Неравенство Эрмита–Адамара.

Не путать с неравенством Адамара .

В математике неравенство Эрмита -Адамара , названное в честь Шарля Эрмита и Жака Адамара и иногда также называемое неравенством Адамара , утверждает, что если функция ƒ : [ a , b → R выпукла ] , то выполняется следующая цепочка неравенств:

$f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Неравенство было обобщено на более высокие измерения: если $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ является ограниченной выпуклой областью и $f:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ — положительная выпуклая функция, то

${\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(x)\,dx\leq {\frac {c_{n}}{|\partial \Omega |}}\int _{\partial \Omega }f(y)\,d\sigma (y)$

где $c_{n}$ является константой, зависящей только от размерности.

Ссылки

• Жак Адамар , «Исследование свойств целочисленных функций и, в частности, функции, рассмотренной Риманом », Журнал чистой и прикладной математики , том 58, 1893, страницы 171–215.
• Золтан Реткес, «Расширение неравенства Эрмита – Адамара », Acta Sci. Математика. (Сегед) , 74 (2008), страницы 95–106.
• Эрмита-Адамара Михай Бессеней, « Неравенство в симплексах », American Mathematical Monthly , том 115, апрель 2008 г., страницы 339–345.
• Флавия-Корина Митрой, Элеутериус Симеонидис, «Обратное неравенство Эрмита-Адамара на симплексах», Expo. Математика. 30 (2012), с. 389–396. дои : 10.1016/j.exmath.2012.08.011 ; ISSN   0723-0869
• Стефан Штайнербергер, Неравенство Эрмита-Адамара в высших измерениях, Журнал геометрического анализа, 2019.