Закрытая выпуклая функция

В математике функция ​ $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ называется замкнутым, если для каждого $\alpha \in \mathbb {R}$, набор подуровней $\{x\in {\mbox{dom}}f\vert f(x)\leq \alpha \}$представляет собой закрытое множество .

Эквивалентно, если эпиграф, определенный ${\mbox{epi}}f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\vert x\in {\mbox{dom}}f,\;f(x)\leq t\}$замкнуто, то функция $f$ закрыт.

Это определение справедливо для любой функции, но чаще всего используется для выпуклых функций . Собственная выпуклая функция замкнута тогда и только тогда, когда она полунепрерывна снизу .

Свойства

• Если $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ является непрерывной функцией и ${\mbox{dom}}f$ закрыто, то $f$ закрыт.
• Если $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ является непрерывной функцией и ${\mbox{dom}}f$ открыт, то $f$ замкнуто тогда и только тогда, когда оно сходится к $\infty$ вдоль каждой последовательности, сходящейся к граничной точке ${\mbox{dom}}f$.
• Замкнутая собственная выпуклая функция f — это поточечная верхняя грань совокупности всех аффинных функций h таких, что h ⩽ f (называемых аффинными минорантами функции f ).

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-01586-6 .