Область определения функции


В математике областью определения функции является набор входных данных, принимаемых функцией . Иногда его обозначают или , где f — функция. С точки зрения непрофессионала, область определения функции обычно можно рассматривать как «каким может быть x». [1]
Точнее, если задана функция , областью определения f является X . На современном математическом языке область определения является частью определения функции, а не ее свойством.
В особом случае, когда X и Y являются наборами действительных чисел , функцию f можно изобразить в виде графика в декартовой системе координат . В этом случае область определения представляется на оси x графика как проекция графика функции на ось x .
Для функции , набор Y называется кодоменом : набор, которому должны принадлежать все выходные данные. Набор конкретных выходных данных, которые функция присваивает элементам X, называется ее диапазоном или изображением . Изображение f — это подмножество Y , показанное желтым овалом на прилагаемой диаграмме.
Любая функция может быть ограничена подмножеством своей области определения. Ограничение к , где , записывается как .
Естественный домен
[ редактировать ]Если действительная функция f задана формулой, она может быть не определена для некоторых значений переменной. В этом случае это частичная функция , а набор действительных чисел, на которых формула может быть вычислена до действительного числа, называется натуральной областью или областью определения f . Во многих контекстах частичная функция называется просто функцией , а ее естественная область определения называется просто ее областью определения .
Примеры
[ редактировать ]- Функция определяется не может быть оценено как 0. Следовательно, естественная область определения - это набор действительных чисел, исключая 0, который можно обозначить через или .
- функция Кусочная определяется имеет в качестве естественной области определения множество действительных чисел.
- Функция корня квадратного имеет в качестве естественной области определения набор неотрицательных действительных чисел, которые можно обозначить через , интервал , или .
- Касательная функция , обозначаемая , имеет в качестве естественной области множество всех действительных чисел, которые не имеют вида для некоторого целого числа , который можно записать как .
Другое использование
[ редактировать ]Термин «домен» также обычно используется в другом смысле в математическом анализе : домен — это непустое связное открытое множество в топологическом пространстве . В частности, в реальном и комплексном анализе область представляет собой непустое связное открытое подмножество реального координатного пространства. или комплексное координатное пространство
Иногда такая область определения используется в качестве области определения функции, хотя функции могут быть определены на более общих множествах. Эти две концепции иногда объединяют, например, при изучении уравнений в частных производных : в этом случае областью является открытое связное подмножество где ставится проблема, что делает ее одновременно областью анализа, а также областью искомой неизвестной функции (функций).
Установите теоретические понятия
[ редактировать ]иногда удобно Например, в теории множеств разрешить, чтобы областью определения функции был собственный класс X , и в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка ( X , Y , G ) . При таком определении функции не имеют области определения, хотя некоторые авторы до сих пор неформально используют ее после введения функции в f : X → Y. виде [2]
См. также
[ редактировать ]- Аргумент функции
- Домен атрибута
- Биекция, инъекция и сюръекция
- Кодомен
- Декомпозиция домена
- Эффективный домен
- Изображение (математика)
- Липшицев домен
- Наивная теория множеств
- Диапазон функции
- Поддержка (математика)
Примечания
[ редактировать ]- ^ «Домен, диапазон, обратные функции» . Легкое образование Sevens . Проверено 13 апреля 2023 г.
- ^ Экклс 1997 , с. 91 ( цитата 1 , цитата 2 ); Мак Лейн 1998 , с. 8 ; Мак Лейн, Scott & Jech 1971 , с. 232 ; Шарма 2010 , с. 91 ; Стюарт и Талл 1977 , с. 89
Ссылки
[ редактировать ]- Бурбаки, Николя (1970). Теория множеств . Элементы математики. Спрингер. ISBN 9783540340348 .
- Экклс, Питер Дж. (11 декабря 1997 г.). Введение в математические рассуждения: числа, множества и функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59718-0 .
- Мак Лейн, Сондерс (25 сентября 1998 г.). Категории для работающего математика . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98403-2 .
- Скотт, Дана С.; Джех, Томас Дж. (31 декабря 1971 г.). Аксиоматическая теория множеств, часть 1 . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-0245-8 .
- Шарма, АК (2010). Введение в теорию множеств . Издательство Дискавери. ISBN 978-81-7141-877-0 .
- Стюарт, Ян; Высокий, Дэвид (1977). Основы математики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853165-4 .