Гипограф (математика)

Гипограф функции

В математике гипограф ​ или подграф функции . $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ — это множество точек, лежащих на его графике или под ним . такой функции Связанное определение — это определение эпиграфа , который представляет собой набор точек на графике функции или над ним.

Область определения (а не кодомен ) функции не особенно важна для этого определения; это может быть произвольный набор вместо $\mathbb {R} ^{n}$.

Определение

Определение гипографа было вдохновлено определением графика , где график функции $f:X\to Y$ определяется как набор

$\operatorname {graph} f:=\left\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\right\}.$

Гипограф ​ или подграф функции $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ оценивается в расширенных действительных числах $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ это набор

${\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\leq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times (-\infty ,f(x)]).\end{alignedat}}$

Аналогично, множество точек на функции или над ней является ее эпиграфом . Строгий гипограф — это гипограф с удаленным графом:

${\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} _{S}f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r<f(x)\right\}\\&=\operatorname {hyp} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}(\{x\}\times (-\infty ,f(x))).\end{alignedat}}$

Несмотря на то, что $f$ может потребоваться один (или оба) из $\pm \infty$ как значение (в этом случае его график не будет подмножеством $X\times \mathbb {R}$), гипограф $f$ тем не менее определяется как подмножество $X\times \mathbb {R}$ а не из $X\times [-\infty ,\infty ].$

Свойства

Гипограф функции $f$ пуст когда тогда и только тогда, $f$ тождественно равна отрицательной бесконечности.

Функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее гипограф представляет собой выпуклое множество . Гипограф действительной аффинной функции $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ это полупространство в $\mathbb {R} ^{n+1}.$

Функция полунепрерывна сверху тогда и только тогда, когда ее гипограф замкнут .

См. также

• Эффективный домен
• Эпиграф (математика) – набор точек, лежащих на графике функции или над ним. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Правильная выпуклая функция

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Основные принципы математических наук. Том 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN  9783642024313 . OCLC   883392544 .