Второй тест частной производной

Гессиан аппроксимирует функцию в критической точке полиномом второй степени.

В математике второй тест частной производной — это метод исчисления многих переменных, используемый для определения того, является ли критическая точка функции локальным минимумом , максимумом или седловой точкой .

Функции двух переменных

Предположим, что f ( x , y ) — дифференцируемая действительная функция двух переменных, вторые частные производные которой существуют и непрерывны . Матрица Гессе H функции f представляет собой матрицу частных производных функции f размером 2 × 2 : $$H(x,y)={\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{bmatrix}}.$$

Определите D ( x , y ) как определитель $$D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}$$Х. ​ ​Наконец, предположим, что ( a , b ) является критической точкой f , то есть, что f _x ( a , b ) = f _y ( a , b ) = 0 . Тогда второй тест частной производной утверждает следующее:

1. Если D ( a , b ) > 0 и f _xx ( a , b ) > 0, то ( a , b ) является локальным минимумом f .
2. Если D ( a , b ) > 0 и f _xx ( a , b ) <0, то ( a , b ) является локальным максимумом f .
3. Если D ( a , b ) <0, ( a , b ) является седловой точкой f то .
4. Если D ( a , b ) = 0 , то точка ( a , b ) может быть любой из минимальной, максимальной или седловой точки (то есть тест не дает результатов).

Иногда используются другие эквивалентные версии теста. В случаях 1 и 2 требование f _xx f _yy − f _xy ² положительно в точке ( x , y ) означает, что f _xx и f _yy имеют там одинаковый знак. Следовательно, второе условие, заключающееся в том, что f _xx будет больше (или меньше) нуля, может эквивалентно состоять в том, что f _yy или tr( H ) = f _xx + f _yy будет больше (или меньше) нуля в этой точке.

Условие, подразумеваемое в формулировке теста, состоит в том, что если $f_{xx}=0$ или $f_{yy}=0$, должно быть так, что $D(a,b)\leq 0,$ и поэтому возможны только случаи 3 или 4.

Функции многих переменных

Для функции f трех и более переменных существует обобщение приведенного выше правила. В этом контексте вместо изучения определителя матрицы Гессе необходимо посмотреть на собственные значения матрицы Гессе в критической точке. Следующий тест можно применить в любой критической точке a, для которой матрица Гессе обратима :

1. Если гессиан положительно определен (т. е. имеет все собственные значения положительные) в точке a , то f достигает локального минимума в точке a .
2. Если гессиан отрицательно определен (т. е. имеет все отрицательные собственные значения) в точке a , то f достигает локального максимума в точке a .
3. Если гессиан имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения, то a является седловой точкой для f (и фактически это верно, даже если a вырождено).

В тех случаях, которые не перечислены выше, тест не дает результатов.

Для функций трех и более переменных определитель гессиана не дает достаточно информации для классификации критической точки, поскольку количество совместно достаточных условий второго порядка равно числу переменных, а условие знака на определителе гессиан — лишь одно из условий. Обратите внимание, что в случае с одной переменной условие Гессе просто дает обычный тест второй производной .

В случае двух переменных $D(a,b)$ и $f_{xx}(a,b)$ являются главными минорами гессенца. Первые два условия, перечисленные выше по знакам этих миноров, являются условиями положительной или отрицательной определенности гессиана. Для общего случая произвольного числа n переменных существует n условий знака на n главных минорах матрицы Гессе, которые вместе эквивалентны положительной или отрицательной определенности гессиана ( критерий Сильвестра ): для локального минимума все Главные миноры должны быть положительными, в то время как для локального максимума миноры с нечетным числом строк и столбцов должны быть отрицательными, а миноры с четным числом строк и столбцов должны быть положительными. См. раздел «Матрица Гессиана#Гессиан с границами» для обсуждения, которое обобщает эти правила на случай оптимизации с ограничением равенства.

Примеры

Критические точки $f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})$
максимумы (красный) и седловые точки (синий).

Найти и классифицировать критические точки функции.

$z=f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})$,

сначала мы устанавливаем частные производные

${\frac {\partial z}{\partial x}}=y(2x+y)(y+1)$ и ${\frac {\partial z}{\partial y}}=x\left(3y^{2}+2y(x+1)+x\right)$

равный нулю, и одновременно решаем полученные уравнения, чтобы найти четыре критические точки

$(0,0),(0,-1),(1,-1)$ и $\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)$.

Чтобы классифицировать критические точки, мы исследуем значение определителя D ( x , y ) гессиана f в каждой из четырех критических точек. У нас есть

${\begin{aligned}D(a,b)&=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left(f_{xy}(a,b)\right)^{2}\\&=2b(b+1)\cdot 2a(a+3b+1)-(2a+2b+4ab+3b^{2})^{2}.\end{aligned}}$

Теперь мы подключаем все найденные нами критические значения, чтобы обозначить их; у нас есть

$D(0,0)=0;~~D(0,-1)=-1;~~D(1,-1)=-1;~~D\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)={\frac {27}{128}}.$

Таким образом, второй тест частной производной показывает, что f ( x , y ) имеет седловые точки в (0, −1) и (1, −1) и имеет локальный максимум в точке $\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)$ с $f_{xx}=-{\frac {3}{8}}<0$. В оставшейся критической точке (0, 0) теста второй производной недостаточно, и необходимо использовать тесты более высокого порядка или другие инструменты, чтобы определить поведение функции в этой точке. (Фактически, можно показать, что f принимает как положительные, так и отрицательные значения в небольших окрестностях вокруг (0, 0), и поэтому эта точка является седловой точкой f .)

Ссылки

• Стюарт, Джеймс (2005). Многомерное исчисление: концепции и контекст . Брукс/Коул. ISBN  0-534-41004-9 .

Внешние ссылки

• Относительные минимумы и максимумы - Онлайн-заметки Пола по математике - Заметки Calc III (Университет Ламара)
• Вайсштейн, Эрик В. «Тест второй производной» . Математический мир .