Вариационный анализ
В математике вариационный анализ — это комбинация и расширение методов выпуклой оптимизации и классического вариационного исчисления до более общей теории. [1] Сюда входят более общие проблемы теории оптимизации , включая темы многозначного анализа , например, обобщенные производные .
В схеме предметной классификации математики (MSC2010) поле «Многозначный и вариационный анализ» кодируется «49J53». [2]
История [ править ]
Хотя эта область математики имеет долгую историю, первое использование термина «Вариационный анализ» в этом смысле было в одноименной книге Р. Тиррелла Рокафеллара и Роджера Дж. Б. Уэтса . [1] [ не удалось пройти проверку ]
Существование минимумов [ править ]
Классический результат состоит в том, что полунепрерывная снизу функция на компакте достигает минимума. Результаты вариационного анализа, такие как вариационный принцип Экланда, позволяют нам распространить этот результат о полунепрерывных снизу функциях на некомпактные множества при условии, что функция имеет нижнюю границу и за счет добавления небольшого возмущения к функции.
Обобщенные производные [ править ]
Классическая теорема Ферма гласит, что если дифференцируемая функция достигает минимума в какой-то точке, и эта точка является внутренней точкой ее области определения, то ее производная в этой точке должна быть равна нулю. Для задач, где гладкая функция должна быть минимизирована с учетом ограничений, которые могут быть выражены в виде равенства нулю других гладких функций, метод множителей Лагранжа , еще один классический результат, дает необходимые условия в терминах производных функции.
Идеи этих классических результатов можно распространить на недифференцируемые выпуклые функции , обобщив понятие производной на понятие субпроизводной . Дальнейшее обобщение понятия производной, такое как обобщенный градиент Кларка, позволяет распространить результаты на негладкие локально липшицевы функции. [3]
См. также [ править ]
- Выпуклый анализ - раздел математики, посвященный изучению свойств выпуклых функций и выпуклых множеств.
- Функциональный анализ – Область математики
- Ориентированная проективная геометрия
Цитаты [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Рокафеллар и Ветс 2009 .
- ^ «49J53 Множественный и вариационный анализ» . 5 июля 2010 г.
- ^ Фрэнк Х. Кларк, Оптимизация и негладкий анализ , SIAM, 1990.
Ссылки [ править ]
- Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Основные принципы математических наук. Том 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313 . OCLC 883392544 .
Внешние ссылки [ править ]
СМИ, связанные с вариационным анализом, на Викискладе?
