Специальное конформное преобразование

Координатная сетка до специального конформного преобразования

Та же сетка после специального конформного преобразования

В проективной геометрии специальное конформное преобразование — это дробно-линейное преобразование являющееся , не аффинным преобразованием . Таким образом, генерация специального конформного преобразования включает использование мультипликативной инверсии , которая является генератором дробно-линейных преобразований, который не является аффинным.

В математической физике некоторые конформные преобразования, известные как преобразования сферических волн, являются специальными конформными преобразованиями .

Векторная презентация

Можно записать специальное конформное преобразование

$x'^{\mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}={\frac {x^{2}}{|x-bx^{2}|^{2}}}(x^{\mu }-b^{\mu }x^{2})\,.$

Это композиция инверсии ( x ^м → х ^м /х ² = и ^м ), перевод ( y ^м → и ^м − б ^м = г ^м ) и еще одна инверсия ( z ^м → я ^м /С ² = х ′ ^м )

${\frac {x'^{\mu }}{x'^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }\,.$

Его малый генератор бесконечно

$K_{\mu }=-i(2x_{\mu }x^{\nu }\partial _{\nu }-x^{2}\partial _{\mu })\,.$

Специальные конформные преобразования использованы для изучения силового поля электрического заряда при гиперболическом движении .

Проективная презентация

Инверсию тоже можно взять быть мультипликативной инверсией бикватернионов B . Комплексную алгебру B можно расширить до P( B ) через проективную прямую над кольцом . Гомографии на P( B ) включают переводы:

$U(q:1){\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}=U(q+t:1).$

Группа гомографии G( B ) включает в себя сдвиги на бесконечности относительно вложения q → U( q :1);

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}.$

Матрица описывает действие специального конформного преобразования.

Групповое имущество

Переводы образуют подгруппу дробно-линейной группы, действующей на проективной прямой. Имеются два вложения в проективную прямую однородных координат : z → [ z :1] и z → [1: z ]. Операция сложения соответствует переводу в первом вложении. Трансляции второго вложения представляют собой специальные конформные преобразования, образующие трансляции на бесконечности. Сложение с помощью этих преобразований возвращает условия перед сложением, а затем возвращает результат еще одним обратным обменом. Эта операция называется параллельной операцией . В случае комплексной плоскости параллельный оператор образует операцию сложения в альтернативном поле, используя бесконечность, но исключая ноль. Таким образом, трансляции на бесконечности образуют еще одну подгруппу группы гомографий на проективной прямой.

История

Термин «специальные конформные преобразования» («специальные конформные преобразования» на немецком языке) впервые был использован в 1962 году Гансом Каструпом .