Область определения функции

Функция $f$ от $X$ до $Y.$ Набор точек в красном овале $X$ является областью определения $f$ .

В математике областью определения функции является набор входных данных, принимаемых функцией . Иногда его обозначают $\operatorname {dom} (f)$ или $\operatorname {dom} f$ , где $f$ — функция. С точки зрения непрофессионала, область определения функции обычно можно рассматривать как «каким может быть x». ^[1]

Точнее, если задана функция $f\colon X\to Y$ , областью определения $f$ является $X$ . На современном математическом языке область определения является частью определения функции, а не ее свойством.

В особом случае, когда $X$ и $Y$ являются наборами действительных чисел , функцию $f$ можно изобразить в виде графика в декартовой системе координат . В этом случае область определения представляется на $оси x$ графика как проекция графика функции на $ось x$ .

Для функции $f\colon X\to Y$ , набор $Y$ называется кодоменом : набор, которому должны принадлежать все выходные данные. Набор конкретных выходных данных, которые функция присваивает элементам $X,$ называется ее диапазоном или изображением . Изображение f — это подмножество $Y$ , показанное желтым овалом на прилагаемой диаграмме.

Любая функция может быть ограничена подмножеством своей области определения. Ограничение $f\colon X\to Y$ к $A$ , где $A\subseteq X$ , записывается как $\left.f\right|_{A}\colon A\to Y$ .

Естественный домен

Если действительная функция $f$ задана формулой, она может быть не определена для некоторых значений переменной. В этом случае это частичная функция , а набор действительных чисел, на которых формула может быть вычислена до действительного числа, называется натуральной областью или областью определения $f$ . Во многих контекстах частичная функция называется просто функцией , а ее естественная область определения называется просто ее областью определения .

Примеры

Функция $f$ определяется $f(x)={\frac {1}{x}}$ не может быть оценено как 0. Следовательно, естественная область определения $f$ - это набор действительных чисел, исключая 0, который можно обозначить через $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ или $\{x\in \mathbb {R} :x\neq 0\}$ .
функция Кусочная $f$ определяется $f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}},$ имеет в качестве естественной области определения множество $\mathbb {R}$ действительных чисел.
Функция корня квадратного $f(x)={\sqrt {x}}$ имеет в качестве естественной области определения набор неотрицательных действительных чисел, которые можно обозначить через $\mathbb {R} _{\geq 0}$ , интервал $[0,\infty )$ , или $\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$ .
Касательная функция , обозначаемая $\tan$ , имеет в качестве естественной области множество всех действительных чисел, которые не имеют вида ${\tfrac {\pi }{2}}+k\pi$ для некоторого целого числа $k$ , который можно записать как $\mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi :k\in \mathbb {Z} \}$ .

Другое использование

Термин «домен» также обычно используется в другом смысле в математическом анализе : домен — это непустое связное открытое множество в топологическом пространстве . В частности, в реальном и комплексном анализе область представляет собой непустое связное открытое подмножество реального координатного пространства. $\mathbb {R} ^{n}$ или комплексное координатное пространство $\mathbb {C} ^{n}.$

Иногда такая область определения используется в качестве области определения функции, хотя функции могут быть определены на более общих множествах. Эти две концепции иногда объединяют, например, при изучении уравнений в частных производных : в этом случае областью является открытое связное подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ где ставится проблема, что делает ее одновременно областью анализа, а также областью искомой неизвестной функции (функций).

Установите теоретические понятия

иногда удобно Например, в теории множеств разрешить, чтобы областью определения функции был собственный класс $X$ , и в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка $(X, Y, G)$ . При таком определении функции не имеют области определения, хотя некоторые авторы до сих пор неформально используют ее после введения функции в $f : X \to Y.$ виде ^[2]

См. также

Примечания

^ «Домен, диапазон, обратные функции» . Легкое образование Sevens . Проверено 13 апреля 2023 г.
^ Экклс 1997 , с. 91 ( цитата 1 , цитата 2 ); Мак Лейн 1998 , с. 8 ; Мак Лейн, Scott & Jech 1971 , с. 232 ; Шарма 2010 , с. 91 ; Стюарт и Талл 1977 , с. 89

Ссылки

Бурбаки, Николя (1970). Теория множеств . Элементы математики. Спрингер. ISBN 9783540340348 .
Экклс, Питер Дж. (11 декабря 1997 г.). Введение в математические рассуждения: числа, множества и функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59718-0 .
Мак Лейн, Сондерс (25 сентября 1998 г.). Категории для работающего математика . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98403-2 .
Скотт, Дана С.; Джех, Томас Дж. (31 декабря 1971 г.). Аксиоматическая теория множеств, часть 1 . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-0245-8 .
Шарма, АК (2010). Введение в теорию множеств . Издательство Дискавери. ISBN 978-81-7141-877-0 .
Стюарт, Ян; Высокий, Дэвид (1977). Основы математики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853165-4 .

[1] «Домен, диапазон, обратные функции» . Легкое образование Sevens . Проверено 13 апреля 2023 г.

[2] Экклс 1997 , с. 91 ( цитата 1 , цитата 2 ); Мак Лейн 1998 , с. 8 ; Мак Лейн, Scott & Jech 1971 , с. 232 ; Шарма 2010 , с. 91 ; Стюарт и Талл 1977 , с. 89

[1]

[2]