Ориентированная проективная геометрия

Ориентированная проективная геометрия — это ориентированная версия реальной проективной геометрии .

В то время как реальная проективная плоскость описывает набор всех неориентированных прямых, проходящих через начало координат в R ³ ориентированная проективная плоскость описывает линии с заданной ориентацией. Существуют приложения в компьютерной графике и компьютерном зрении , где необходимо различать лучи света, излучаемые или поглощаемые точкой.

Элементы в ориентированном проективном пространстве определяются с помощью однородных координат со знаком . Позволять $\mathbb {R} _{*}^{n}$ быть набором элементов $\mathbb {R} ^{n}$ исключая происхождение.

1. Ориентированная проективная линия , $\mathbb {T} ^{1}$: $(x,w)\in \mathbb {R} _{*}^{2}$, с отношением эквивалентности $(x,w)\sim (ax,aw)\,$ для всех $a>0$.
2. Ориентированная проективная плоскость , $\mathbb {T} ^{2}$: $(x,y,w)\in \mathbb {R} _{*}^{3}$, с $(x,y,w)\sim (ax,ay,aw)\,$ для всех $a>0$.

Эти пространства можно рассматривать как расширения евклидова пространства . $\mathbb {T} ^{1}$ можно рассматривать как объединение двух копий $\mathbb {R}$, множества ( x ,1) и ( x ,-1) плюс две дополнительные точки на бесконечности (1,0) и (-1,0). Так же $\mathbb {T} ^{2}$ можно рассматривать как две копии $\mathbb {R} ^{2}$, ( x , y ,1) и ( x , y ,-1), плюс одна копия $\mathbb {T}$ ( х , у , 0).

Альтернативный способ просмотра пространств — это точки на круге или сфере, заданные точками ( x , y , w ) с

х ² + и ² + ш ² =1.

Ориентированное реальное проективное пространство

Пусть n — целое неотрицательное число. модель (Аналитическая или каноническая ) ориентированное (реальное) проективное пространство или (каноническое ) двусторонняя проективная космос $\mathbb {T} ^{n}$ определяется как

$\mathbb {T} ^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\}.$

Здесь мы используем $\mathbb {T}$ стоять за двусторонний .

Расстояние в ориентированном реальном проективном пространстве

Расстояния между двумя точками $p=(p_{x},p_{y},p_{w})$ и $q=(q_{x},q_{y},q_{w})$ в $\mathbb {T} ^{2}$ могут быть определены как элементы

$((p_{x}q_{w}-q_{x}p_{w})^{2}+(p_{y}q_{w}-q_{y}p_{w})^{2},\mathrm {sign} (p_{w}q_{w})(p_{w}q_{w})^{2})$

в $\mathbb {T} ^{1}$.

Ориентированная сложная проективная геометрия

См. Также: Сложное проективное пространство.

Пусть n — целое неотрицательное число. Ориентированное комплексное проективное пространство ${\mathbb {CP} }_{S^{1}}^{n}$ определяется как

${\mathbb {CP} }_{S^{1}}^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\}$. Здесь мы пишем $S^{1}$ обозначать 1-сферу .

См. также

• Вариационный анализ

Ссылки

• Столфи, Хорхе (1991). Ориентированная проективная геометрия . Академическая пресса . ISBN  978-0-12-672025-9 .
  Из оригинального Стэнфордского доктора философии . диссертация «Примитивы для вычислительной геометрии» , доступная как [1] .
• Гали, Шериф (2008). Введение в геометрические вычисления . Спрингер . ISBN  978-1-84800-114-5 .
  Хорошее введение в ориентированную проективную геометрию в главах 14 и 15. Подробнее на сайте автора. Шериф Гали .
• Ямагучи, Фудзио (2002). Компьютерное геометрическое проектирование: полностью четырехмерный подход . Спрингер. ISBN  978-4-431-68007-9 .
• Ниже Александр; Круммек, Ванесса; Рихтер-Геберт, Юрген (2003). «Сложные матроиды: фиротопы и их реализации в ранге 2». В Аронов Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миша (ред.). Дискретная и вычислительная геометрия: Festschrift Гудмана – Поллака . Спрингер. стр. 203–233. дои : 10.1007/978-3-642-55566-4 . ISBN  978-3-642-62442-1 .
• А.Г. Оливейра, П.Дж. де Резенде, Ф.П. СелмиДей. Расширение CGAL на ориентированную проекционную плоскость T2 и ее систему динамической визуализации , 21-й ежегодный симпозиум ACM. по вычислительной геометрии, Пиза, Италия, 2005 г.
• Вернер, Томас (2003). «Комбинаторные ограничения на множественные проекции заданных точек» . Материалы девятой международной конференции IEEE по компьютерному зрению . стр. 1011–1016. дои : 10.1109/ICCV.2003.1238459 . ISBN  0-7695-1950-4 . S2CID   6816538 . Проверено 26 ноября 2022 г.