Эффективный домен

В выпуклом анализе , разделе математики, эффективная область определения расширяет область определения функции, определенной для функций, которые принимают значения в расширенной строке действительных чисел. $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.$

В выпуклом анализе и вариационном анализе обычно ищется точка, в которой минимизируется некоторая заданная расширенная вещественная функция, причем такая точка называется точкой глобального минимума . Эффективная область определения этой функции определяется как совокупность всех точек области определения этой функции, в которых ее значение не равно $+\infty .$ Оно определяется таким образом, потому что только эти точки имеют хотя бы отдаленный шанс стать точкой глобального минимума. Действительно, в этих областях обычной практикой является задание функции, равной $+\infty$ в какой-то точке специально для того, чтобы исключить эту точку из рассмотрения как потенциального решения (проблемы минимизации). Точки, в которых функция принимает значение $-\infty$ (если таковые имеются) принадлежат эффективной области, поскольку такие точки считаются приемлемыми решениями задачи минимизации, по той причине, что если бы такая точка была неприемлема в качестве решения, то функция уже была бы установлена ​​на $+\infty$ вместо этого в этот момент.

Когда точка минимума (в $X$) функции $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ нужно найти, но $f$домен пользователя $X$ является собственным подмножеством некоторого векторного пространства $V,$ тогда часто технически полезно расширить $f$ всем $V$ установив $f(x):=+\infty$ в каждом $x\in V\setminus X.$ По определению, нет смысла $V\setminus X$ принадлежит эффективной области $f,$ что согласуется с желанием найти точку минимума исходной функции $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ а не недавно определенного расширения на все $V.$

Если вместо этого проблема заключается в задаче максимизации (что должно быть четко указано), то эффективная область определения вместо этого состоит из всех точек в области определения функции, в которых она не равна $-\infty .$

Определение

Предполагать $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ это карта, оцененная в расширенной строке действительных чисел $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ чей домен, который обозначается $\operatorname {domain} f,$ является $X$ (где $X$ будет считаться подмножеством некоторого векторного пространства всякий раз, когда это предположение необходимо). Тогда эффективная область $f$ обозначается $\operatorname {dom} f$ и обычно определяется как набор $$\operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}$$пока не $f$ является вогнутой функцией или максимумом (а не минимумом) $f$ ищется, и в этом случае эффективная область $f$ вместо этого набор $$\operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)>-\infty \}.$$

В выпуклом анализе и вариационном анализе $\operatorname {dom} f$ обычно предполагается, что $\operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}$ если явно не указано иное.

Характеристики

Позволять $\pi _{X}:X\times \mathbb {R} \to X$ обозначим каноническую проекцию на $X,$ который определяется $(x,r)\mapsto x.$ Эффективный домен $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ равно изображению ​ $f$эпиграф ​ $\operatorname {epi} f$ по канонической проекции $\pi _{X}.$ То есть

$\operatorname {dom} f=\pi _{X}\left(\operatorname {epi} f\right)=\left\{x\in X~:~{\text{ there exists }}y\in \mathbb {R} {\text{ such that }}(x,y)\in \operatorname {epi} f\right\}.$

Для задачи максимизации (например, если $f$ вогнута, а не выпукла), эффективная область вместо этого равна изображению под $\pi _{X}$ из $f$гипограф ​ .

Свойства

Если функция никогда не принимает значение $+\infty ,$ например, если функция вещественная , то ее область определения и эффективная область определения равны.

Функция $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ является собственной выпуклой функцией тогда и только тогда, когда $f$ выпукла, эффективная область определения $f$ непусто, и $f(x)>-\infty$ для каждого $x\in X.$

См. также

• Правильная выпуклая функция
• Эпиграф (математика) – набор точек, лежащих на графике функции или над ним. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Гипограф (математика) - термин математического анализа. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Основные принципы математических наук. Том 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN  9783642024313 . OCLC   883392544 .