Перевод (геометрия)

В евклидовой геометрии перенос , — это геометрическое преобразование которое перемещает каждую точку фигуры, формы или пространства на одинаковое расстояние в заданном направлении. Перевод также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как сдвиг начала системы координат . В евклидовом пространстве любой сдвиг является изометрией .

Как функция [ править ]

Если $\mathbf {v}$ — фиксированный вектор, известный как вектор трансляции , и $\mathbf {p}$ — начальное положение некоторого объекта, то функция перевода $T_{\mathbf {v} }$ будет работать как $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$ .

Если $T$ это перевод, то образ подмножества $A$ под функцией $T$ это перевод $A$ к $T$ . Перевод $A$ к $T_{\mathbf {v} }$ часто пишется как $A+\mathbf {v}$ .

Применение в классической физике [ править ]

В классической физике поступательное движение — это движение, изменяющее положение объекта, в отличие от вращения . Например, по словам Уиттакера: ^[1]

Если тело перемещается из одного положения в другое и если линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой совокупность параллельных прямых длиной ℓ , так что ориентация тела в пространстве равна в неизмененном виде перемещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .
- Э. Т. Уиттакер , Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел , с. 1

Трансляция – это операция, изменяющая положения всех точек. $(x,y,z)$ объекта по формуле

(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)

где $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ — один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор перевода $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ общее для всех точек объекта описывает особый тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловыми смещениями.

При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.

Как оператор [ править ]

Оператор перевода поворачивает функцию исходной позиции, $f(\mathbf {v} )$ , в функцию конечного положения, $f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )$ . Другими словами, $T_{\mathbf {\delta } }$ определяется так, что $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ Этот оператор более абстрактный, чем функция, поскольку $T_{\mathbf {\delta } }$ определяет связь между двумя функциями, а не самими базовыми векторами. Оператор перевода может действовать на многие виды функций, например, когда оператор перевода действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики.

В группе [ править ]

Совокупность всех переводов образует группу переводов. $\mathbb {T}$ , изоморфная самому пространству, и нормальная подгруппа евклидовой группы $E(n)$ . Факторгруппа $E(n)$ к $\mathbb {T}$ изоморфна группе жестких движений, фиксирующих определенную точку начала координат, ортогональной группе $O(n)$ :

E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)

Поскольку перевод коммутативен , группа перевода абелева . Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа переводов является бесконечной группой .

В теории относительности , в связи с трактовкой пространства и времени как единого пространства-времени , переводы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают сдвиги по времени.

Группы решеток [ править ]

Одним из видов подгрупп трехмерной группы перевода являются группы решетки , которые являются бесконечными группами , но в отличие от групп перевода конечно порождены . То есть конечный порождающий набор порождает всю группу.

Матричное представление [ править ]

Перевод — это аффинное преобразование без фиксированных точек . Умножения матриц всегда имеют начало координат в виде фиксированной точки. Тем не менее, существует общий обходной путь , использующий однородные координаты для представления перевода векторного пространства с умножением матриц : напишите трехмерный вектор $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ используя 4 однородные координаты как $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$ . ^[2]

Чтобы перевести объект по вектору $\mathbf {v}$ , каждый однородный вектор $\mathbf {p}$ (записанные в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода :

T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}

Обратная матрица перевода может быть получена путем изменения направления вектора:

T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!

Аналогично, произведение матриц перевода определяется сложением векторов:

T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!

Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц перевода также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).

Перевод осей [ править ]

Хотя геометрическое перемещение часто рассматривается как активный процесс, изменяющий положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут с помощью пассивного преобразования, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического перемещения известна как перемещение осей .

Трансляционная симметрия [ править ]

Говорят, что объект, который выглядит одинаково до и после перевода, обладает трансляционной симметрией . Типичным примером является периодическая функция , которая является собственной функцией оператора перевода.

Переводы графика [ править ]

График функции действительной f $,$ множество точек $(x,f(x))$ , часто изображается в реальной координатной плоскости с $x$ в качестве горизонтальной координаты и $y=f(x)$ как вертикальная координата.

Начиная с графика $f$ , горизонтальный сдвиг означает составление $f$ с функцией $x\mapsto x-a$ , для некоторого постоянного числа $a$ , в результате чего получается график, состоящий из точек $(x,f(x-a))$ . Каждая точка $(x,y)$ исходного графика соответствует точке $(x+a,y)$ на новом графике, что наглядно приводит к горизонтальному сдвигу.

Вертикальный перевод означает составление функции $y\mapsto y+b$ с $f$ для некоторой константы $b$ , в результате чего получается график, состоящий из точек ${\bigl (}x,f(x)+b{\bigr )}$ . Каждая точка $(x,y)$ исходного графика соответствует точке $(x,y+b)$ на новом графике, что наглядно приводит к вертикальному сдвигу. ^[3]

Например, взяв квадратичную функцию $y=x^{2}$ , график которого представляет собой параболу с вершиной в $(0,0)$ , горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет новой функцией $y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25$ чья вершина имеет координаты $(5,0)$ . Вертикальный сдвиг на 3 единицы вверх будет новой функцией. $y=x^{2}+3$ чья вершина имеет координаты $(0,3)$ .

Все первообразные функции отличаются друг от друга константой интегрирования и, следовательно, являются вертикальными сдвигами друг друга. ^[4]

Приложения [ править ]

Динамика автомобиля [ править ]

Для описания динамики транспортного средства (или движения любого твердого тела ), включая динамику корабля и динамику самолета , обычно используется механическая модель, состоящая из шести степеней свободы , которая включает перемещения по трем опорным осям, а также вращения вокруг этих трех. топоры.

Эти переводы часто называют:

Помпаж , перемещение вдоль продольной оси (вперед или назад)
Раскачивание , перевод вдоль поперечной оси (из стороны в сторону)
Heave , перевод по вертикальной оси (для перемещения вверх или вниз).

Соответствующие вращения часто называют:

крен , вокруг продольной оси
шаг , относительно поперечной оси
рыскание , относительно вертикальной оси.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Эдмунд Тейлор Уиттакер (1988). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел (перепечатка четвертого издания 1936 года с предисловием под ред. Уильяма МакКри). Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 0-521-35883-3 .
^ Ричард Пол, 1981, Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами , MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
^ Догерти, Эдвард Р.; Астол, Яакко (1999), Нелинейные фильтры для обработки изображений , серия SPIE/IEEE по науке и технике обработки изображений, том. 59, SPIE Press, с. 169, ISBN 9780819430335 .
^ Зилл, Деннис; Райт, Уоррен С. (2009), Исчисление с одной переменной: ранние трансцендентальные теории , Jones & Bartlett Learning, стр. 269, ISBN 9780763749651 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Зазкис Р., Лильедал П. и Гадовски К. Концепции функционального перевода: препятствия, интуиция и изменение маршрута. Журнал математического поведения, 22, 437–450. Получено 29 апреля 2014 г. с сайта www.elsevier.com/locate/jmathb.
Преобразования графов: горизонтальные трансляции . (2006, 1 января). Биоматематика: преобразование графов. Проверено 29 апреля 2014 г.

Внешние ссылки [ править ]

Преобразование перевода в кратчайшие сроки
Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
Понимание 2D-перевода и Понимание 3D-перевода , Роджер Гермундссон, Демонстрационный проект Wolfram .

[Whittaker-1] Эдмунд Тейлор Уиттакер (1988). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел (перепечатка четвертого издания 1936 года с предисловием под ред. Уильяма МакКри). Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 0-521-35883-3 .

[2] Ричард Пол, 1981, Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами , MIT Press, Кембридж, Массачусетс.

[3] Догерти, Эдвард Р.; Астол, Яакко (1999), Нелинейные фильтры для обработки изображений , серия SPIE/IEEE по науке и технике обработки изображений, том. 59, SPIE Press, с. 169, ISBN 9780819430335 .

[4] Зилл, Деннис; Райт, Уоррен С. (2009), Исчисление с одной переменной: ранние трансцендентальные теории , Jones & Bartlett Learning, стр. 269, ISBN 9780763749651 .

[1]

[2]

[3]

[4]