Теорема Коулмана – Мандулы
В теоретической физике теорема Коулмана-Мандулы является запретной теоремой, утверждающей, что пространство-время и внутренние симметрии могут сочетаться только тривиальным образом. Это означает, что заряды, связанные с внутренней симметрией, всегда должны трансформироваться как скаляры Лоренца . Некоторыми заметными исключениями из теоремы о запрете являются конформная симметрия и суперсимметрия . Она названа в честь Сиднея Коулмана и Джеффри Мандулы , которые доказали ее в 1967 году как кульминацию серии все более обобщенных запретных теорем, исследующих, как внутренние симметрии могут сочетаться с симметриями пространства-времени. [ 1 ] Суперсимметричное обобщение известно как теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса .
История
[ редактировать ]В начале 1960-х годов мировая Было показано, что ароматная симметрия, связанная с восьмеричным путем, описывает адронный спектр адронов успешно одного и того же спина . Это привело к усилиям по расширению глобального симметрия к большему симметрия, смешивающая аромат и спин - идея, аналогичная той, которую ранее рассматривал в ядерной физике Юджин Вигнер в 1937 году для симметрия. [ 2 ] Этот нерелятивистский модель объединила векторные и псевдоскалярные мезоны разного спина в 35-мерный мультиплет , а также объединила два барионных декуплета в 56-мерный мультиплет. [ 3 ] Хотя это было достаточно успешным в описании различных аспектов адронного спектра, с точки зрения квантовой хромодинамики этот успех является просто следствием независимости от аромата и спина силы между кварками . Было много попыток обобщить эту нерелятивистскую теорию. модель в полностью релятивистскую , но все они потерпели неудачу.
В то время также оставался открытым вопрос, существует ли симметрия, при которой частицы разных масс могли принадлежать одному и тому же мультиплету. Такая симметрия могла бы затем объяснить массовое расщепление, обнаруженное у мезонов и барионов. [ 4 ] Лишь позже стало понятно, что это является следствием различия масс верхних, нижних и странных кварков, что приводит к разрушению внутренняя симметрия вкуса.
Эти две мотивации привели к ряду недопустимых теорем, показывающих, что симметрии пространства-времени и внутренние симметрии могут быть объединены только тривиальным способом. [ 5 ] Первую известную теорему доказал Уильям МакГлинн в 1964 году. [ 6 ] с последующим обобщением Лохлайна О'Рейферта в 1965 году. [ 7 ] Кульминацией этих усилий стала выработка наиболее общей теоремы Сиднея Коулмана и Джеффри Мандулы в 1967 году.
В последующие годы этой теореме уделялось мало внимания. В результате эта теорема не сыграла никакой роли в раннем развитии суперсимметрии, которая возникла в начале 1970-х годов в результате изучения моделей двойного резонанса , которые являются предшественниками теории струн , а не в результате каких-либо попыток преодолеть бесперспективность. теорема. [ 8 ] Точно так же теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса, суперсимметричное обобщение теоремы Коулмана – Мандулы, была доказана в 1975 году, после того как исследование суперсимметрии уже началось. [ 9 ]
Теорема
[ редактировать ]Рассмотрим теорию, которая может быть описана S-матрицей и удовлетворяет следующим условиям [ 1 ]
- симметрии Группа — это группа Ли , которая включает в себя группу Пуанкаре в качестве подгруппы.
- Ниже любой массы существует только конечное число типов частиц,
- Любое двухчастичное состояние почти при всех энергиях подвергается некоторой реакции .
- Амплитуды аналитическими упругого : двухчастичного рассеяния являются функциями угла рассеяния почти при всех энергиях и углах
- Техническое предположение, что генераторы групп являются распределениями в импульсном пространстве .
Теорема Коулмана-Мандулы утверждает, что группа симметрии этой теории обязательно является прямым продуктом группы Пуанкаре и внутренней группы симметрии. [ 10 ] Последнее техническое предположение не является необходимым, если теория описывается квантовой теорией поля , и оно необходимо только для применения теоремы в более широком контексте.
Кинематический аргумент в пользу того, почему эта теорема должна выполняться , был предоставлен Эдвардом Виттеном . [ 11 ] Аргумент состоит в том, что симметрия Пуанкаре действует как очень сильное ограничение на упругое рассеяние, оставляя неизвестным только угол рассеяния. Любая дополнительная симметрия, зависящая от пространства-времени, переопределила бы амплитуды, сделав их ненулевыми только при дискретных углах рассеяния. Поскольку это противоречит предположению об аналитичности углов рассеяния, такие дополнительные симметрии, зависящие от пространства-времени, исключаются.
Ограничения
[ редактировать ]Конформная симметрия
[ редактировать ]Теорема не применима к теории безмассовых частиц , поскольку они допускают конформную симметрию как дополнительную симметрию, зависящую от пространства-времени. [ 10 ] В частности, алгеброй этой группы является конформная алгебра , состоящая из алгебры Пуанкаре вместе с коммутационными соотношениями для генератора дилатона и генератора специальных конформных преобразований .
Суперсимметрия
[ редактировать ]Теорема Коулмана-Мандулы предполагает, что единственными алгебрами симметрии являются алгебры Ли , но теорему можно обобщить, рассматривая вместо этого супералгебры Ли . Это позволяет создать дополнительные антикоммутирующие генераторы, известные как суперзаряды , которые преобразуются в спиноры при преобразованиях Лоренца . Это расширение приводит к появлению супералгебры Пуанкаре со связанной с ней симметрией, известной как суперсимметрия. Теорема Хаага-Лопушанского-Сониуса представляет собой обобщение теоремы Коулмана-Мандулы на супералгебры Ли, в котором утверждается, что суперсимметрия - единственная разрешенная новая симметрия, зависящая от пространства-времени. Для теории с безмассовыми частицами теорема снова обходит конформная симметрия, которая может присутствовать в дополнение к суперсимметрии, дающей суперконформную алгебру .
Низкие размеры
[ редактировать ]В одномерной или двумерной теории единственным возможным рассеянием является рассеяние вперед и назад, поэтому аналитичность углов рассеяния больше невозможна, и теорема больше не выполняется. Тогда возможны внутренние симметрии, зависящие от пространства-времени, например, в массивной модели Тирринга , которая может допускать бесконечную башню сохраняющихся зарядов все более высокого тензорного ранга . [ 12 ]
Квантовые группы
[ редактировать ]Модели с нелокальной симметрией, заряды которых не действуют на многочастичные состояния, как если бы они были тензорным произведением одночастичных состояний, уклоняются от этой теоремы. [ 13 ] Такое уклонение встречается в более общем плане для симметрий квантовых групп , которые обходят теорему, поскольку соответствующая алгебра больше не является алгеброй Ли.
Другие ограничения
[ редактировать ]Для других симметрий пространства-времени, помимо группы Пуанкаре, таких как теории с фоном де Ситтера или нерелятивистские теории поля с галилеевой инвариантностью , теорема больше не применяется. [ 14 ] Это также не справедливо для дискретных симметрий , поскольку они не являются группами Ли, или для спонтанно нарушенных симметрий, поскольку они не действуют на уровне S-матрицы и, следовательно, не коммутируют с S-матрицей. [ 15 ]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Коулман, СР ; Мандула, Дж. (1967). «Все возможные симметрии S-матрицы». Физ. Преподобный . 159 (5): 1251–1256. Бибкод : 1967PhRv..159.1251C . дои : 10.1103/PhysRev.159.1251 .
- ^ Вигнер, Э. (1937). «О влиянии симметрии ядерного гамильтониана на спектроскопию ядер» . Физ. Преподобный . 51 (2): 106–119. Бибкод : 1937PhRv...51..106W . дои : 10.1103/PhysRev.51.106 .
- ^ Весс, Дж. (2009). «От симметрии к суперсимметрии». Европейский физический журнал C . 59 (2): 177–183. arXiv : 0902.2201 . Бибкод : 2009EPJC...59..177W . дои : 10.1140/epjc/s10052-008-0837-6 . S2CID 14917968 .
- ^ Дуплий, С. (2003). Краткая энциклопедия суперсимметрии . Спрингер. стр. 265–266. ISBN 978-1402013386 .
- ^ Шифман, М .; Кейн, Г. (2000). Суперсимметричный мир: начало теории . Мировое научное издательство. стр. 184–185. ISBN 978-9810245221 .
- ^ МакГлинн, WD (1964). «Проблема сочетания симметрий взаимодействия и релятивистской инвариантности» . Физ. Преподобный Летт . 12 (16): 467–469. Бибкод : 1964PhRvL..12..467M . дои : 10.1103/PhysRevLett.12.467 .
- ^ О'Рэйфертай, Л. (1965). «Лоренц-инвариантность и внутренняя симметрия» . Физ. Преподобный . 139 (4Б): В1052–В1062. Бибкод : 1965PhRv..139.1052O . дои : 10.1103/PhysRev.139.B1052 .
- ^ Цао, Тайвань (2004). «19». Концептуальные основы квантовой теории поля . Издательство Кембриджского университета. п. 282. ИСБН 978-0521602723 .
- ^ Хааг, Р. ; Лопушаньский, Ю.Т. ; Сониус, М. (1975). «Все возможные генераторы суперсимметрий S-матрицы» . Ядерная физика Б . 88 (2): 257–274. Бибкод : 1975NuPhB..88..257H . дои : 10.1016/0550-3213(75)90279-5 .
- ^ Jump up to: а б Вайнберг, С. (2005). «24». Квантовая теория полей: суперсимметрия . Том. 3. Издательство Кембриджского университета. стр. 12–22. ISBN 978-0521670555 .
- ^ Зичичи, А. (2012). Единство фундаментальных взаимодействий: 19 . Спрингер. стр. 305–315. ISBN 978-1461336570 .
- ^ Берг, Б.; Каровский, М.; Тун, HJ (1976). «Сохраняющиеся токи в модели массивного трения» . Буквы по физике Б. 64 (3): 286–288. Бибкод : 1976PhLB...64..286B . дои : 10.1016/0370-2693(76)90203-3 .
- ^ Бернард, Д.; Леклер, А. (1991). «Симметрии квантовых групп и нелокальные токи в 2D КТП» . Связь в математической физике . 142 (1): 99–138. Бибкод : 1991CMaPh.142...99B . дои : 10.1007/BF02099173 . S2CID 119026420 .
- ^ Фотопулос, А.; Цулая, М. (2010). «О пределе без напряжения теории струн, вершинах взаимодействия высших спинов вне оболочки и рекурсивных отношениях BCFW». JHEP . 2010 (11): 086. arXiv : 1009.0727 . Бибкод : 2010JHEP...11..086F . дои : 10.1007/JHEP11(2010)086 . S2CID 119287675 .
- ^ Фабрицио, Н.; Перкаччи, Р. (2008). «Гравислабое объединение». Дж. Физ. А. 41 (7): 075405. arXiv : 0706.3307 . Бибкод : 2008JPhA...41g5405N . дои : 10.1088/1751-8113/41/7/075405 . S2CID 15045658 .