Константа интегрирования

В исчислении константа интегрирования , часто обозначаемая $C$ (или $c$), представляет собой постоянный член , добавляемый к первообразной функции $f(x)$ чтобы указать, что неопределенный интеграл от $f(x)$ (т.е. множество всех первообразных $f(x)$), на связной области , определяется только с точностью до аддитивной константы. Эта константа выражает неоднозначность, присущую построению первообразных.

Точнее, если функция $f(x)$ определяется на интервале и $F(x)$ является первообразной от $f(x),$ то множество всех первообразных $f(x)$ задается функциями $F(x)+C,$ где $C$ — произвольная константа (это означает, что любое значение $C$ сделал бы $F(x)+C$допустимая первообразная). По этой причине неопределенный интеграл часто записывается как ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,}$ хотя константу интегрирования иногда можно опустить в списках интегралов для простоты.

Происхождение

Производная . любой постоянной функции равна нулю Как только найдена одна первообразная $F(x)$ для функции $f(x),$ добавление или вычитание любой константы $C$ даст нам еще одну первообразную, потому что ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x).}$ Константа — это способ выразить то, что каждая функция, имеющая хотя бы одну первообразную, будет иметь их бесконечное количество.

Позволять $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ и $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$— две всюду дифференцируемые функции. Предположим, что $F\,'(x)=G\,'(x)$для каждого действительного числа x . Тогда существует действительное число $C$ такой, что $F(x)-G(x)=C$ для каждого действительного числа x .

Чтобы доказать это, заметим, что $[F(x)-G(x)]'=0.$ Так $F$ можно заменить на $F-G,$ и $G$ постоянной функцией $0,$ ставя перед собой цель доказать, что всюду дифференцируемая функция, производная которой всегда равна нулю, должна быть постоянной:

Выберите реальное число $a,$ и разреши $C=F(a).$ Для любого x фундаментальная теорема исчисления вместе с предположением о том, что производная $F$ исчезает, подразумевая, что

$${\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}$$

тем самым показывая, что $F$ является постоянной функцией.

В этом доказательстве решающее значение имеют два факта. Во-первых, реальная линия подключена . Если бы реальная линия не была связной, мы не всегда могли бы проинтегрировать наше фиксированное a до любого заданного x . Например, если бы кто-то запросил функции, определенные на объединении интервалов [0,1] и [2,3], и если бы a было равно 0, то было бы невозможно интегрировать от 0 до 3, потому что функция не определено между 1 и 2. Здесь будут две константы, по одной для каждого компонента области связного . В общем, заменяя константы локально постоянными функциями , можно распространить эту теорему на несвязные области. Например, существуют две константы интегрирования для ${\textstyle \int dx/x}$и бесконечно много для ${\textstyle \int \tan x\,dx}$, например, общая форма интеграла от 1/ x такова:

$$\int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$$

Второй, $F$ и $G$считались всюду дифференцируемыми. Если $F$ и $G$не дифференцируемы ни в одной точке, то теорема может оказаться неверной. В качестве примера позвольте $F(x)$ — ступенчатая функция Хевисайда , которая равна нулю для отрицательных значений x и единице для неотрицательных значений x , и пусть $G(x)=0.$ Тогда производная от $F$ равен нулю там, где он определен, а производная $G$всегда равен нулю. И все же ясно, что $F$ и $G$ не отличаются на константу, даже если предположить, что $F$ и $G$всюду непрерывны и почти всюду дифференцируемы, то теорема все равно неверна. В качестве примера возьмем $F$ быть функцией Кантора и снова пусть $G=0.$

Оказывается, сложение и вычитание констант — единственная возможность найти разные первообразные одной и той же функции. То есть все первообразные одинаковы с точностью до константы. Чтобы выразить этот факт для $\cos(x),$ можно написать:

$$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,$$

где $C$является константой интегрирования . Легко определить, что все следующие функции являются первообразными от $\cos(x)$:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}$$

Значение

Включение константы интегрирования необходимо в некоторых, но не во всех обстоятельствах. Например, при вычислении определенных интегралов с использованием фундаментальной теоремы исчисления константу интегрирования можно игнорировать, поскольку она всегда будет сокращаться сама с собой.

Однако разные методы вычисления неопределенных интегралов могут привести к получению нескольких первообразных, каждая из которых неявно содержит разные константы интегрирования, и ни один конкретный вариант не может считаться самым простым. Например, $2\sin(x)\cos(x)$ можно интегрировать как минимум тремя различными способами.

$${\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}$$

Кроме того, отсутствие константы или установка ее на ноль может сделать невозможным решение ряда проблем, например, с условиями начального значения . Общее решение, содержащее произвольную константу, часто необходимо для определения правильного частного решения. Например, чтобы получить первообразную $\cos(x)$ которое имеет значение 400 при x = π, то только одно значение $C$ будет работать (в данном случае $C=400$).

Константа интегрирования также неявно или явно появляется в языке дифференциальных уравнений . Почти все дифференциальные уравнения имеют множество решений, и каждая константа представляет собой уникальное решение корректной задачи с начальными значениями.

Дополнительное обоснование исходит из абстрактной алгебры . Пространство всех (подходящих) вещественных функций действительных чисел является векторным пространством , а дифференциальный оператор ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$является линейным оператором . Оператор ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$отображает функцию в ноль тогда и только тогда, когда эта функция постоянна. , ядро Следовательно ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$— пространство всех постоянных функций. Процесс неопределенного интегрирования сводится к нахождению прообраза заданной функции. Для данной функции не существует канонического прообраза, но набор всех таких прообразов образует смежный класс . Выбор константы аналогичен выбору элемента смежного класса. В этом контексте решение начальной задачи интерпретируется как лежащее в гиперплоскости , заданной начальными условиями .