Максимум и минимум

В математическом максимум анализе и минимум ^[а] функции — это соответственно наибольшее и наименьшее значение, принимаемое функцией. В общем, известный как экстремум , ^[б] они могут быть определены либо в пределах заданного диапазона ( локальные или относительные экстремумы), либо во всей области определения ( глобальные или абсолютные экстремумы) функции. ^[1]^[2]^[3] Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общий метод — адекватность — для нахождения максимумов и минимумов функций.

Согласно теории множеств , максимум и минимум набора — это наибольший и наименьший элементы набора соответственно. Неограниченные бесконечные множества , такие как набор действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

В статистике соответствующим понятием является выборочный максимум и минимум .

Определение

Действительная функция f, определенная в области X, имеет глобальную (или абсолютную ) точку максимума в точке x. ^∗, если f ( x ^∗) ≥ f ( x ) для всех x в X . Аналогично, функция имеет глобальную (или абсолютную ) точку минимума в точке x. ^∗, если f ( x ^∗) ≤ f ( x ) для всех x в X . Значение функции в точке максимума называется максимальное значение функции, обозначаемое $\max(f(x))$ , а значение функции в точке минимума называется минимальное значение функции. Символически это можно записать так:

x_{0}\in X

является глобальной точкой максимума функции

f:X\to \mathbb {R} ,

если

(\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).

Определение точки глобального минимума также происходит аналогичным образом.

Если область X является метрическим пространством , то говорят, что f имеет точку локального (или относительного ) максимума в точке x. ^∗, если существует такое ε > 0, что f ( x ^∗) ≥ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ^∗. Аналогично функция имеет точку локального минимума в точке x ^∗, если f ( x ^∗) ≤ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ^∗. Аналогичное определение можно использовать, когда X является топологическим пространством , поскольку только что данное определение можно перефразировать в терминах окрестностей. Математически данное определение записывается следующим образом:

Позволять

(X,d_{X})

быть метрическим пространством и функцией

f:X\to \mathbb {R}

. Затем

x_{0}\in X

является локальной точкой максимума функции

f

если

(\exists \varepsilon >0)

такой, что

(\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).

Определение точки локального минимума также может быть произведено аналогичным образом.

И в глобальном, и в локальном случаях концепция строгий экстремум можно определить . Например, х ^∗ это строгая глобальная точка максимума , если для всех x в X с x ≠ x ^∗, мы имеем f ( x ^∗) > f ( x ) и x ^∗ это строгая точка локального максимума , если существует такое ε > 0 , что для всех x в X на расстоянии ε от x ^∗ с х ≠ х ^∗, мы имеем f ( x ^∗) > ж ( Икс ) . Обратите внимание, что точка является строгой глобальной точкой максимума тогда и только тогда, когда она является уникальной глобальной точкой максимума, и аналогично для точек минимума.

Непрерывная областью определения всегда имеет точку действительная функция с компактной максимума и точку минимума. Важным примером является функция, областью определения которой является замкнутый и ограниченный интервал действительных чисел (см. график выше).

Поиск

Нахождение глобальных максимумов и минимумов является целью математической оптимизации . Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то по теореме об крайних значениях существуют глобальные максимумы и минимумы. Более того, глобальный максимум (или минимум) либо должен быть локальным максимумом (или минимумом) внутри области, либо должен лежать на границе области. Таким образом, метод поиска глобального максимума (или минимума) состоит в том, чтобы просмотреть все локальные максимумы (или минимумы) внутри, а также посмотреть максимумы (или минимумы) точек на границе и взять наибольший ( или самый маленький) один.

Для дифференцируемых функций теорема Ферма утверждает, что локальные экстремумы внутри области должны возникать в критических точках (или точках, где производная равна нулю). ^[4] Однако не все критические точки являются экстремумами. Часто можно отличить, является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим, используя тест первой производной , тест второй производной или тест производной более высокого порядка , при условии достаточной дифференцируемости. ^[5]

Для любой функции, которая определена кусочно , можно найти максимум (или минимум), находя максимум (или минимум) каждой части отдельно, а затем наблюдая, какая из них является самой большой (или самой маленькой).

Примеры

Функция	Максимумы и минимумы
х ²	Уникальный глобальный минимум в точке x = 0.
х ³	Никаких глобальных минимумов и максимумов. Хотя первая производная (3 x ²) равен 0 при x = 0, это точка перегиба . (2-я производная в этой точке равна 0.)
${\sqrt[{x}]{x}}$	Уникальный глобальный максимум в точке x = e . (См. рисунок справа)
х ^{− х}	Уникальный глобальный максимум по положительным действительным числам в точке x = 1/ e .
х ³/3 − х	Первая производная x ² − 1 и вторая производная 2 x . Установка первой производной на 0 и решение для x дает стационарные точки в −1 и +1. Судя по знаку второй производной, мы видим, что −1 — локальный максимум, а +1 — локальный минимум. Эта функция не имеет глобального максимума или минимума.
\| х \|	Глобальный минимум при x = 0, который нельзя найти, взяв производные, поскольку производная не существует при x = 0.
потому что ( х )	Бесконечно много глобальных максимумов в точках 0, ±2 $π$ , ±4 $π$ , ... и бесконечно много глобальных минимумов в точках ± $π$ , ±3 $π$ , ±5 $π$ , ....
2 потому что ( х ) - х	Бесконечно много локальных максимумов и минимумов, но нет глобального максимума или минимума.
cos(3 $π$ x )/ x с 0,1 ≤ x ≤ 1,1	Глобальный максимум при x = 0,1 (граница), глобальный минимум около x = 0,3, локальный максимум около x = 0,6 и локальный минимум около x = 1,0. (См. рисунок вверху страницы.)
х ³ + 3x ² − 2 x + 1, определенное на отрезке (отрезке) [−4,2]	Локальный максимум при x = −1− √ 15/3 , локальный минимум при x = −1+ √ 15/3 , глобальный максимум при x = 2 и глобальный минимум при x = −4.

В качестве практического примера: ^[6] предположим, что у кого-то есть $200$ футов ограждения и пытается максимально увеличить площадь прямоугольного ограждения, где $x$ это длина, $y$ это ширина, а $xy$ это площадь:

2x+2y=200

2y=200-2x

{\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}

y=100-x

xy=x(100-x)

Производная по $x$ является:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}

Установка этого значения равным $0$

0=100-2x

2x=100

x=50

показывает, что $x=50$ это наша единственная критическая точка .Теперь извлеките конечные точки , определив интервал, до которого $x$ ограничено. Поскольку ширина положительна, то $x>0$ , и поскольку $x=100-y$ , это означает, что $x<100$ . Подключите критическую точку $50$ , а также конечные точки $0$ и $100$ , в $xy=x(100-x)$ , и результаты $2500,0,$ и $0$ соответственно.

Следовательно, наибольшая площадь, достижимая для прямоугольника $200$ ноги фехтования $50\times 50=2500$ . ^[6]

Функции более чем одной переменной

Контрпример: красная точка показывает локальный минимум, который не является глобальным минимумом.

Для функций более чем одной переменной применяются аналогичные условия. Например, на (увеличенном) рисунке справа необходимые условия локального максимума аналогичны условиям функции только с одной переменной. Первые частные производные по z (переменная, которую нужно максимизировать) равны нулю в максимуме (светящаяся точка вверху на рисунке). Вторые частные производные отрицательны. Это лишь необходимые, но не достаточные условия локального максимума из-за возможности существования седловой точки . Чтобы использовать эти условия для поиска максимума, функция z также должна быть дифференцируемой во всем. Второй тест частной производной может помочь классифицировать точку как относительный максимум или относительный минимум.Напротив, существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной при идентификации глобальных экстремумов. Например, если ограниченная дифференцируемая функция f, определенная на замкнутом интервале вещественной прямой, имеет единственную критическую точку, которая является локальным минимумом, то она также является глобальным минимумом (используйте теорема о промежуточном значении и теорема Ролля, чтобы доказать это от противного ). В двух и более измерениях этот аргумент не работает. Это иллюстрируется функцией

f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,

единственная критическая точка которого находится в точке (0,0), что является локальным минимумом с f (0,0) = 0. Однако он не может быть глобальным, поскольку f (2,3) = −5.

Максимумы или минимумы функционала

Если область определения функции, для которой необходимо найти экстремум, сама состоит из функций (т. е. если необходимо найти экстремум функционала ) , то экстремум находится с помощью вариационного исчисления .

По отношению к наборам

Для наборов также можно определить максимумы и минимумы. В общем, если упорядоченный набор S имеет наибольший элемент m , то m является максимальным элементом набора, также обозначаемым как $\max(S)$ . Более того, если S — подмножество упорядоченного множества T , а m наибольший элемент S с (относительно порядка, индуцированного T ), то m — наименьшая верхняя граница S в T. — Аналогичные результаты справедливы для наименьшего элемента , минимального элемента и наибольшей нижней границы . Функция максимума и минимума для наборов используется в базах данных и может быть быстро вычислена, поскольку максимум (или минимум) набора можно вычислить по максимумам раздела; формально они являются саморазложимыми агрегирующими функциями .

В случае общего частичного порядка наименьший элемент (т. е. тот, который меньше всех остальных) не следует путать с минимальным элементом (ничто не меньше). Аналогично, наибольший элемент ( частично упорядоченного множества ЧУУ) — это верхняя граница множества, содержащегося в этом множестве, тогда как максимальный элемент m частично упорядоченного множества А — это такой элемент А , что если m ⩽ b (для любого b в A ), то m = b . Любой наименьший или наибольший элемент ЧУУ уникален, но ЧУУ может иметь несколько минимальных или максимальных элементов. Если ЧУ-множество имеет более одного максимального элемента, то эти элементы не будут взаимно сопоставимы.

В полностью упорядоченном множестве, или цепочке , все элементы взаимно сопоставимы, поэтому такой набор может иметь не более одного минимального элемента и не более одного максимального элемента. Тогда из-за взаимной сравнимости минимальный элемент будет также наименьшим элементом, а максимальный элемент также будет наибольшим элементом. Таким образом, в полностью упорядоченном множестве мы можем просто использовать термины минимум и максимум .

Если цепь конечна, то она всегда будет иметь максимум и минимум. Если цепь бесконечна, то у нее не обязательно должен быть максимум или минимум. Например, набор натуральных чисел не имеет максимума, но имеет минимум. Если бесконечная цепь S ограничена, то замыкание Cl ( S ) множества иногда имеет минимум и максимум, и в этом случае они называются наибольшей нижней границей и наименьшей верхней границей множества S соответственно.

Аргумент максимума

В математике аргументы максимумов (сокращенно arg max или argmax) и аргументы минимумов (сокращенно arg min или argmin) являются входными точками, в которых функции выходное значение максимизируется и минимизируется соответственно. ^[8] Хотя аргументы определяются в домене функции , выходные данные являются частью ее кодомена .

См. также

Примечания

^ PL : максимумы и минимумы (или максимумы и минимумы ).
^ ПЛ : экстремумы .

Ссылки

^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8 .
^ Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-547-16702-2 .
^ Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (12-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-58876-0 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Минимум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Максимум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б Гарретт, Пол. «Повышение квалификации по минимизации и максимизации» .
^ « Ненормализованная функция Sinc, заархивировано 15 февраля 2017 г. в Wayback Machine », Сиднейский университет.
^ Для ясности мы называем входные данные ( x ) точками , а выходные данные ( y ) – значениями; сравнить критическую точку и критическое значение .

Внешние ссылки

Работа Томаса Симпсона о максимумах и минимумах при конвергенции
Применение максимумов и минимумов с подстраницами решенных задач
Джоллифф, Артур Эрнест (1911). «Максима и минимум» . Британская энциклопедия . Том. 17 (11-е изд.). стр. 918–920.

[1] PL : максимумы и минимумы (или максимумы и минимумы ).

[2] ПЛ : экстремумы .

[3] Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8 .

[4] Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-547-16702-2 .

[5] Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (12-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-58876-0 .

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Минимум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 г.

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Максимум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 г.

[minimization_maximization_refresher-8] Jump up to: ^а ^б Гарретт, Пол. «Повышение квалификации по минимизации и максимизации» .

[9] « Ненормализованная функция Sinc, заархивировано 15 февраля 2017 г. в Wayback Machine », Сиднейский университет.

[10] Для ясности мы называем входные данные ( x ) точками , а выходные данные ( y ) – значениями; сравнить критическую точку и критическое значение .

[а]

[б]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]