_{I}-r_{I}^{*}=-i\eta _{I}$, известные как термины Файе – Илиопулоса. Для абелевых подалгебр калибровочной алгебры члены Файе – Илиопулоса остаются незафиксированными, поскольку они имеют нулевые структурные константы.

лагранжиан

Производные в лагранжиане ковариантны относительно симметрий, под которыми преобразуются поля, то есть калибровочных симметрий и преобразований переопределения координат скалярного многообразия. Различные ковариантные производные имеют вид

${\hat {\partial }}_{\mu }\phi ^{n}=\partial _{\mu }\phi ^{n}-A_{\mu }^{I}\xi _{I}^{n},$

${\hat {\partial }}_{\mu }\lambda ^{I}=\partial _{\mu }\lambda ^{I}+A_{\mu }^{J}f_{JK}^{I}\lambda ^{K},$

${\hat {\mathcal {D}}}_{\mu }\chi _{L}^{m}=\partial _{\mu }\chi _{L}^{m}+({\hat {\partial }}_{\mu }\phi ^{n})\Gamma _{nl}^{m}\chi _{L}^{l}-A_{\mu }^{I}(\partial _{n}\xi _{I}^{m})\chi _{L}^{n},$

где шляпка указывает на то, что производная ковариантна относительно калибровочных преобразований. Здесь $\xi _{I}^{m}(\phi )$ являются голоморфными векторами Киллинга, которые были калиброваны, а $\Gamma _{nl}^{m}=g^{m{\bar {p}}}\partial _{n}g_{l{\bar {p}}}$ скалярного многообразия являются символами Кристоффеля и $f_{JK}{}^{I}$ – структурные константы калибровочной алгебры. Кроме того, вторые производные на скалярном многообразии также должны быть ковариантными. ${\mathcal {D}}_{m}\partial _{n}=\partial _{m}\partial _{n}-\Gamma _{mn}^{l}\partial _{l}$. При этом левые и правые фермионные проекции Вейля майорановских спиноров обозначаются через $\chi _{L,R}=P_{L,R}\chi$.

Общий четырехмерный лагранжиан с глобальным ${\mathcal {N}}=1$ суперсимметрия определяется выражением

${\mathcal {L}}=-g_{m{\bar {n}}}{\bigg [}{\hat {\partial }}_{\mu }\phi ^{m}{\hat {\partial }}^{\mu }\phi ^{\bar {n}}+{\bar {\chi }}_{L}^{m}{\hat {{\mathcal {D}}\!\!\!/}}\chi _{R}^{\bar {n}}+{\bar {\chi }}_{R}^{\bar {n}}{\hat {{\mathcal {D}}\!\!\!/}}\chi _{L}^{m}{\bigg ]}$

$+{\text{Re}}(f_{IJ}){\bigg [}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{I}F^{\mu \nu J}-{\frac {1}{2}}{\bar {\lambda }}^{I}{\hat {\partial \!\!\!/}}\lambda ^{J}{\bigg ]}$

$+{\frac {1}{8}}({\text{Im}}f_{IJ}){\bigg [}F_{\mu \nu }^{I}F_{\rho \sigma }^{J}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }-2i{\hat {\partial }}_{\mu }({\bar {\lambda }}^{I}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\lambda ^{J}){\bigg ]}$

$-{\bigg [}{\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\partial _{m}f_{IJ}F_{\mu \nu }^{I}{\bar {\chi }}_{L}^{m}\gamma ^{\mu \nu }\lambda _{L}^{J}+h.c.{\bigg ]}$

$+{\bigg [}-{\frac {1}{2}}m_{mn}{\bar {\chi }}_{L}^{m}\chi _{L}^{n}-m_{nI}{\bar {\chi }}_{L}^{n}\lambda _{L}^{I}-{\frac {1}{2}}m_{IJ}{\bar {\lambda }}_{L}^{I}\lambda _{L}^{J}+h.c.{\bigg ]}$

$-V(\phi ^{m},\phi ^{n})+{\mathcal {L}}_{4f}.$

Здесь $D^{I}=({\text{Re}}f)^{-1IJ}{\mathcal {P}}_{J}$ это так называемые D-термины. Первая строка представляет собой кинетический член для киральных мультиплетов, структура которых в основном фиксируется скалярной метрикой, а вторая строка представляет собой кинетический член для калибровочных мультиплетов, который вместо этого в основном фиксируется действительной частью голоморфной калибровочной кинетической матрицы. $f_{IJ}(\phi )$. Третья строка представляет собой обобщенный суперсимметричный тэта-подобный член для калибровочного мультиплета, причем он является полной производной , когда мнимая часть калибровочной кинетической функции является константой, и в этом случае она не вносит вклад в уравнения движения . Следующая строка — это термин взаимодействия, а предпоследняя строка — это члены фермионной массы , определяемые формулой

$m_{mn}={\mathcal {D}}_{m}\partial _{n}W,\ \ \ \ \ m_{IJ}=-{\frac {1}{2}}\partial _{n}f_{IJ}\partial ^{n}{\bar {W}},$

$m_{nI}=m_{In}=i{\sqrt {2}}{\bigg [}\partial _{n}{\mathcal {P}}_{I}-{\frac {1}{4}}\partial _{n}f_{IJ}D^{J}{\bigg ]},$

где $W(\phi )$ — суперпотенциал , произвольная голоморфная функция скаляров. Именно эти члены определяют массы фермионов, поскольку в конкретном вакуумном состоянии со скалярными полями расширяются около некоторой величины $\phi =\phi _{0}+\phi '$, то массовые матрицы становятся фиксированными матрицами ведущего порядка в скалярном поле. Члены более высокого порядка порождают члены взаимодействия между скалярами и фермионами. Массовый базис обычно включает в себя диагонализацию всей массовой матрицы, подразумевая, что собственный массовый базис обычно представляет собой линейную комбинацию киральных и калибровочных фермионных полей.

В последней строке указан скалярный потенциал

$V=g^{m{\bar {n}}}\partial _{m}W\partial _{\bar {n}}{\bar {W}}+{\frac {1}{2}}{\text{Re}}(f_{IJ})D^{I}D^{J},$

где первый термин называется F-термином , а второй известен как D-термин . Наконец, эта линия также содержит четырехфермионного взаимодействия члены

${\mathcal {L}}_{4f}={\bigg [}{\frac {1}{8}}({\mathcal {D}}_{m}\partial _{n}f_{IJ}){\bar {\chi }}^{m}\chi ^{n}{\bar {\lambda }}^{I}\lambda _{L}^{J}+h.c.{\bigg ]}+{\frac {1}{4}}R_{m{\bar {n}}p{\bar {q}}}{\bar {\chi }}^{m}\chi ^{p}{\bar {\chi }}^{\bar {n}}\chi ^{\bar {q}}$

$-{\frac {1}{16}}\partial _{m}f_{IJ}{\bar {\lambda }}^{I}\lambda _{L}^{J}g^{m{\bar {n}}}{\bar {\partial }}_{\bar {n}}{\bar {f}}_{KL}{\bar {\lambda }}^{K}\lambda _{R}^{L}$

$+{\frac {1}{16}}({\text{Re}}f)^{-1\ IJ}(\partial _{m}f_{IN}{\bar {\chi }}^{m}-\partial _{\bar {m}}{\bar {f}}_{IN}{\bar {\chi }}^{\bar {m}})\lambda ^{N}(\partial _{n}f_{JM}{\bar {\chi }}^{n}-\partial _{\bar {n}}{\bar {f}}_{JM}{\bar {\chi }}^{\bar {n}})\lambda ^{M},$

с $R_{m{\bar {n}}p{\bar {q}}}$ — тензор Римана скалярного многообразия.

Характеристики

Преобразования суперсимметрии

Если пренебречь трехфермионными членами, правила преобразования суперсимметрии, оставляющие лагранжев инвариант, имеют вид

$\delta \phi ^{m}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bar {\epsilon }}\chi ^{m},$

$\delta \chi _{L}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\hat {\partial \!\!\!/}}\phi ^{m}\epsilon _{R}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}g^{m{\bar {n}}}(\partial _{\bar {n}}{\bar {W}})\epsilon _{L},$

$\delta A_{\mu }^{I}=-{\frac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma _{\mu }\lambda ^{I},$

$\delta \lambda _{L}^{I}={\frac {1}{4}}\gamma ^{\mu \nu }F_{\mu \nu }^{I}\epsilon _{L}+{\frac {i}{2}}D^{I}\epsilon _{L}.$

Вторая часть фермионных преобразований, пропорциональная $\partial _{\bar {n}}{\bar {W}}$ для киралино и $D^{I}$ для гаудино называются фермионными сдвигами . Они определяют многие физические свойства модели суперсимметрии, такие как форма потенциала и голдстино, когда суперсимметрия спонтанно нарушается .

Спонтанное нарушение симметрии

На квантовом уровне суперсимметрия нарушается, если сверхзаряды не аннигилируют вакуум. $Q_{\alpha }|0\rangle \neq 0$. Поскольку гамильтониан можно записать через эти суперзаряды, это означает, что непрерывная суперсимметрия соответствует исчезающей энергии вакуума , тогда как нарушенная суперсимметрия обязательно требует положительной энергии вакуума. В отличие от супергравитации , глобальная суперсимметрия не допускает отрицательных энергий вакуума, что является прямым следствием алгебры суперсимметрии.

В классическом приближении суперсимметрия не нарушена, если скалярный потенциал обращается в нуль, что эквивалентно условию

$\partial _{m}W(\phi )=0,\ \ \ \ \ \ \ {\mathcal {P}}_{I}(\phi ,{\bar {\phi }})=0.$

Если какой-либо из них не равен нулю, то суперсимметрия классически нарушается. Благодаря теореме о неперенормировке суперпотенциала , которая утверждает, что суперпотенциал не получает поправок ни на одном уровне квантовой теории возмущений , вышеуказанное условие выполняется во всех порядках квантовой теории возмущений. Только непертурбативные квантовые поправки могут изменить условие нарушения суперсимметрии.

Спонтанное нарушение симметрии глобальной суперсимметрии обязательно приводит к наличию безмассового фермиона Намбу – Голдстоуна , называемого голдстино. $v$. Этот фермион задается линейной комбинацией фермионных полей, умноженных на их фермионные сдвиги и сжатых с помощью соответствующих метрик.

$v_{L}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}P_{L}{\bigg [}\partial _{n}W\chi ^{n}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i{\mathcal {P}}_{I}\lambda ^{I}{\bigg ]},$

причем это собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению матрицы масс фермионов . Голдстино исчезает, когда выполняются условия суперсимметрии, то есть исчезновение суперпотенциала и препотенциала.

Правила массовой суммы

Одним из важных наборов величин являются суперследы степеней массовых матриц. ${\mathcal {M}}$, обычно выражается как сумма по всем собственным значениям $m_{J}$ изменено вращением $J$ государства

${\text{str}}({\mathcal {M}}^{n})=\sum _{J}(-1)^{2J}(2J+1)m_{J}^{n}.$

В непрерывном глобальном ${\mathcal {N}}=1$ суперсимметрия, ${\text{str}}({\mathcal {M}}^{n})=0$ для всех $n$. $n=2$ случае называется формулой суммы масс, которая в частном случае тривиальной калибровочной кинетической матрицы $f_{IJ}=\delta _{IJ}$ может быть выражено как

${\text{str}}({\mathcal {M}}^{2})=\sum _{J}(-1)^{2J}(2J+1)m_{J}^{2}=2R^{m{\bar {n}}}\partial _{m}W\partial _{\bar {n}}{\bar {W}}+2iD^{I}\nabla _{m}\xi _{I}^{m},$

показывая, что это исчезает в случае Риччи-плоского скалярного многообразия, если только спонтанное нарушение симметрии не происходит из-за неисчезающих D-членов. Для большинства моделей ${\text{str}}({\mathcal {M}}^{2})=0$, даже когда суперсимметрия спонтанно нарушается. Следствием этого является то, что разница масс между бозонами и фермионами не может быть очень большой. Результат можно обобщить по-разному, например, для исчезающей энергии вакуума, но для общего калибровочного кинетического члена, или даже для общей формулы с использованием формализма суперпространства . В полной квантовой теории массы могут получать дополнительные квантовые поправки, поэтому приведенные выше результаты справедливы только на уровне дерева.

Особые случаи и обобщения

Теорию только с киральными мультиплетами и без калибровочных мультиплетов иногда называют суперсимметричной сигма-моделью , которая определяется потенциалом Кэлера и суперпотенциалом. Исходя из этого, модель Весса – Зумино достигается путем ограничения тривиального потенциала Кэлера, соответствующего евклидовой метрике , вместе с суперпотенциалом, который не более чем кубичен.

$W(\phi )={\frac {1}{2}}m\phi ^{2}+{\frac {1}{3}}\lambda \phi ^{3}.$

Эта модель обладает полезным свойством полной перенормируемости .

Если вместо этого нет киральных мультиплетов, то теория с евклидовой калибровочной кинетической матрицей $f_{IJ}=\delta _{IJ}$ известна как супертеория Янга-Миллса. В случае однокалибровочного мультиплета с ${\text{U}}(1)$ калибровочная группа, это соответствует супертеории Максвелла. Тем временем суперквантовая хромодинамика достигается с использованием евклидовой скалярной метрики вместе с произвольным количеством киральных мультиплетов, ведущих себя как материя, и одного калибровочного мультиплета. Когда калибровочная группа является абелевой, это называется суперквантовой электродинамикой.

Модели с расширенной суперсимметрией ${\mathcal {N}}\geq 2$ возникают как частные случаи ${\mathcal {N}}=1$ модели суперсимметрии с особым выбором мультиплетов, потенциалов и кинетических членов. В этом отличие от супергравитации, где расширенные модели супергравитации не являются особыми случаями. ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация и обязательно включают дополнительные структуры, которые необходимо добавить в теорию.

Измерение глобальной суперсимметрии приводит к локальной суперсимметрии, которая эквивалентна супергравитации. В частности, 4D N = 1 супергравитация имеет содержание материи, аналогичное случаю глобальной суперсимметрии, за исключением добавления единственного гравитационного супермультиплета, состоящего из гравитона и гравитино . Полученное в результате действие требует ряда модификаций для учета связи с гравитацией, хотя структурно оно имеет много общего со случаем глобальной суперсимметрии. Модель глобальной суперсимметрии может быть получена непосредственно из ее обобщения супергравитации через предел разделения, при котором планковская масса обращается в бесконечность. $M_{P}\rightarrow \infty$.

Эти модели также применяются в физике элементарных частиц для построения суперсимметричных обобщений Стандартной модели , в первую очередь Минимальной суперсимметричной стандартной модели. Это минимальное расширение Стандартной модели, согласующееся с феноменологией и включающее суперсимметрию, которая нарушается в каком-то высоком масштабе.

Строительство

Существует несколько способов построить четырехмерную глобальную систему. ${\mathcal {N}}=1$ суперсимметричное действие. Наиболее распространенным подходом является суперпространственный подход. В этом подходе пространство-время Минковского расширяется до восьмимерного супермногообразия , которое дополнительно имеет четыре Грассмана координаты . Затем киральные и векторные мультиплеты упаковываются в поля, известные как суперполя. Действие суперсимметрии впоследствии строится путем рассмотрения общих инвариантных действий суперполей и интегрирования по подпространству Грассмана для получения четырехмерного лагранжиана в пространстве-времени Минковского.

Альтернативным подходом к формализму суперпространства является подход мультиплетного исчисления. Вместо работы с суперполями этот подход работает с мультиплетами, которые представляют собой наборы полей, на которых реализуется алгебра суперсимметрии. Затем из них строятся инвариантные действия. Для глобальной суперсимметрии это сложнее, чем подход суперпространства, хотя обобщенный подход очень полезен при построении действий супергравитации.