Теорема Ферма (стационарные точки)

Эта статья о теореме Ферма о максимумах и минимумах функций. Другие теоремы, также названные в честь Пьера де Ферма, см. в теореме Ферма .

В математике экстремум теорема Ферма (также известная как теорема о внутреннем экстремуме ) — это метод поиска локальных максимумов и минимумов дифференцируемых функций на открытых множествах , показывающий, что каждый локальный функции является . стационарной точкой функции ( производная равна нулю в этой точке) ). Теорема Ферма — теорема реального анализа , названная в честь Пьера де Ферма .

Используя теорему Ферма, потенциальные экстремумы функции $\displaystyle f$, с производной $\displaystyle f'$, находятся путем решения уравнения в $\displaystyle f'$. Теорема Ферма дает лишь необходимое условие экстремальных значений функции, поскольку некоторые стационарные точки являются точками перегиба (а не максимумом или минимумом). функции Вторая производная , если она существует, иногда может использоваться для определения того, является ли стационарная точка максимумом или минимумом.

Заявление

Один из способов сформулировать теорему Ферма состоит в том, что если функция имеет локальный экстремум в какой-то точке и дифференцируема там, то производная функции в этой точке должна быть равна нулю. Выражаясь точным математическим языком:

Позволять $f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ быть функцией и предположим, что $x_{0}\in (a,b)$ это точка, где $f$ имеет местное окончание. Если $f$ дифференцируема в $\displaystyle x_{0}$, затем $f'(x_{0})=0$.

Другой способ понять теорему — использовать противоположное утверждение: если производная функции в любой точке не равна нулю, то в этой точке не существует локального экстремума. Формально:

Если $f$ дифференцируема в $x_{0}\in (a,b)$, и $f'(x_{0})\neq 0$, затем $x_{0}$ это не локальная крайность $f$.

Следствие

Глобальные экстремумы функции f в области A встречаются только на границах , недифференцируемых точках и стационарных точках. Если $x_{0}$ является глобальным экстремумом f , то верно одно из следующих условий:

• граница: $x_{0}$ находится на границе A
• недифференцируемый: f не дифференцируемо в $x_{0}$
• стационарная точка: $x_{0}$ является стационарной точкой f

Расширение

В более высоких измерениях справедливо то же самое утверждение; однако доказательство несколько сложнее. Сложность заключается в том, что в одном измерении можно двигаться влево или вправо от точки, тогда как в более высоких измерениях можно двигаться во многих направлениях. Таким образом, если производная не обращается в нуль, нужно утверждать, что существует какое-то направление, в котором функция возрастает – и, следовательно, в противоположном направлении функция убывает. Это единственное изменение в доказательстве или анализе.

Это утверждение можно распространить и на дифференцируемые многообразия . Если $f:M\to \mathbb {R}$ является дифференцируемой функцией на многообразии $M$, то его локальные экстремумы должны быть критическими точками $f$, в частности, в тех точках, где внешняя производная $df$ равен нулю.

Приложения

См. Также: Максимумы и минимумы.

Теорема Ферма занимает центральное место в методе исчисления определения максимумов и минимумов: в одном измерении можно найти экстремумы, просто вычисляя стационарные точки (путем вычисления нулей производной), недифференцируемые точки и граничные точки, а также затем исследуем этот набор для определения экстремумов.

Это можно сделать либо вычислив функцию в каждой точке и взяв максимум, либо проанализировав производные дальше, используя тест первой производной , тест второй производной или тест производной более высокого порядка .

Интуитивный аргумент

Интуитивно дифференцируемая функция аппроксимируется своей производной – дифференцируемая функция ведет себя бесконечно мало, как линейная функция. $a+bx,$ или точнее, $f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).$ Таким образом, с точки зрения того, что «если f дифференцируема и имеет ненулевую производную в точке $x_{0},$ то оно не достигает экстремума при $x_{0},$«Интуиция подсказывает, что если производная в $x_{0}$ положительна, функция возрастает вблизи $x_{0},$ а если производная отрицательна, функция убывает вблизи $x_{0}.$ В обоих случаях она не может достичь ни максимума, ни минимума, поскольку ее значение меняется. Он может достичь максимума или минимума только в том случае, если «остановится» — если производная обращается в нуль (или если она не дифференцируема, или если она упирается в границу и не может продолжаться). Однако точность «ведет себя как линейная функция» требует тщательного аналитического доказательства.

Точнее, интуицию можно сформулировать так: если производная положительна, то есть некоторая точка . справа от нее $x_{0}$ где f больше, и некоторая точка слева от $x_{0}$ где f меньше, и, таким образом, f не достигает ни максимума, ни минимума при $x_{0}.$ И наоборот, если производная отрицательна, то есть точка справа, которая меньше, и точка слева, которая больше. Таким образом, доказательство просто переводит это в уравнения и проверяет, «насколько больше или меньше».

Интуиция . основана на поведении функций полиномиальных Предположим, что функция f имеет максимум в точке ; _x0 рассуждения для минимума функции аналогичны. Если $\displaystyle x_{0}\in (a,b)$ является локальным максимумом, то, грубо говоря, существует (возможно, небольшая окрестность ) $\displaystyle x_{0}$ например, функция «увеличивается до» и «убывает после» $\displaystyle x_{0}$. Поскольку производная положительна для возрастающей функции и отрицательна для убывающей функции, $\displaystyle f'$ положителен до и отрицателен после $\displaystyle x_{0}$. $\displaystyle f'$ не пропускает значения (по теореме Дарбу ), поэтому в какой-то момент между положительным и отрицательным значениями он должен быть равен нулю. Единственное место в округе, где можно иметь $\displaystyle f'(x)=0$ является $\displaystyle x_{0}$.

Теорема (и ее доказательство ниже) является более общей, чем интуиция, поскольку она не требует, чтобы функция была дифференцируемой в окрестности вокруг $\displaystyle x_{0}$. Достаточно, чтобы функция была дифференцируемой только в крайней точке.

Доказательство

Доказательство 1: неисчезающие производные не предполагают экстремума.

Предположим, что f дифференцируема в $x_{0}\in (a,b),$ с производной K предположим, и без ограничения общности что $K>0,$ поэтому касательная в $x_{0}$ имеет положительный наклон (растет). Тогда есть окрестности $x_{0}$ на котором секущая проходит через $x_{0}$ все имеют положительный наклон и, следовательно, находятся справа от $x_{0},$ f больше, и левее $x_{0},$ f меньше.

Схема доказательства такова:

• бесконечно малое утверждение о производной (касательной линии) в точке $x_{0}$ подразумевает
• локальное утверждение о разностных коэффициентах (секущих линиях) вблизи $x_{0},$ что подразумевает
• локальное утверждение значении f вблизи о $x_{0}.$

Формально по определению производной $f'(x_{0})=K$ означает, что

$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}=K.$

В частности, для достаточно малых $\varepsilon$ (меньше, чем некоторые $\varepsilon _{0}$), частное должно быть не менее $K/2,$ по определению предела. Таким образом, на интервале $(x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})$ у одного есть:

${\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}>K/2;$

заменено равенство в пределе (бесконечно малое утверждение) неравенством в окрестности (локальное утверждение). Таким образом, переставляя уравнение, если $\varepsilon >0,$ затем:

$f(x_{0}+\varepsilon )>f(x_{0})+(K/2)\varepsilon >f(x_{0}),$

поэтому на интервале справа f больше, чем $f(x_{0}),$ и если $\varepsilon <0,$ затем:

$f(x_{0}+\varepsilon )<f(x_{0})+(K/2)\varepsilon <f(x_{0}),$

поэтому на интервале слева f меньше, чем $f(x_{0}).$

Таким образом $x_{0}$ не является локальным или глобальным максимумом или минимумом f.

Доказательство 2: экстремум означает, что производная обращается в нуль.

Альтернативно, можно начать с предположения, что $\displaystyle x_{0}$ является локальным максимумом, а затем докажите, что производная равна 0.

Предположим, что $\displaystyle x_{0}$ является локальным максимумом (аналогичное доказательство применимо, если $\displaystyle x_{0}$ является локальным минимумом). Тогда существует $\delta >0$ такой, что $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\subset (a,b)$ и такое, что у нас есть $f(x_{0})\geq f(x)$ для всех $x$ с $\displaystyle |x-x_{0}|<\delta$. Следовательно, для любого $h\in (0,\delta )$ у нас есть

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.$

Поскольку предел этого отношения как $\displaystyle h$ приближается к 0 сверху, существует и равен $\displaystyle f'(x_{0})$ мы заключаем, что $f'(x_{0})\leq 0$. С другой стороны, для $h\in (-\delta ,0)$ мы замечаем, что

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0$

но опять же предел как $\displaystyle h$ приближается к 0 снизу существует и равен $\displaystyle f'(x_{0})$ так что у нас тоже есть $f'(x_{0})\geq 0$.

Отсюда мы заключаем, что $\displaystyle f'(x_{0})=0.$

Предостережения

Тонкое заблуждение, которого часто придерживаются в контексте теоремы Ферма, заключается в предположении, что она делает более сильное утверждение о локальном поведении, чем оно есть на самом деле. Примечательно, что теорема Ферма не говорит, что функции (монотонно) «возрастают до» или «уходят вниз» от локального максимума. Это очень похоже на неправильное представление о том, что предел означает «монотонное приближение к точке». Для «хороших функций» (что здесь означает «непрерывно дифференцируемые ») некоторые интуиции верны, но в целом функции могут вести себя плохо, как показано ниже. Мораль в том, что производные определяют бесконечно малое поведение, а непрерывные производные определяют локальное поведение.

Непрерывно дифференцируемые функции

Если f дифференцируемо непрерывно $\left(C^{1}\right)$ в открытой окрестности точки $x_{0}$, затем $f'(x_{0})>0$ означает, что f возрастает в окрестности $x_{0},$ следующее.

Если $f'(x_{0})=K>0$ и $f\in C^{1},$ то в силу непрерывности производной существует некоторое $\varepsilon _{0}>0$ такой, что $f'(x)>K/2$ для всех $x\in (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})$. Тогда f увеличивается на этом интервале по теореме о среднем значении : наклон любой секущей линии не менее $K/2,$ поскольку он равен наклону некоторой касательной линии.

Однако в общей формулировке теоремы Ферма, где указано только, что производная при $x_{0}$ положительно, можно только заключить, что секущие линии, проходящие через $x_{0}$ будет иметь положительный наклон для секущих линий между $x_{0}$ и около достаточного количества точек.

И наоборот, если производная f в точке равна нулю ( $x_{0}$ является стационарной точкой), вообще нельзя ничего сделать вывод о локальном поведении f – она может увеличиваться в одну сторону и уменьшаться в другую (как в $x^{3}$), увеличиваются в обе стороны (как в $x^{4}$), уменьшаются в обе стороны (как в $-x^{4}$), или вести себя более сложным образом, например колебаться (как в $x^{2}\sin(1/x)$, как обсуждается ниже).

Поведение бесконечно малых величин можно проанализировать с помощью второго теста производной и теста производной более высокого порядка , если функция достаточно дифференцируема и если первая ненулевая производная при $x_{0}$ является непрерывной функцией , то можно сделать вывод о локальном поведении (т. е. если $f^{(k)}(x_{0})\neq 0$ является первой неисчезающей производной, и $f^{(k)}$ является непрерывным, поэтому $f\in C^{k}$), то можно считать f локально близким к многочлену степени k, поскольку он ведет себя примерно как $f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k},$ но если k -я производная не является непрерывной, такие выводы сделать нельзя, и она может вести себя совсем иначе.

Патологические функции

Функция $\sin(1/x)$ колеблется все быстрее между $-1$ и $1$ при приближении x к 0. Следовательно, функция $f(x)=(1+\sin(1/x))x^{2}$ колеблется все быстрее между 0 и $2x^{2}$ когда x приближается к 0. Если расширить эту функцию, определив $f(0)=0$ тогда расширенная функция непрерывна и всюду дифференцируема (дифференцируема в точке 0 с производной 0), но ведет себя весьма неожиданно вблизи 0: в любой окрестности 0 она достигает 0 бесконечно много раз, но при этом равна $2x^{2}$ (положительное число) бесконечно часто.

Продолжая в том же духе, можно определить $g(x)=(2+\sin(1/x))x^{2}$, который колеблется между $x^{2}$ и $3x^{2}$. Функция имеет локальный и глобальный минимум в точке $x=0$, но ни в одной окрестности 0 оно не уменьшается до 0 и не увеличивается от 0 – оно сильно колеблется вблизи 0.

Эту патологию можно понять, поскольку, хотя функция g всюду дифференцируема, она не является непрерывно дифференцируемой: предел $g'(x)$ как $x\to 0$ не существует, поэтому производная не является непрерывной при 0. Это отражает колебание между увеличением и уменьшением значений по мере приближения к 0.

См. также

• Оптимизация (математика)
• Максимумы и минимумы
• Производная
• Экстремальная ценность
• злой макс
• Адекватность

Внешние ссылки

• «Теорема Ферма (стационарные точки)» . ПланетаМатематика .
• «Доказательство теоремы Ферма (стационарные точки)» . ПланетаМатематика .