Обобщенная производная Кларка

В математике обобщенные производные Кларка — это обобщенные типы производных , которые позволяют дифференцировать негладкие функции. Производные Кларка были представлены Фрэнсисом Кларком в 1975 году.

Определения

Для локально липшицевой непрерывной функции $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,$ направлению обобщенная производная Кларка по $f$ в $x\in \mathbb {R} ^{n}$ в направлении $v\in \mathbb {R} ^{n}$ определяется как $$f^{\circ }(x,v)=\limsup _{y\rightarrow x,h\downarrow 0}{\frac {f(y+hv)-f(y)}{h}},$$где $\limsup$ обозначает предел верхний

Тогда, используя приведенное выше определение $f^{\circ }$, обобщенный градиент Кларка $f$ в $x$ (также называемый Кларка субдифференциалом ) задается как $$\partial ^{\circ }\!f(x):=\{\xi \in \mathbb {R} ^{n}:\langle \xi ,v\rangle \leq f^{\circ }(x,v),\forall v\in \mathbb {R} ^{n}\},$$где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ представляет собой внутренний продукт векторов в $\mathbb {R} .$Обратите внимание, что обобщенный градиент Кларка имеет множество значений, то есть при каждом $x\in \mathbb {R} ^{n},$ значение функции $\partial ^{\circ }\!f(x)$ это набор.

В более общем смысле, учитывая банахово пространство $X$ и подмножество $Y\subset X,$ Обобщенная производная Кларка по направлению и обобщенные градиенты определяются, как указано выше, для локально липшицевой непрерывной функции. $f:Y\to \mathbb {R} .$

См. также

• Субградиентный метод — Класс методов оптимизации для негладких функций.
• Субпроизводная

Ссылки

• Кларк, FH (январь 1990 г.). Оптимизация и негладкий анализ . Классика прикладной математики. Общество промышленной и прикладной математики. дои : 10.1137/1.9781611971309 . ISBN  978-0-89871-256-8 .
• Кларк, Ф.Х.; Ледяев, Ю. С.; Стерн, Р.Дж.; Воленски, Р.Р. (1998). Негладкий анализ и теория управления . Тексты для аспирантов по математике. Том. 178. Спрингер. дои : 10.1007/b97650 . ISBN  978-0-387-98336-3 .